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第59讲　随机事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
【备选理由】 例1以典型的乒乓球赛事为背景,考查独立事件的概率、乘法公式及全概率公式.例2以人教A版选择性必修第三册P53阅读与思考为背景命题.
1 [配合探究点一、二、三使用] [2026·广东东莞模拟] 有Q1,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8共八名运动员参加乒乓球赛事,该赛事采用预赛,半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军(如图),八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号,已知Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为,Q1运动员与其他运动员对决时,Q1获胜的概率为,每场对决没有平局,且结果相互独立.
(1)求这八名运动员各自获得冠军的概率;
(2)求Q2与Q1对决过且Q2最后获得冠军的概率.
解:(1)Q1夺冠即为三轮比赛都获胜,所以Q1夺冠的概率为=.
由题意知,Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8这七名运动员水平相当,且八名运动各自夺冠概率之和为1,
所以Q2,Q3,Q4,Q5,Q6,Q7,Q8这七名运动员各自夺冠的概率均为×=.
(2)记事件B=“Q2获得冠军”,事件A=“Q2与Q1对决过”,事件Ai=“Q2与Q1在第i轮对决”,i=1,2,3.
不妨设Q1在①号位,则Q2在第1,2,3轮能与Q1对决时其位置编号分别为②,③④,⑤⑥⑦⑧.
P(AB)=P[(A1+A2+A3)B]=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B),
P(A1B)=×××=,
P(A2B)=××××=,
P(A3B)=×××××=,
所以P(AB)=++=.
2 [配合探究点三使用] 有m(m≥3)个盲盒,其中有n(1≤nA.p1B.p1=p2
C.p1>p2
D.无法确定p1与p2的大小关系
[解析] 设事件A为“最终中奖”,事件B为“一开始选中的盲盒内部有奖品”,则P(B)=.在组织方打开一个无奖品的盲盒后,若一开始选中的盲盒内部有奖品,则剩余m-2个盲盒中有n-1个有奖品,更换后中奖的概率P(A|B)=,若一开始选中的盲盒中无奖品,则剩余m-2个盲盒中有n个有奖品,则更换后中奖的概率P(A|)=,故p1=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.由于风吹掉盲盒为随机吹掉,故所有未打开的m-1个盲盒中有n个有奖品,且每个盲盒中有奖品的概率相等,故p2=.因此==1+>1,故p1>p2.故选C.(共116张PPT)
第59讲 随机事件的相互独立性与条
件概率、全概率公式
课前基础巩固
课堂考点探究
教师备用习题
作业手册
答案核查【听】
答案核查【作】
【课标要求】
1.结合有限样本空间,了解两个随机事件独立性的含义.
2.结合古典概型，能利用独立性计算概率.
3.结合古典概型，了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率.
4.结合古典概型，理解条件概率与独立性的关系.
5.结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.
6.结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.
7. 了解贝叶斯公式.
◆ 知识聚焦 ◆
1.事件的相互独立性
（1）定义:对任意两个事件与,如果 __________成立,则称事件
与事件 相互独立.
（2）判断方法:
①根据定义;
②根据实际意义：如果两个事件相互独立，那么这个事件的发生与否不会
影响另一个事件发生的概率;
③应用结论:当事件,相互独立时,事件与事件,事件与事件 ,事件
与事件 也相互独立.
（3）注意:公式不能推广到多个事件.当事件, ,
,两两独立时, 不一定成立.
2.条件概率
（1）定义:设,为两个随机事件,且,我们称 _ ____
为在事件发生的条件下,事件 发生的条件概率,简称条件概率.
（2）性质:设 ,则
① ___;
②如果与是两个互斥事件,则 ________________;
③设和互为__________,则 .
对立事件
（3）注意:①乘法公式:对任意两个事件与,若,则
____________.
②特例: 当时,当且仅当事件与 __________时,有
.
