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第4讲　基本不等式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)a>0,b>0　(2)a=b
2.(1)2ab　(2)2
3.　两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
4.(1)2　(2)
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)√　[解析] (1)由a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,可得对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab恒成立,故正确.
(2)由a>0,b>0,可得a+b≥2,即ab≤,当且仅当a=b时,等号成立,故正确.
(3)因为当a,b同号时,>0,>0,所以+≥2=2,当且仅当a=b时,等号成立,故正确.
题组二
1.B　[解析] 由x>0,得y=x+≥2=4,当且仅当x=2时等号成立,所以函数y=x+的最小值为4.故选B.
2.A　[解析] 因为x>0,y>0,且x+y=2,所以xy≤=1,当且仅当x=y=1时,等号成立,所以xy的最大值为1,因为xy=x(2-x)=-(x-1)2+1,且03.B　[解析] 由题意得6=4a2+b2=(2a)2+b2≥2×2a×b,即ab≤,当且仅当2a=b,即a=,b=或a=-,b=-时等号成立,所以ab的最大值为.故选B.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)B　[解析] (1)因为x>0,所以x+1>1,则+x=+x+1-1≥2-1=3,当且仅当=x+1,即x=1时,等号成立,故+x的最小值是3.故选C.
(2)方法一:由xy-2x-y=0得y=,则x+y=x+=(x-1)++1=(x-1)++3≥2+3=2+3,当且仅当x-1=,即x=+1时取等号,此时y=2+,则x+y的最小值为2+3.
方法二:由xy-2x-y=0得(x-1)(y-2)=2,则x+y=(x-1)+(y-2)+3≥2+3=2+3,当且仅当x-1=y-2=,即x=+1,y=+2时取等号,则x+y的最小值为2+3.故选B.
例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)因为a,b是正实数且a+=1,所以+b==4+ab+≥4+2=8,当且仅当ab=,即a=,b=4时取等号.故选A.
(2)由题意,==-2=-2=+-2,又+=(x+y)=++5≥2+5=9,当且仅当x=,y=时取等号,所以≥9-2=7,故选B.
例3　B　[解析] 由2x-y=4-xy得x==+1,即x-1=,所以+=+≥2=2,当且仅当=,即y=0时,等号成立,故选B.
对点演练1　(1)D　(2)A　(3)D [解析] (1)由xy+x-3y=-1得x=,则x-y=-y=-(y+1)+1=4-≤4-2=0,当且仅当x=y=1时,等号成立.故选D.
(2)由2m+n=2mn得+=1,所以m+n=(m+n)=+1++≥+,当且仅当n=m,即m=,n=时等号成立,故m+n的最小值为+.故选A.
(3)由logab+logba=,得logab+=,即2(logab)2-5logab+2=0,即(2logab-1)(logab-2)=0,所以logab=或logab=2,即b=或b=a2.因为a>b>1,所以b=,则==+≥4,当且仅当a=4,b=2时取等号.故选D.
探究点二
例4　D　[解析] 对于A,假设a+b<成立,则(a+b)2<4ab,即(a-b)2<0,与事实不符,故假设不成立,故A错误;对于B,假设<成立,则a+b<,即a+b<2,即(-)2<0,与事实不符,故假设不成立,故B错误;对于C,假设<2成立,则2a2+2b2<4ab,即(a-b)2<0,与事实不符,故假设不成立,故C错误;对于D,因为a≠b,所以a2+b2>2ab,所以2a2+2b2>(a+b)2,所以a+b<,故D正确.故选D.
对点演练2　ACD　[解析] 对于A,因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A中不等式一定成立;对于B,因为a+b≥2>0,当且仅当a=b时取等号,所以≤=,故B中不等式不成立;对于C,因为≤=,当且仅当a=b时取等号,所以==a+b-≥a+b-≥2-=,所以≥a+b,当且仅当a=b时取等号,故C中不等式一定成立;对于D,(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D中不等式一定成立.故选ACD.
探究点三
例5　B　[解析] 由v2=可知v2-Hv4=4H,故H=≤=,当且仅当v2=2时,等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度约为0.25米.故选B.
