资源简介

第2讲　常用逻辑用语
【课标要求】　
1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件、充分条件、充要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系、判定定理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系.
2.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.
3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定,能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件
p是q的　　　　　　　条件 p q且q /p
p是q的　　　　　　　条件 p /q且q p
p是q的　　　　条件 p q
p是q的　　　　　　　　　条件 p /q且q /p
2.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作　　　　　,并用符号“　　”表示.
(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作　　　　　,并用符号“　　”表示.
(3)含有一个量词的命题的否定:
全称量词命题: x∈M,p(x),它的否定:　　　　　　　.
存在量词命题: x∈M,p(x),它的否定:　　　　　　　.
常用结论
1.充分、必要条件的两个结论:
(1)若p是q的充分不必要条件,q是r的充分不必要条件,则p是r的充分不必要条件;
(2)若p是q的充分不必要条件,则 q是 p的充分不必要条件.
2.充分、必要条件与集合的关系
使p成立的对象构成的集合为A,使q成立的对象构成的集合为B
p是q的充分条件 A B
p是q的必要条件 B A
p是q的充分不必要条件 A B
p是q的必要不充分条件 B A
p是q的充要条件 A=B
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题. (　 )
(2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题. (　 )
(3)a=1是a2=1的充要条件. (　 )
(4)a>0,b>0成立的一个必要不充分条件是a+b>0. (　 )
题组二　教材改编
1.下列不能说明“ x,y∈R,x2+y2-2x=1”为真命题的条件是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.(x,y)=(0,1)　 B.(x,y)=(0,-1)
C.(x,y)=(2,1) D.(x,y)=(-2,1)
2.下列命题中是假命题的是 (　 )
A. x∈R,lg x=1
B. x∈R,sin x=0
C. x∈R,x3>0
D. x∈R,2x>0
3.对于实数x,“x<0”是“x<1”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　充分条件与必要条件的判断
例1 (1)设x∈R,则“-2≤x≤-1”是“≤0”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2025·广东湛江期中] “a>b>c”是“a+b>c”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法:根据p q,q p进行判断.适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法:根据p,q对应的集合之间的包含关系进行判断.多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
【对点演练1】 (1)已知a>0,b>0,则“a+b=2”是“ab≤1”的 (　 )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2026·河北保定质检] 已知集合A={x|x2<1},B={x|2a　充分、必要条件的应用
例2 (1)[2026·湖北武汉期末] 已知p:x<-3或x>2,q:x>a,且q是p的充分不必要条件,则实数a的取值范围是 (　 )
A.a≤2 B.a≤-3
C.a>2 D.a≥2
(2)已知A={x|x≤m},B={x|x≤3},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,则m的取值范围是 (　 )
A.m>3 B.m≥3 C.m<3 D.m≤3
总结反思
应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法:
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解;
(2)检验区间的端点值,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.
【对点演练2】 (1)[2025·江西赣州期末] “m∈(2,+∞)”的充分不必要条件是 (　 )
A.m≥2 B.m≥3
C.m>2 D.m≥1
(2)已知α:x<2m-1或x>-m,β:x<2或x≥4,若α是β的必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　.
　全称量词与存在量词
题型1　含量词命题的否定
例3 [2025·浙江杭州期末] 命题“ x>0,x2-3x-10>0”的否定是 (　 )
A. x>0,x2-3x-10>0
B. x>0,x2-3x-10≤0
C. x≤0,x2-3x-10≤0
D. x>0,x2-3x-10≤0
题型2　含量词命题的真假判定
例4 [2026·陕西延安模拟] 已知命题p: x∈R,(x+1)2>0,命题q: x>0,x3=x2,则 (　 )
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
题型3　由含量词命题的真假求参数的取值范围
例5 (1)[2025·山东百师联盟联考] 若“ x∈[1,4],2x+a+1≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-9) B.(-∞,-3)
C.(-9,+∞) D.(-3,+∞)
(2)[2026·江苏苏州期末] 若命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,则实数m的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
总结反思