相互独立
3.全概率公式
一般地，设,, , 是一组两两互斥的事件，
，且,,2, , ，则对任意的事
件 ，有 ，该公式为全概率公式.
4. 贝叶斯公式
设,, ,是一组两两互斥的事件， ，且
,,2, ,，则对任意的事件 ， ，有
，,2, , .
常用结论
1.乘法公式的推广：
设表示事件，且， ，则
，其中 表示已知
与同时发生时发生的概率，表示，， 同时
发生的概率.
2.事件的拆分：对 中的任意事件 ，都有
.
3.如果事件，， ，相互独立，那么这 个事件同时发生的
概率等于每个事件发生的概率的积，即
，反过来不一定成立．
◆ 课前演练 ◆
题组一 易错辨析
判断下列说法是否正确.（请在括号中打“√”或“×”）
（1）已知盒中装有3只螺口灯泡与9只卡口灯泡，这些灯泡的外形都
相同且灯口向下放置，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任
取一只且不放回，则在他第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到
卡口灯泡的概率为 .( )
×
[解析] 设事件“第1次抽到螺口灯泡”，事件 “第2次抽到卡口
灯泡”，
则在第1次抽到螺口灯泡的条件下，第2次抽到卡口灯泡的概
率 .
（2）甲、乙两人各射击1次，击中目标的概率分别是和 ，假设两
人击中目标与否相互之间没有影响，每人各次击中目标与否相互之
间也没有影响，若两人各射击4次，则甲恰好有2次击中目标且乙恰
好有3次击中目标的概率为 .( )
×
[解析] 设事件表示“4次射击中甲恰好有2次击中目标”，事件 表示
“4次射击中乙恰好有3次击中目标”，由题意知事件与 相互独立，
所以 .
（3）某学校在甲、乙、丙三个地区录取学生，已知甲、乙、丙地区
的录取比例分别为，， ，且三个地区的学生人数相同.现从这三个
地区的学生中随机抽取一个人，则此人被录取的概率为 .( )
√
[解析] 记事件，， 分别表示此人来自甲、乙、丙地区，事件
表示此人被录取，
则， ，，
，
.
题组二 教材改编
1.已知事件与相互独立，，，则
____.
0.7
[解析] 由事件与相互独立，得 ，即
，所以 .
2.交通部门对某地上、下班时间拥堵状况统计调查，发现该地区上班
时间拥堵的概率为，下班时间拥堵的概率为 ，上、下班时间都拥
堵的概率为.设事件“上班时间拥堵”，事件 “下班时间拥堵”，
则__， __.
[解析] 由题意可知，， ，
所以， .
3.学校食堂分设有一、二餐厅，学生小吴第一天随机选择了某餐厅就
餐，根据统计：第一天选择一餐厅就餐第二天还选择一餐厅就餐的
概率为 ，第一天选择二餐厅就餐第二天选择一餐厅就餐的概率为
，那么学生小吴第二天选择一餐厅就餐的概率为_____.
0.65
[解析] 设“第一天选择一餐厅就餐”， “第一天选择二餐厅就
餐”，“第二天选择一餐厅就餐”，
则 ,,,
由全概率公式可知 .
探究点一 相互独立事件的概率
例1（1）[2026·河北石家庄模拟]抛掷一枚质地均匀的硬币三次，记
“第一次硬币正面向上”为事件 ，“三次试验恰有1次正面向上”为事
件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件 ，“三次试验全部正面向
上或者全部反面向上”为事件 ，则下列说法中错误的是( )
A.与不互斥 B.与 相互独立
C.与相互独立 D.与 互斥但不对立
√
[解析] 抛掷一枚质地均匀的硬币三次，样本空间 （正，正，正），
（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），
（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反），共8个样本点，
事件 包含的样本点为（正，正，正），（正，正，反），（正，反，
正），（正，反，反），共4个，
事件 包含的样本点为（正，反，反），（反，反，正），（反，正，
反），共3个，
事件 包含的样本点为（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
共3个，
事件 包含的样本点为（正，正，正），（反，反，反），共2个.
