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第5讲　一元二次方程、不等式
【课标要求】　
1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数,了解函数的零点与方程根的关系.
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
1.一元二次不等式
把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,其一般形式为ax2+bx+c>0或　　　　　　　(a,b,c均为常数,a≠0).
2.一元二次不等式的解法步骤
(1)将不等式化为右边为零,左边为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
一元二次 方程ax2+ bx+c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根x1,x2 (x1ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 　　　 　　　 R
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 　　　
4.一元二次方程根的分布
设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=0的两实根分别为x1,x2.
分布 情况 两实根都在 (m,n)内 两实根有且仅 有一根在 (m,n)内 一根在(m,n)内, 另一根在(p,q)内 (p≥n)
大致 图象 (a>0) 及结论 f(m)· f(n)<0 或
大致 图象 (a<0) 及结论 f(m)· f(n)<0 或
常用结论
1.一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2+bx+c>0(a≠0),x∈R恒成立 a>0且Δ<0;
(2)不等式ax2+bx+c<0(a≠0),x∈R恒成立 a<0且Δ<0.
2.简单分式不等式
(1)≥0
(2)>0 f(x)g(x)>0.
3.能成立问题的转化:a>f(x)能成立 a>f(x)min;
a≤f(x)能成立 a≤f(x)max.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)关于x的一元二次方程mx2-5x=0的两实根分别是0,. (　 )
(2)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　 )
(3)如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,那么不等式ax2+bx+c>0的解集一定不是空集. (　 )
(4)关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集可能是(m,+∞)(m为常数). (　 )
题组二　教材改编
1.不等式-x2-x+6>0的解集为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.{x|-2B.{x|-3C.{x|x<-2或x>3}
D.{x|x<-3或x>2}
2.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是(1,2),则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集是　　　　(用集合表示).
3.若不等式ax2-ax+a+1>0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围为　　　　.
　一元二次不等式的解法
题型1　不含参数的不等式
例1 (1)[2025·湖南邵阳期末] 已知集合A={x|x2-5x-6<0},B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则( RA)∩B= (　 )
A.{-3,-2,-1} B.{-3,-2}
C.{1,2,3} D.{2,3}
(2)不等式≥1的解集是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
题型2　含参数的不等式
例2 (1)[2025·广东汕头质检] 对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(ax-1)(x+1)<0的解集可能是 (　 )
A. 　B.{x|x≠1}
C. 　D.R
(2)当00的解集为 (　 )
A.
B.
C.
D.
总结反思
(1)解含参数的一元二次不等式的一般步骤
(2)在处理分式不等式过程中,如果不能确定分母正负,则可先进行移项,将分式不等式转化为整式不等式,可避免去分母过程中产生的分类讨论.
【对点演练1】 (1)不等式>0的解集为 (　 )
A.　 B.
C. D.
(2)[2026·陕西安康期末] 不等式≤1的解集是 (　 )
A.{x|-2≤x≤7} B.{x|x≤7}
C.{x|-2-2}
(3)(多选题)已知关于x的不等式x2-(3a+3)x+2a2+3a≤0的解集为A,则下列结论正确的是 (　 )
A.A可能为空集
B.A中可能只有一个元素
C.若a<-3,则A中的元素为负数
D.若4∈A,则≤a≤4
　三个二次间的关系
例3 (1)若关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-1A.(-1,2)
B.(-∞,-1)∪(2,+∞)
C.(-2,1)
D.(-∞,-2)∪(1,+∞)
(2)[2026·江苏南京期中] 关于x的方程x2-2mx+m2-1=0的一根在(1,2)内,另一根在(3,4)内,则实数m的取值范围是　　　　.
总结反思
一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根或函数的零点之间是相通的,这是构成三个二次之间关系的桥梁.
在求解根的分布问题时,要结合根与系数的关系或方程所对应的函数的函数值大小,转化为代数问题进行求解.