1.全称量词命题的否定是把“全称量词”改为“存在量词”,然后对原命题的结论进行否定;存在量词命题的否定是把“存在量词”改为“全称量词”,然后对原命题的结论进行否定.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法:对于全称量词命题,所有对象都能使命题为真,则这个全称量词命题为真命题;对于存在量词命题,只要有一个对象使命题为真,则这个存在量词命题为真命题.
3.由含量词命题的真假求参数的取值范围的方法:先把含有量词的命题转化为真命题,再转化为解不等式的恒成立问题或有解问题,通过求最值,即可得参数的取值范围.
【对点演练3】 (1)命题“ a,b>0,a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为 (　 )
A. a,b>0,a+<2和b+<2至少有一个成立
B. a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立
C. a,b>0,a+<2和b+<2至少有一个成立
D. a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立
(2)命题“ x∈R,x2+(a+1)x+1<0”为假命题,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-3]∪[1,+∞)
B.(-∞,-3)∪(1,+∞)
C.[-3,1]
D.(-3,1)
(3)[2026·江苏南京期末] 若“ x∈,x2-λx+2≥0”是真命题,则实数λ的最大值为 (　 )
A. B.3 C.2 D.2第2讲　常用逻辑用语
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.充分　必要　充分不必要　必要不充分　充要　既不充分也不必要
2.(1)全称量词　 　(2)存在量词　
(3) x∈M, p(x)　 x∈M, p(x)
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　[解析] (1)命题“三角形的内角和是180°”即为“所有三角形的内角和是180°”,故为全称量词命题.
(2)根据存在量词命题的判定可知其正确.
(3)由a=1,可得a2=1,由a2=1,可得a=1或a=-1,故a=1是a2=1的充分不必要条件,故错误.
(4)由a>0,b>0,可得a+b>0,但当a+b>0成立时,a>0,b>0不一定成立.因此a+b>0是a>0,b>0的一个必要不充分条件,故正确.
题组二
1.D　[解析] 对于A,(x,y)=(0,1),此时x2+y2-2x=02+12-2×0=1;对于B,(x,y)=(0,-1),此时x2+y2-2x=02+(-1)2-2×0=1;对于C,(x,y)=(2,1),此时x2+y2-2x=22+12-2×2=1;对于D,(x,y)=(-2,1),此时x2+y2-2x=(-2)2+12-2×(-2)=9≠1.故选D.
2.C　[解析] 对于A,当x=10时,lg 10=1,故A中命题为真命题;对于B,当x=0时,sin 0=0,故B中命题为真命题;对于C,当x≤0时,x3≤0,故C中命题为假命题;对于D,由指数函数的性质知, x∈R,2x>0,故D中命题为真命题.故选C.
3.A　[解析] 由x<0,可以得到x<1,但由x<1,不一定能得到x<0,故“x<0”是“x<1”的充分不必要条件.故选A.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)D　[解析] (1)因为-2≤x≤-1,所以x+2≥0,x+1≤0.当x+1=0时,无意义,所以当-2≤x≤-1时,≤0不一定成立;当≤0时,-2≤x<-1,所以“≤0”能推出“-2≤x≤-1”.所以“-2≤x≤-1”是“≤0”的必要不充分条件.故选B.
(2)当a=-2,b=-3,c=-4时,满足a>b>c,此时a+bb>c不能推出a+b>c;当a=1,b=2,c=-1时,满足a+b>c,此时b>a>c,即a+b>c不能推出a>b>c.故“a>b>c”是“a+b>c”的既不充分也不必要条件.故选D.
对点演练1　(1)B　(2)　[解析] (1)因为a>0,b>0,所以a+b=2≥2,解得ab≤1,即充分性成立;若ab≤1,不妨取a=b=,则a+b不等于2,即必要性不成立.故“a+b=2”是“ab≤1”的充分不必要条件.故选B.
(2)由x2<1,解得-1探究点二
例2　(1)D　(2)B　[解析] (1)根据题意,设使p,q成立的对象分别构成集合A,B,则A={x|x<-3或x>2},B={x|x>a}.又q是p的充分不必要条件,所以B A且B≠A,则a≥2.故选D.
(2)∵x∈A是x∈B的必要条件,∴B A,∴m≥3.故选B.
对点演练2　(1)B　(2)　[解析] (1)要求“m∈(2,+∞)”的充分不必要条件,只需求(2,+∞)的非空真子集即可,由选项可知,只有B满足题意,故选B.
(2)设集合A={x|x<2m-1或x>-m},B={x|x<2或x≥4}.
若α是β的必要条件,则B A.
当2m-1>-m,即m>时,A=R,B A成立;当2m-1≤-m,即m≤时,若B A,则此时该不等式组无解.综上所述,实数m的取值范围是.
探究点三
例3　D　[解析] “ x>0,x2-3x-10>0”的否定是“ x>0,x2-3x-10≤0”.故选D.
例4　B　[解析] 因为 x∈R,(x+1)2≥0,所以命题p: x∈R,(x+1)2>0为假命题,则命题 p为真命题.当x=1时,x3=x2,所以命题q: x>0,x3=x2为真命题,则 q为假命题.故选B.
例5　(1)D　(2)B　[解析] (1)由“ x∈[1,4],2x+a+1≤0”是假命题,得“ x∈[1,4],2x+a+1>0”是真命题,因此2×1+a+1>0,解得a>-3,所以实数a的取值范围是(-3,+∞).故选D.
(2)因为命题“ x∈R,x2-x+m≥0”是假命题,所以“ x∈R,x2-x+m<0” 是真命题,因此Δ=1-4m>0,解得m<,所以实数m的取值范围是.故选B.
对点演练3　(1)D　(2)C　(3)C　[解析] (1)“ a,b>0,a+≥2和b+≥2至少有一个成立”的否定为“ a,b>0,a+≥2和b+≥2都不成立”.
(2)由已知可得,命题“ x∈R,x2+(a+1)x+1<0”的否定,即命题“ x∈R,x2+(a+1)x+1≥0”为真命题,根据二次函数的性质可得,应有Δ=(a+1)2-4=a2+2a-3≤0,解得-3≤a≤1.故选C.
(3)因为“ x∈,x2-λx+2≥0”是真命题,所以 x∈,x+≥λ恒成立,所以λ≤.因为x+≥2=2,当且仅当x==时,等号成立,所以λ≤2,所以实数λ的最大值为2.故选C.

展开更多......

收起↑