对于A选项， （正，反， 反），与 不是互斥事件，故A中说
法正确；
对于B选项，，，
，则与相互独立，故B中说法正确；
对于C选项， ，，则与 不独立，故C中
说法错误；
对于D选项，因为 ， ，所以和 互斥但不对立，故D
中说法正确.故选C.
（2）（多选题）[2026·湖南永州模拟]已知,, 为随机事件，
, ，则下列说法正确的有( )
A.若,相互独立，则
B.若,相互独立，则
C.若,,两两独立，则
D.若,互斥，则
√
√
[解析] 对于A，若, 相互独立，则
，故A正确；
对于B，若, 相互独立，则
，故B错误；
对于C，若,,两两独立，则 ，
， ，无法确定，故C
错误；
对于D，若, 互斥，则，，
两边同时除以 得，，即
，故D正确.故选 .
总结反思
1.两个事件是否相互独立的判断
（1）直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互
影响.
（2）定义法:如果事件,同时发生的概率等于事件 发生的概率与
事件发生的概率的积,则事件, 为相互独立事件.
2.三个事件,, 相互独立的充要条件为
且
【对点演练1】（1）[2026·长沙质检]掷一枚质地均匀的骰子两次，
甲表示事件“第一次出现的点数是奇数”，乙表示事件“两次骰子的点
数之和是7”，则甲与乙的关系为( )
A.互斥 B.对立
C.相互独立 D.既不互斥也不相互独立
√
[解析] 由题意知，样本空间,,,,, ，
,,,,,，,,,, ,
，,,,,,，,,, ,
,，,,,,, ，共有36个样本点.
甲包含的样本点为,,,,,，,, ,
,,，,,,,,，共18个，
则P（甲）.
乙包含的样本点为,,,,, ，共6个，
则（乙）.
甲乙包含的样本点为,, ，共3个，
则（甲乙）.
又（甲乙）（甲） （乙），
所以甲、乙不互斥也不对立，但相互独立.故选C.
（2）（多选题）[2026·安徽合肥期末]设，，是样本空间 中三
个概率大于0的随机事件，则下列选项正确的是( )
A.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B.事件，相互独立与， 互斥不能同时成立
C.若成立，则事件与 相互独立
D.若成立，则事件，， 一定两两独立
√
√
√
[解析] 对于A，根据互斥事件与对立事件的定义可知A正确.
对于B，当,，且时， ,
事件，不相互独立，所以事件，相互独立与， 互斥不能同时
成立，故B正确.
对于C，由相互独立的定义可知，C正确.
对于D，有一个正八面体，八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次
这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，
得到样本空间，记事件，
事件 ，事件.
显然，事件 ，
则，满足，而此时 ，
，，不能推出， 相互独立，故D
错误.故选 .
探究点二 条件概率与乘法公式
例2（1）[2026·广东深圳质检]已知随机变量, 均服从两点分布，且
,，若 ，则
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 随机变量, 均服从两点分布，
，，
又
，
，由条件概率公式得
.故选D.
（2）盒中装有3个红球和1个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两
人先后从盒中随机取出1个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球
颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为( )
A. B. C. D.
[解析] 记事件表示“两人取出的球颜色相同”，事件 表示“两人取
出的球同为蓝色”，
则， ， ，
由条件概率公式可得 .故选C.
√
总结反思
求条件概率的常用方法:
（1）定义法:先求和,再由求 .
（2）缩小样本空间法:先求事件所包含的样本点个数 ,再求事件
所包含的样本点个数,则 .
【对点演练2】（1）[2026·辽宁七校联考]记为事件 的对立事件，
且，，，则 ( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由题意得， ，
因为 ，
所以 ，
则 .故选C.
