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第一单元　预备知识
第1讲　集合
【课标要求】　
1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.
2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.
3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.
4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.
5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.
6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.
7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.
1.集合的有关概念
(1)集合元素的三个特性:　　　　、　　　　、　　　　.
(2)集合的三种表示方法: 　　　　、　　　　、　　　　.
(3)元素与集合的两种关系:属于,记为　　;不属于,记为　　.
(4)六个特定的集合及其关系图:N*或N+表示　　　　　,N表示非负整数集(或自然数集),Z表示　　　　　,Q表示　　　　,R表示实数集,C表示　　　　.
2.集合间的基本关系
(1)包含:一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集,记作　　　　(或B A).
(2)真包含:如果集合A B,但存在元素x∈B,且x A,就称集合A是集合B的真子集,记作A　　B(或B　　A).
(3)相等:只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是　　　　的.
(4)空集是任何集合的子集,是　　　　　集合的真子集.
3.集合的基本运算
文字 语言 符号语言 图形语言 记法
交集 属于A 　　　属于B的元素组成的集合 {x|x∈A,　　　x∈B} 　　
并集 属于A　　　属于B的元素组成的集合 {x|x∈A,　　　x∈B} 　　
补集 全集U中　　　属于A的所有元素组成的集合 {x|x∈U,且x　 　A} 　　
4.集合的运算性质
(1)交集的运算性质:A∩B=B∩A;A∩A=A;A∩ = ∩A= ;A∩B=A A　　　B.
(2)并集的运算性质:A∪B=　　　　;A∪A=A;A∪ = ∪A=A;A∪B=　　　 B A.
(3)补集的运算性质:A∪( UA)=U;A∩( UA)=　　; U( UA)=　　; U(A∪B)=( UA)　　( UB); U(A∩B)=　 　∪　 　.
常用结论
(1)集合的关系
①一个集合的真子集必是其子集,一个集合的子集不一定是其真子集.
②任何一个集合是它本身的子集,空集是任何集合的子集.
③子集的传递性:若A B,B C,则A C(真子集也满足).
④若A B且B≠ ,则有A= 和A≠ 两种可能.
(2)集合的子集个数和元素个数
①集合子集的个数:若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个,真子集有(2n-1)个,非空子集有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个.
②集合元素的个数:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)(常用在实际问题中).
(3)集合的运算
A B A∩B=A A∪B=B UA UB.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若1∈{x2,x},则x=-1或x=1. (　 )
(2)集合A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x+2,x∈R},则A∩B={(-1,1),(2,4)}. (　 )
(3)已知集合A=,B=,则A≠B. (　 )
题组二　教材改编
1.设集合A={x|x≥-1},则下列四个关系中正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1∈A B.1 A
C.{1}∈A D.1 A
2.已知全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={x∈Z||x|<2},则 UA= (　 )
A.{-1,0,1} B.{-2,2,3}
C.{-2,-1,2} D.{-2,0,3}
3.已知集合A={x|0≤x<7,x∈N},B={1,2,3,4,5},则集合A,B间的关系为 (　 )
A.A∈B B.B∈A
C.A=B D.B A
　集合的概念及表示
例1 (1)设集合A={x|2x-1>m}.若2∈A,则m的取值范围是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.m≤3 B.m≥3 C.m<3 D.m>3
(2)(多选题)下列表示同一集合的是 (　 )
A.A={x|x=2n,n∈N且0B.A={x|x>1},B={y|y>1}
C.A={x|y=x+1},B={(x,y)|y=x+1}
D.A={x|x>0,x∈N},B={x|x>0,x∈Z}
总结反思
(1)用描述法表示集合时,要确定构成集合的元素是什么及这些元素的限制条件是什么.
(2)注意对集合中的元素是否满足互异性进行检验.
(3)遇到含参问题的选择题,可以从选项入手,利用排除法,可把逆向思维问题转化为正向思维问题进行求解.
【对点演练1】 (1) 已知集合A={x|3ax-2≤0},若1∈A且2 A,则 (　 )
A.C.
(2)[2026·河北衡水联考] 设集合A={a,b},B={2a,2a2},若A=B,则ab=　　　　.
　集合间的基本关系
例2 (1)若集合A={x|x2-5x≤0},B={x|x>5},则 (　 )
A.A B B.B A
C.A∪B=R D.A RB
(2)[2026·山东青岛模拟] 若集合A=,B=,则 (　 )
A.A B B.B A
C.A=B D.A∩B=
(3)已知集合A={x|x(x+m)≤0},B={x|(3x+1)(x-m+1)=0},C=A∩B,若集合C有3个真子集,则实数m的值可能为 (　 )
A.- B.
C. D.
总结反思
判断集合间的基本关系的常用方法
定义法:根据题中限定条件把集合元素表示出来,然后比较集合元素的异同,从而找出集合间的关系.
图示法:(1)在同一个数轴上表示出两个集合,比较端点之间的大小关系,从而确定集合间的关系;(2)借助Venn图来表示集合间的包含关系.
