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第3讲　等式性质与不等式性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)>　=　<　(2)>　<
2.(3)a+c=b+c　a-c=b-c　ac=bc
(4)=
3.(1)b　(4)>　<
(5)a+c>b+d　(6)>　(7)>
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
[解析] (1)实数a不大于-2,用不等式表示为a≤-2,故错误.
(2)x2>y2的充要条件为|x|>|y|,故正确.
(3)当c=0时,a>b不能推出ac2>bc2,故错误.
(4)原不等式可化为≥0,解得x≤-5或x>-2,所以原不等式的解集为(-∞,-5]∪(-2,+∞),故错误.
题组二
1.D　[解析] 对于A,-=,由a>b,得b-a<0,但c,ab的正负无法判断,故A错误;对于B,当c<0时,acb,得a-b>0,但c的正负无法判断,故C错误;对于D,由a>b,得a-c>b-c,故D正确.故选D.
2.B　[解析] 对于A,C,令a=2,b=-2,c=1,d=-1,则ac=bd,故A,C错误;对于B,由不等式的基本性质可得a+c>b+d,故B正确;对于D,取a=2,b=-2,则>,故D错误.故选B.
3.A　[解析] 因为(+)2-(2+2)2=16+4-(16+8)=4(-2)>0,所以(+)2>(2+2)2,所以+>2+2,即a>b.故选A.
4.D　[解析] 因为1≤a≤4,-1≤b≤2,所以3≤3a≤12,-2≤-b≤1,所以1≤3a-b≤13.故选D.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　[解析] 由a,b均为正实数,M=a3+b3,N=a2b+ab2,得M-N=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b)≥0,当且仅当a=b时取等号,所以M≥N.故选D.
(2)解:方法一(作商法):因为a>b>0,所以M=>0,N=>0,2ab>0,
所以====1+>1,
所以M>N.
方法二(作差法):M-N=-===.
因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0,a2+b2>0,
所以>0,所以M>N.
对点演练1　C　[解析] 因为P-Q=a2+3a+3-(a+1)=a2+2a+2=(a+1)2+1>0,所以P>Q.故选C.
探究点二
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)对于A,若a=2,b=1,c=3,d=2,则a+d=b+c,故A错误;对于B,若a=2,b=1,c=3,d=2,则a-d0,则ac2>bc2,故C正确;对于D,若a=1.1,b=1,c=3,d=2,则ad(2)对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于B,若a>b>0,则a-b>0,a+b>0,则a2-b2=(a+b)(a-b)>0,则a2>b2,故B正确;对于C,若a0,所以a×,故C错误;对于D,当a=-16,b=-4时,a=2,故D错误.故选B.
例3　D　[解析] 设第一象限的点(横坐标为正数且纵坐标为正数的点)有x个,第二象限的点(横坐标为负数且纵坐标为正数的点)有y个,第三象限的点(横坐标为负数且纵坐标为负数的点)有z个,第四象限的点(横坐标为正数且纵坐标为负数的点)有w个.因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多,纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少,所以x+w>y+z①,且z+w>x+y②,由不等式性质可知,①+②可得w>y,即第二象限的点比第四象限的点少.故选D.
对点演练2　(1)B　(2)D　(3)D　
[解析] (1)当a=0,b=-1时,满足ab<1,但不满足00,则ab<1.所以“ab<1”是“0(2)由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,则5≤2a-b≤12,故选D.
(3)根据已知条件,设选科后选报物理方向的男生人数为x1,女生人数为y1;选报历史方向的男生人数为x2,女生人数为y2.根据题意可得所以(x1+x2)+(x1+y1)>(y1+y2)+(x2+y2),即x1>y2,故选报物理方向的男生多于选报历史方向的女生.故选D.第3讲　等式性质与不等式性质
【课标要求】　梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法
(2)作商法
2.等式的性质
(1)若a=b,则b=a;
(2)若a=b,b=c,则a=c;
(3)若a=b,则对任意c,都有　　 　　或　　　　　　或　　　　　　;
(4)若a=b,则对任意不为零的c,都有　　　　　　.