（2）[2026·江苏南京期末]第十五届中国国际航空航天博览会于2024
年11月12日至17日在珠海举办．本届航展规模空前，首次实现空天
海陆全领域动态演示，尽显逐梦长空的中国力量．航展共开辟了三
处观展区，分别是珠海国际航展中心、金凤台观演区、中国航展无
人机无人船演示区．甲、乙、丙、丁四人相约去参观，每个观展区
至少有1人，每人只参观一个观展区．在甲参观珠海国际航展中心的
条件下，甲与乙不到同一观展区的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记事件表示“甲参观珠海国际航展中心”，事件 表示“甲与
乙不到同一观展区”，
则 ，，
所以 .故选A.
（3）电商平台人工智能推荐系统是根据用户的喜好为用户推送商品
的．某体育用品供应商在甲电商平台推广新品和 ，在乙电商平台
推广新品.已知甲平台向一用户推送的概率为，推送 的概率为
，同时推送和的概率为0.3；乙平台向该用户推送 的概率为
，且甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响．
①在甲平台没有向该用户推送的条件下，求它向该用户推送 的概率；
解：设“甲平台向该用户推送”为事件，“甲平台向该用户推送 ”
为事件，
则“甲平台没有向该用户推送”为事件 ，
由题设可知，，，
，
又，所以 ，
所以 .
②求这两个平台至少向该用户推送，， 中的一种的概率．
解：设“乙平台向该用户推送”为事件 ，则这两个平台向该用户至
少推送，，中的一种的概率为 ，
.
因为甲平台的推送结果与乙平台的推送结果互相不受影响，所以
，
因为，所以 ，
则 ，
所以所求概率为 .
探究点三 全概率公式
例3（1）某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，
智能客服的回答被采纳的概率为 ，当输入的问题表达不清晰时，智
能客服的回答被采纳的概率为 ．已知输入的问题表达不清晰的概率
为 ，则智能客服的回答被采纳的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设“输入的问题表达清晰”为事件，“回答被采纳”为事件 ，
则，，， ，
根据全概率公式得
. 故选B.
（2）[2026·山东潍坊期末]盒中有5个红球，3个黑球，现随机从中取
出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一个
球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. B. C. D.
[解析] 设“第一次取到黑球”为事件，“第二次取到黑球”为事件 ，
则,,, ，
所以 .故选C.
√
总结反思
1.全概率：所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，所以
把样本空间分成容易研究的几种情况，全概率公式考察的是在每一种
情况下事件 发生的概率，从而计算 发生的概率（如图）.
2.计算全概率主要分为三步，核心是把一个复杂事件分解成几个简单
的、互不相干的事件来计算.
（1）定义样本空间的划分：找到一组事件,, , .这些事件需
要满足两个条件：互斥性，即任意两个事件不会同时发生；穷尽性，
即所有事件加起来覆盖了所有可能情况.
（2）计算每个划分事件的概率：计算,, , .
（3）应用全概率公式：计算在每个发生的条件下事件 发生的概
率 ，代入公式
即可.
【对点演练3】（1）已知一道解答题共有两小问，某同学能够正确
解答第一问的概率为0.6．在第一问不正确解答的情况下，第二问能
够正确解答的概率为 ，在第一问能够正确解答的情况下，第二问
不能正确解答的概率为 ，则该同学能够正确解答第二问的概率为
( )
A.0.46 B.0.22 C.0.18 D.0.04
√
[解析] 设“该同学能够正确解答第一问”为事件 ，“该同学能够正确
解答第二问”为事件，
由题意可得, , ，
则, ，
所以
.故选B.
（2）[2026·江苏南通质检] 一批产品共16件，有2件不合格品，将这
批产品随机分装到两个箱子中，每个箱子8件.收货方不放回地随机抽
取产品进行检验，并按以下规则判断是否接收这批产品：如果抽检
的第1件产品不合格，则拒收整批产品;如果抽检的第1件产品合格，
则从另一个箱子中再抽检1件，若合格，则接收整批产品，否则拒收
整批产品.