【对点演练2】 (1)[2026·湘豫名校联考] 已知集合A={0,1,2,4},B={0,2,3},则 (　 )
A.A B
B.B A
C.A∪B={0,1,2,4}
D.A∩B={0,2}
(2)设集合A={1,ln a},B={0,a},若A=B,则a= (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.e
(3)已知集合A={-2,0,1},B={x|4-ax>0},若A B,则a的取值范围是 (　 )
A.(-2,+∞) 　 　B.(-∞,4)
C.(-∞,-2)∪(4,+∞) 　　 D.(-2,4)
　集合的基本运算
题型1　集合的运算
例3 (1)[2025·全国二卷] 已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B= (　 )
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
(2)[2025·全国一卷] 已知集合U={x|x是小于9的正整数},A={1,3,5},则 UA中元素个数为 (　 )
A.2 B.3 C.5 D.8
(3)[2024·北京卷] 已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}
C.{x|-3题型2　利用集合的运算求参数的值(范围)
例4 (1)已知集合A={x|x>a},B={x|x2-4x+3<0}.若A∪B=A,则a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,1] B.(-∞,3]
C.[1,+∞) D.[3,+∞)
(2)[2025·陕西安康模拟] 已知集合A=,B={x|x≥a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是 (　 )
A.[0,+∞) B.(0,+∞)
C.(-∞,0] D.(-∞,0)
总结反思
1.对于已知集合的运算,可根据集合的交集、并集和补集的定义直接求解,也可结合数轴以及Venn图求解.
2.根据集合运算求参数,要把集合语言先转换为方程或不等式,然后解方程或不等式,再利用数形结合求解.解题过程中要注意的几点:(1)端点值能否取到;(2)讨论二次项系数等是否为零;(3)使用根与系数的关系的前提应满足Δ≥0.
【对点演练3】 (1)[2024·新课标Ⅰ卷] 已知集合A={x|-5A.{-1,0} B.{2,3}
C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2}
(2)已知集合M={-1,0,a-1},N={a+1,-2},若M∩N=N,则a= (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2第一单元　预备知识
第1讲　集合
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)确定性　无序性　互异性
(2)列举法　描述法　图示法
(3)∈　
(4)正整数集　整数集　有理数集　复数集
2.(1)A B　(2) 　 　(3)相等
(4)任何非空
3.且　且　A∩B　或　或　A∪B　不　 　 UA
4.(1) 　(2)B∪A　A　(3) 　A　∩　( UA)　( UB)
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)令x2=1,解得x=-1或x=1,当x=1时,x2=x,与集合元素的互异性相矛盾,所以x=1舍去,当x=-1时,符合题意.故错误.
(2)集合A是数集,集合B是点集,所以A∩B= .故错误.
(3)由题可知,集合A={x|x∈R且x≠0},集合B={y|y∈R且y≠0},两集合中的元素均为除了0以外的全体实数,则A=B.故错误.
题组二
1.A　[解析] 由题意知,集合A={x|x≥-1}表示所有不小于-1的实数组成的集合,所以1是集合A中的元素,故1∈A.故选A.
2.B　[解析] A={x∈Z||x|<2}={-1,0,1},则 UA={-2,2,3}.故选B.
3.D　[解析] 由题知,A={0,1,2,3,4,5,6},又B={1,2,3,4,5},所以B A.故选D.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)因为2∈A,所以2×2-1>m,所以m<3.故选C.
(2)对于A,由n∈N,01}=(1,+∞),B={y|y>1}=(1,+∞),∴A=B,故B正确;对于C,集合A={x|y=x+1}是数集,B={(x,y)|y=x+1}是点集,∴A≠B,故C不正确;对于D,A={x|x>0,x∈N}={1,2,3,…},B={x|x>0,x∈Z}={1,2,3,…},∴A=B,故D正确.故选ABD.
对点演练1　(1)C　(2)　[解析] (1)方法一:由1∈A且2 A,得解得方法二:取a=,则A={x|x≤1},符合题意,所以a=成立,排除A,B,D,故选C.
(2)在B={2a,2a2}中,2a≠2a2,则a≠0且a≠1,而A={a,b},A=B,显然a≠2a,因此解得
所以ab=.
探究点二
例2　(1)D　(2)A　(3)C　[解析] (1)依题意得A={x|0≤x≤5},B={x|x>5}, RB={x|x≤5},所以A RB.集合A与B之间没有包含关系,A∪B={x|x≥0},A,B,C都错误,故选D.
(2)因为集合A==,B=,所以A B.故选A.
(3)因为C有3个真子集,所以C中有2个元素,故B中有两个元素,故B=且B A,则
解得≤m≤1且m≠.故选C.
对点演练2　(1)D　(2)C　(3)D　[解析] (1)因为4∈A但4 B,3∈B但3 A,所以A,B均错误;因为A∪B={0,1,2,3,4},所以C错误;因为A∩B={0,2},所以D正确.故选D.
(2)由A=B可知,解得a=1.故选C.
(3)因为A B,所以解得-2探究点三
例3　(1)D　(2)C　(3)C　[解析] (1)B={x|x(x-1)(x+1)=0}={0,-1,1},则A∩B={0,1}.
(2)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5},所以 UA={2,4,6,7,8},共有5个元素.故选C.
(3)由题意得M∪N={x|-3例4　(1)A　(2)C　[解析] (1)由x2-4x+3<0,可得(x-3)(x-1)<0,解得1a},所以a≤1,所以a的取值范围为(-∞,1].故选A.
(2)A={x|0对点演练3　(1)A　(2)A　[解析] (1)因为A={x|-(2)因为M∩N=N,所以N M,所以-2∈M,则-2=a-1,解得a=-1.此时M={-1,0,-2},N={0,-2},满足N M,所以a=-1符合题意.故选A.

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