3.不等式的性质
(1)对称性:a>b 　　　　　(双向性).
(2)传递性:a>b,b>c a>c(单向性).
(3)可加性:a>b a+c　　b+c(双向性).
(4)可乘性:a>b,c>0 ac　　bc;
a>b,c<0 ac　　bc.
(5)a>b,c>d 　　　　　(单向性).
(6)a>b>0,c>d>0 ac　　bd(单向性).
(7)乘方法则:a>b>0 an　　　bn(n∈N,n≥2)(单向性).
常用结论
1.若a2.已知a,b,m都是正数,且a>b,则
(1)<<(b-m>0),即真分数越加越大,越减越小;
(2)<<(b-m>0),即假分数越加越小,越减越大.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)实数a不大于-2,用不等式表示为a≥-2. (　 )
(2)x2>y2的充要条件是|x|>|y|. (　 )
(3)若a>b,则ac2>bc2. (　 )
(4)不等式≤2的解集是[-5,+∞).(　 )
题组二　教材改编
1.已知a,b,c都是实数,若a>b,则下列不等式一定成立的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.> B.ac>bc
C.> D.a-c>b-c
2.已知a,b,c,d为实数,a>b且c>d,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.ac>bd B.a+c>b+d
C.ac3.已知a=+,b=2+2,则a,b的大小关系是 (　 )
A.a>b B.a=b
C.a4.已知1≤a≤4,-1≤b≤2,则3a-b的取值范围是 (　 )
A.-13≤3a-b≤1
B.-1≤3a-b≤8
C.-1≤3a-b≤13
D.1≤3a-b≤13
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　比较数(式)的大小
例1 (1)已知a,b均为正实数,若M=a3+b3,N=a2b+ab2,则 (　 )
A.MC.M>N D.M≥N
(2)设a>b>0,M=,N=,比较M,N的大小.
总结反思
比较数(或式)的大小可以利用不等式或函数的性质进行判断,也可以用作差法或作商法进行判断.作差法要将最后的差值与0进行比较;作商法首先判断两个量的正负,然后作商,最后将商值与1进行比较.
【对点演练1】 [2026·四川绵阳模拟] 已知P=a2+3a+3,Q=a+1,则P与Q的大小关系为 (　 )
A.PC.P>Q D.P≤Q
　不等式的性质及应用
题型1　不等式的性质
例2 (1)[2025·湖南益阳期末] 已知a>b>0,c>d>0,则 (　 )
A.a+d>b+c B.a-d>c-b
C.ac2>bc2 D.ad>bc
(2)[2025·浙江温州期末] 下列命题为真命题的是 (　 )
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a题型2　不等式的应用
例3 从坐标平面的四个象限中取若干点,这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多,纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少,则下列对这些点的判断一定正确的是 (　 )
A.第一象限点比第二象限点多
B.第二象限点比第三象限点多
C.第一象限点比第三象限点少
D.第二象限点比第四象限点少
总结反思
1.在应用不等式的性质时,一定要弄清它们成立的前提条件,不可强化或弱化成立的条件;
2.要注意“箭头”是单向的还是双向的,也就是说每条性质是否具有可逆性;
3.在解决与不等关系有关的实际问题时,要读懂题意,用适当的不等号将相关数(或式)联系起来,还要注意字母的实际意义.
【对点演练2】 (1)设a,b∈R,则“ab<1”是“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的取值范围是 (　 )
A.[8,9] B.[4,8]
C.[5,8] D.[5,12]
(3)[2026·广东惠州一中模拟] 某校高一年级男生人数多于女生人数,在选科后选报物理方向的人数多于选报历史方向的人数,则 (　 )
A.选报物理方向的男生多于女生
B.选报历史方向的女生多于男生
C.选报物理方向的女生多于选报历史方向的男生
D.选报物理方向的男生多于选报历史方向的女生

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