①求2件不合格品被装在同一个箱子中的概率;
解：记 “2件不合格品被装在同一个箱子中”，
16件产品随机分装到两个箱子中，样本空间包含 个样本点，
2件不合格品被装在同一个箱子中，包含 个样本点，
所以 ，即2件不合格品被装在同一个箱子中的概率
为 .
②求这批产品被拒收的概率.
解：由①知，， ，
记“产品被拒收”，“第1次抽到不合格品”， “第2次抽到不
合格品”.
若2件不合格品被装在同一个箱子中，则当第1次选择的是不含不
合格品的箱子时， ，
，
当第1次选择的是含不合格品的箱子时， ，
.
所以 ，
所以 .
若2件不合格品被装在两个箱子中，则 ，
，
所以 ，
所以 .
由和 得，
，
即这批产品被拒收的概率为 .
探究点四 贝叶斯公式
例4 [2026·陕西西安模拟]一家银行有客户和普通客户， 客户
占客户总数的，普通客户占客户总数的.已知 客户的信用
卡未按时还款的概率为 ，而普通客户的信用卡未按时还款的概率
为 .现从该银行客户中随机抽取一个发生信用卡未按时还款的客户，
则这个客户是 客户的概率是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记事件为“客户是客户”，事件 为“客户是普通客户”，
事件为“客户发生信用卡未按时还款”，
则， ，， ，
由全概率公式得
，
由条件概率公式得 .故选A.
总结反思
把事件看作某一过程的结果，把,, , 看作该过程的若干个
原因，如果已知事件已经发生，要求此时是由第 个
原因引起的概率，则用贝叶斯公式求解即求 .
【对点演练4】（1）某组织对某市上班族上班的出行方式进行了调
查，结果显示有的上班族乘坐公共交通工具，有 的上班族
开私家车，有 的上班族选择步行．在乘坐公共交通工具出行的
上班族中有的人迟到，在开私家车出行的上班族中有 的人
迟到，在步行出行的上班族中有 的人迟到．以频率估计概率，
从该市随机选择一名上班族，若他某天上班迟到了，则这名上班族
当天是乘坐公共交通工具出行的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件，， 分别表示该市上班族上班的出行方式为乘坐
公共交通工具，开私家车，步行，事件 为上班迟到.
由题知，,，, ,
，
所以 ，
故所求的概率为 .故选C.
（2）已知某商品有甲、乙、丙三个预定通道，消费者选择其中一个
通道进行预订．由 对预订情况进行统计，实时更新预订数据．据
统计，在有意向预订的消费者中，选择甲、乙、丙通道预订的概率
分别为，，，且对应预订成功的概率分别为，， ，则在消费
者预订成功的条件下，选择甲通道预订的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 记选择甲、乙、丙通道预订分别为事件,, ，预订成功为事件，
由题意可得,, ，,
,，
则
，
所以 .故选C.
【备选理由】例1以典型的乒乓球赛事为背景，考查独立事件的概率、
乘法公式及全概率公式.
例1 ［配合探究点一、二、三使用］
[2026·广东东莞模拟] 有， ，
，，，，， 共八名运
动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定
最后的冠军（如图），八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位
置编号，已知，，，，，， 这七名运动员互相对决时
彼此间的获胜概率均为，运动员与其他运动员对决时， 获胜的概
率为 ，每场对决没有平局，且结果相互独立．#1
（1）求这八名运动员各自获得冠军
的概率；
解： 夺冠即为三轮比赛都获胜，
所以夺冠的概率为 .
由题意知，，，，，，， 这七名运动员水平相当，且
八名运动各自夺冠概率之和为1，
所以，，，，，， 这七名运动员各自夺冠的概率均为
.
（2）求与对决过且 最后获得
冠军的概率.
解：记事件“ 获得冠军”，事件
“与对决过”，事件“与在第轮对决”， ,2,3.