对点演练3　4　[解析] 因为y1=,y2=x,所以总费用为y1+y2=+x=+(x+1)-≥2-=,
当且仅当=(x+1)时等号成立,由=(x+1),解得x=4或x=-6(舍).故这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处,才能使两项费用之和最少.第4讲　基本不等式
【课标要求】　
掌握基本不等式≤(a,b≥0).结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
1.基本不等式≤
(1)基本不等式成立的条件:　　　　　.
(2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号.
2.几个重要的不等式
(1)a2+b2≥　　　　(a,b∈R).
(2)+≥　　　　(a,b同号).
(3)ab≤(a,b∈R).
(4)≤(a,b∈R).
3.算术平均数与几何平均数
给定两个正数a,b,数　　　　　称为a,b的算术平均数;数称为a,b的几何平均数.基本不等式可叙述为:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
4.利用基本不等式求最值问题
已知x>0,y>0.
(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y取得最小值,是　　　　.(简记:积定和最小)
(2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy取得最大值,是　　　　.(简记:和定积最大)
常用结论
1.若x≠0,则≥2,当且仅当x=±1时,等号成立.
2.若ab≠0,则≥2,当且仅当a=±b时,等号成立.
3.若ab>0,x≠0,则≥2,当且仅当x=±时,等号成立.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab恒成立.(　 )
(2)若a>0,b>0,则ab≤. (　 )
(3)当a,b同号时,+≥2. (　 )
题组二　教材改编
1.已知x>0,则y=x+的最小值为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.4
C.-2 D.-4
2.已知x>0,y>0,且x+y=2,则 (　 )
A.xy的最大值为1
B.xy的最小值为1
C.xy的最大值为
D.xy的最小值为
3.已知4a2+b2=6,则ab的最大值为 (　 )
A. B.
C. D.3
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　利用基本不等式求最值
题型1　配凑法求最值
例1 (1)已知x>0,则+x的最小值是 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)[2026·湖南岳阳期末] 已知x>1,y>2且xy-2x-y=0,则x+y的最小值为 (　 )
A.4 B.2+3
C.4 D.6
题型2　常数代换法
例2 (1)已知两个正实数a,b满足a+=1,则+b的最小值为 (　 )
A.8 B.6 C.4 D.2
(2)[2026·河北沧州联考] 已知x>0,y>0,且x+y=1,则的最小值为 (　 )
A.3+2 B.7
C.3+2 D.8
题型3　消元法
例3 若x,y∈[0,+∞),且2x-y=4-xy,则+的最小值是 (　 )
A.2 B.2 C. D.
总结反思
1.配凑法就是将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求解最值的方法.配凑法的实质是代数式的灵活变形,配系数、凑常数是关键.
2.常数代换法主要解决形如“已知mx+ny=t(t为不等于0的常数),求+的最值” 或“已知+=t(t为不等于0的常数),求ax+by的最值”的问题,通常将+转化为·或将ax+by转化为·,再利用基本不等式求最值.
3.通过消元法利用基本不等式求最值的策略:当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常数”或“积为常数”,最后利用基本不等式求最值.
【对点演练1】 (1)[2025·重庆江北区期末] 若正实数x,y满足xy+x-3y=-1,则x-y的最大值为 (　 )
A.3 B.2 C.1 D.0
(2)已知正实数m,n满足2m+n=2mn,则m+n的最小值为 (　 )
A.+ B.+2
C.2+ D.2+2
(3)[2025·山东青岛期末] 已知a>b>1,若logab+logba=,则的最小值为 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
　基本不等式的常见变形
例4 已知01,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.a+b< B.<
C.<2 D.a+b<
总结反思
基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤.
(2)≤≤≤(a>0,b>0).
【对点演练2】 (多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 )
A.a+b+≥2 　 B.≥
C.≥a+b D.(a+b)≥4
　基本不等式的实际应用
例5 森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v(单位:米/秒)时的跳跃高度H(单位:米)近似满足v2=的等量关系,则该类昆虫的最大跳跃高度约为 (　 )
A.0.2米 B.0.25米
C.0.45米 D.0.7米
总结反思
利用基本不等式解决实际问题的策略:
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值;
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围;
(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.
【对点演练3】 [2025·安徽铜陵期末] 现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费y1万元与仓库到车站的距离x千米的函数关系近似为y1=;每月库存货物费y2万元与x的函数关系近似为y2=x.这家公司应该把仓库建在距离车站　　　　千米处,才能使两项费用之和最少.

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