不妨设在①号位，则在第1,2,3轮能与 对决时其位置编号分别为
②，③④，⑤⑥⑦⑧.
，
，
，
，
所以 .
【备选理由】例2以人教A版选择性必修第三册P53阅读与思考为背景
命题.
例2 ［配合探究点三使用］有 个盲盒，其中有
个内有奖品.若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时组织方（知道盲盒内部是
否有奖品）打开了一个没有奖品的盲盒，此时抽奖者重新选定另外一个盲
盒后打开，记此时中奖的概率为 ；若抽奖者选定了一个盲盒但未打开时
有个未选的盲盒因被风吹掉而意外打开，且抽奖者发现其内部没有奖品，
此时抽奖者重新选定另外一个盲盒后打开，记此时中奖的概率为 .则对任
意符合题意的， ，都有( )
A. B.
C. D.无法确定与 的大小关系
√
[解析] 设事件为“最终中奖”，事件 为“一开始选中的盲盒内部有
奖品”，则 .
在组织方打开一个无奖品的盲盒后，若一开始选中的盲盒内部有奖品，
则剩余个盲盒中有 个有奖品，更换后中奖的概率
，
若一开始选中的盲盒中无奖品，则剩余个盲盒中有 个有奖品，
则更换后中奖的概率，
故 .
由于风吹掉盲盒为随机吹掉，故所有未打开的个盲盒中有 个
有奖品，且每个盲盒中有奖品的概率相等，故 .
因此，故 .故选C.
作业手册
◆ 夯实基础 ◆
1.有三台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为
，第2，3台车床加工的零件次品率均为 ，加工出来的零件混
放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的 ，
， ，从所有加工出来的零件中任取一个零件，则它为次品
的概率是( )
A.0.078 B.0.077 C.0.076 D.0.075
√
[解析] “设任取一个零件，该零件是由第1，2，3台车床加工出来的”
分别为事件，，，“该零件为次品”为事件，
则 ，，， ，
，
则任取一个零件是次品的概率 .故选D.
2.[2026·河南周口模拟]已知随机事件，，若, ,
，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 因为，所以，又， ，
所以 .
故选B.
√
3.[2026·武汉华中师大附中期末]抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事
件“两次掷出的点数之和是6”，事件 “两次掷出的点数相同”，
事件 “第一次掷出的点数是偶数”，则( )
A. B.与 相互独立
C.与相互独立 D.与 相互独立
√
[解析] 对于A，掷两次骰子，，事件 包含的样本点为
，，，，，共5个，所以 ，故A错误；
对于B，事件包含的样本点为，，， ，，
，共6个，所以，
事件 包含的样本点为，共1个，所以 ,
因为，
所以与 不相互独立，故B错误；
对于C，易知事件包含的样本点个数为18，所以 ,事件
包含的样本点为，， ，共3个，所以
，
因为 ，所以事件，相互独立，
故C正确；
对于D，因为事件 包含的样本点为，，共2个，
所以 ，
因为，所以事件与 不相互独立，
故D错误.故选C.
4.在一场游戏中，甲、乙、丙通关的概率分别是,, ，且三人通关与
否相互独立，则在甲、乙、丙中恰有两人通关的条件下，甲通关的
概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设甲、乙、丙通关分别为事件,, ，三人中恰有两人通关为
事件，
则,, ,
,
，
所以 .故选D.
5.已知某条线路上有甲、乙两辆相邻班次的公交车，若甲准点到站的
概率为，在乙准点到站的前提下甲准点到站的概率为 ，在甲准点
到站的前提下乙不准点到站的概率为 ，则乙准点到站的概率为
( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件为“甲准点到站”，事件 为“乙准点到站”，依题意得
,,，所以 ，
又，所以 ，
所以 .故选B.
6.（多选题）[2026·江苏南京调研]一个袋中有大小、形状完全相同
的3个球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中无放回地取出2个球，记
“第一次取到红球”为事件，“第二次取到黄球”为事件 ，则
( )
A. B.
C. D.， 相互独立
√
√
[解析] 对于A， ，A正确；
对于B，由题意知，B错误；
对于C， ,则，
C正确；
对于D，, ,，则，
所以， 不相互独立，D错误. 故选 .
7.[2026·山西长治模拟] 甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，比赛采取
五局三胜制，各局比赛相互独立，甲每局获胜的概率为 ，没有平局.
若已知甲最终获胜，则甲是以 获胜的概率为__.
[解析] 由题意可知若甲最终获胜，则比赛的结果可以为， 或
.若甲以获胜，则概率；
若甲以 获胜，则概率；
若甲以 获胜，则概率 .
所以甲最终获胜的概率.
则在已知甲最终获胜的条件下，甲是以 获胜的概率为 .
8.甲、乙两人进行一场比赛，且比赛中不存在平局，先赢三局者获胜，
并可以获得1000元奖金.已知两人在每局比赛中获胜的可能性均相同，
各局比赛结果互不影响.当甲连赢两局，乙一局未赢时，因某种特殊
情况需要终止比赛.现将1000元奖金按比赛继续下去两人各自最终获
胜的可能性的比例进行分配，则甲应该分得_____元.
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[解析] 由题意知，如果比赛继续，乙需要连赢三局才能获胜，因为甲、乙两人在每局比赛中获胜的可能性均相同，各局比赛结果互不影响，
所以乙连赢三局最终获胜的概率为 ，
则甲最终获胜的概率为，
所以甲应分得奖金的，乙应分得奖金的 ，即甲应该分得 （元）.
9.假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有3个白球和2个红球，现
从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，已知从乙袋
中取出的是2个白球，则从甲袋中取出的是2个红球的概率为___.
[解析] 设“从甲袋中取出2个球，其中红球的个数为 ”为事件
，“从乙袋中取出2个球，其中白球的个数为2”为事件 .
由题意知，； ，
；， .
所以 .
根据贝叶斯公式可得 .
10.甲、乙、丙3台机器生产同一型号的产品，假设所有产品合格与否
相互独立，已知甲、乙、丙机器的产品合格率分别为，， .
（1）从甲机器生产的产品中任取2件产品，求2件产品都合格的概率；
解：设“从甲机器生产的产品中任取2件产品，2件产品都合格”为事
件 ，
所以 .
（2）从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，求恰有2件产品合
格的概率；
解：设“从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，恰有2件产品合格”为事件 ，
“从甲机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件，
“从乙机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件 ，
“从丙机器生产的产品中任取1件产品为合格产品”为事件 ，
则，， ，
,
所以从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，恰有2件产品合格
的概率为 .
（3）若三台机器的产量相同，将生产出来的产品混放在一起，从中
任取一件产品，求这件产品合格的概率.
解：设“该产品为甲机器生产的”为事件 ，“该产品为乙机器生产的”
为事件，“该产品为丙机器生产的”为事件 ，“这件产品合格”为
事件 ，
根据已知条件有， ，
， ，
根据全概率公式有
.
◆ 综合提升 ◆
11.随着互联网的发展， 的出现为人们提供了很大的便利.某人选择
甲、乙、丙三种工具的概率均为，而使用甲种、乙种、丙种 工
具出错的概率分别为，， .若已知今天他的报告有误，则他选择甲
种 工具写报告的概率为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 设事件,,分别为选择甲种、乙种、丙种 工具写报告，事
件为报告有误，
则， ，，，
所以
.故选C.
12.（多选题）[2026·广东六校联盟联考]掷一枚质地均匀的骰子，可
等可能得到点，现投掷一次这枚骰子，记事件 “得到1点或2
点或3点”，事件，与 为两两互不相同的随机事件，且
， ，则( )
A.存在事件，使得
B.存在事件，使得
C.存在事件，，使得
D.存在事件，，使得
√
√
√
[解析] 若事件“得到4点”，则事件为不可能事件， ，
故A正确；
因为事件，所以 ，故B错误；
若事件“得到4点或5点”，事件“得到5点”，则事件 “得到
5点”，，故C正确；
若事件 “得到1点或2点或4点”，事件“得到2点或3点或5点或6
点”，则事件 “得到2点”，
，， ，，
所以，故D正确.故选 .
13.某饮料厂生产，两种型号的饮料，已知种饮料的生产量是
种饮料的生产量的2倍，且种、 种型号的饮料中碳酸饮料所占的
比例分别为， ，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到
非碳酸饮料的概率为_ __.
[解析] 设“选到非碳酸饮料”为事件,“选出的饮料是 种型号”为事件
,“选出的饮料是种型号”为事件,
则， ，，
，
由全概率公式得
.
14.[2026·河北石家庄模拟] 有甲、乙两个袋子，袋子里有形状大小完
全相同的球，其中甲袋中有3个红球、7个白球，乙袋中有4个红球、6
个白球.从两个袋子中等可能地选一个袋子，再从该袋子中随机摸出1
个球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.
（1）求首次摸球后试验就结束的概率.
解：设摸球一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件 ，“摸
出白球”为事件，“摸出红球”为事件 .
则 ，
所以首次摸球后试验就结束的概率为 .
（2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率.
解：由题意知，和为对立事件，则 ，
则 ，
所以在首次摸出红球的条件下，选到的袋子是乙袋的概率是 .
（3）在首次摸出红球的条件下，将红球放回原袋中，继续第二次摸
球试验，有如下两个方案：
方案一：从原袋中摸球；
方案二：从另外一个袋子中摸球.
请通过计算，说明哪个方案能使第二次摸球后试验结束的概率更大.
解：方案一：从原袋中摸球.若首次在甲袋中摸出红球，则
，从原袋（甲袋）中摸出白球的概率为 ，所以第二
次摸球后试验结束的概率为 ；
若首次在乙袋中摸出红球，则 ，从原袋（乙袋）中摸出
白球的概率为 ，所以第二次摸球后试验结束的概率为 .
综上，方案一使第二次摸球后试验结束的概率为 .
方案二：从另外一个袋子中摸球.
若首次在甲袋中摸出红球，则 ，从另一个袋子（乙袋）
中摸出白球的概率为 ，所以第二次摸球后试验结束的概率为
；
若首次在乙袋中摸出红球，则 ，从另一个袋子（甲袋）
中摸出白球的概率为 ，
所以第二次摸球后试验结束的概率为 .
综上，方案二使第二次摸球后试验结束的概率为 .
因为 ，所以方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大.
知识聚焦
1.
2.（1） （2） 对立事件 （3） 相互独立
课前演练
（1）× （2）× （3）√ 1.0.7 2. 3.0.65
课堂考点探究
例1（1）C （2）AD 【对点演练1】（1）C （2）ABC 例2（1）D （2）C
【对点演练2】（1）C （2）A （3）①所求概率为 . ②所求概率为.
例3（1）B （2）C 【对点演练3】（1）B （2）①2件不合格品被装在同一
个箱子中的概率为. ②这批产品被拒收的概率为.
例4 A 【对点演练4】（1）C （2）C
教师备用习题
例1（1）这七名运动员各自夺冠的概率均为.
（2）所求.
例2 C
夯实基础
1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.AC 7. 8.875 9.
10.（1）所求概率为.（2）从甲、乙、丙机器生产的产品中各任取1件，恰有
2件产品合格的概率为.（3）所求概率.
综合提升
11.C 12.ACD 13. 14.（1）首次摸球后试验就结束的概率为.
（2）在首次摸出红球的条件下，选到的袋子是乙袋的概率是.
（3）方案二使第二次摸球后试验结束的概率更大.

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