【对点演练2】 (1)已知关于x的一元二次方程x2+(a2+1)x+a-2=0的一根比1大,另一根比1小,则实数a的取值范围是 (　 )
A.{a|-3C.{a|-1(2)(多选题)[2025·山东菏泽期中] 已知m为任意实数,关于x的方程x2-2x+m-1=0,则 (　 )
A.当m≤2时,方程有两个实数根
B.当m<1时,方程有两个异号的实数根
C.当m=4时,方程有两个实数根x1,x2,且x1x2=3
D.若方程有两个实数根x1,x2,则+=
　一元二次不等式恒(能)成立问题
题型1　在R上恒成立问题
例4 (1)[2026·江西临川联考] 当x∈R时,一元二次不等式kx2-kx+1>0恒成立,则k的取值范围是 (　 )
A.0C.0≤k<4 D.k<0或k>4
(2)[2026·辽宁辽阳期末] 函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(0,8) B.(-∞,0]∪(8,+∞)
C.[0,8) D.(8,+∞)
题型2　在给定区间上的恒成立问题　　　　　　　　　　　　　　　
例5 (1)[2025·福建三明期末] 已知f(x)=log3·log3,当x∈时,f(x)≥mlog3x恒成立,则m的取值范围是 (　 )
A.
B.[-6,-3+2]
C.[-3-2,-3+2]
D.(-∞,-3+2]
(2)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),且f(x)<0的解集为(1,3),求函数f(x)在区间[t,t+2](t∈R)上的最小值g(t).
题型3　给定参数范围的恒成立问题
例6 [2025·湖北武汉武钢三中检测] 已知对任意m∈[1,3],mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是 (　 )
A.
B.∪
C.
D.
题型4　不等式能成立问题
例7 若存在x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0,则实数m的取值范围为 (　 )
A.(1,9)
B.(-∞,0)
C.(-∞,1)∪(9,+∞)
D.(-∞,1]∪[9,+∞)
总结反思
1.一元二次不等式在R上恒成立的情况:
ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立
ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立
2.(1)一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题,其本质是将不等式恒成立转化为最大(小)值问题,即若f(x)的图象连续不断,则f(x)≥0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)min≥0(x∈[a,b]),f(x)≤0(x∈[a,b])恒成立等价于f(x)max≤0(x∈[a,b]).
(2)用分离参数法可避免分类讨论,直接求出参数的取值范围.
【对点演练3】 (1)[2026·重庆期末] 若不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-∞,-2)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪[2,+∞)
C.(-2,2)
D.(-2,2]
(2)对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立,则实数m的取值范围是 (　 )
A.m≥ B.m≤
C.m≤ D.m≤
(3)“m<2”是“x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(4)[2025·河北廊坊期末] 函数f(x)=-x2+ax,则f(x)≥1在(0,1]上有解的一个充分不必要条件是 (　 )
A.a≥2 B.a≥3
C.a≤-1 D.a≤-2第5讲　一元二次方程、不等式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.ax2+bx+c<0
3.{x|xx2}　 {x|x1【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)√　(4)√
[解析] (1)由题意得,m≠0,方程的两实根分别是0,,故正确.
(2)因为关于x的方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,且二次函数f(x)=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,所以f(x)<0恒成立,则不等式ax2+bx+c>0的解集为 ,故错误.
(3)当二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a>0,则不等式ax2+bx+c>0的解集不是空集,故正确.
(4)由题意,当a=0,b>0时,原不等式变为bx+c>0,解得x>-,此时,若m=-,则x>m,故正确.
题组二
1.B　[解析] 原不等式可化为x2+x-6<0,解得-32.　[解析] ∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(1,2),∴a<0,且1,2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个实数根,
∴解得∴关于x的不等式cx2+bx+a>0可化为2ax2-3ax+a>0,又a<0,∴2x2-3x+1<0,解得3.[0,+∞)　[解析] 当a=0时,1>0恒成立,满足题意;当a≠0时,若不等式ax2-ax+a+1>0对任意x∈R恒成立,则解得a>0.综上可得,a≥0,则实数a的取值范围为[0,+∞).
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)C　[解析] (1)由不等式x2-5x-6=(x-6)(x+1)<0,解得-1(2)由≥1,得-1≥0,即≥0,即解得≤x<1,故不等式≥1的解集为.故选C.
例2　(1)A　(2)B　[解析] (1)当a<-1时,-1<<0,此时所求解集为;当a=-1时,=-1,此时所求解集为{x|x≠-1};当-10时,>0,此时所求解集为,故选A.
(2)由(x-3)[(a-1)x+(3-a)]=0得x=3或x=.因为00,所以>3.又因为a-1<0,所以(x-3)[(a-1)x+(3-a)]>0等价于(x-3)<0,可得30的解集为.故选B.
对点演练1　(1)A　(2)C　(3)BCD　[解析] (1)不等式>0可化为<0,则不等式的解集为,故选A.
(2)由题意可得-1=≤0,等价于解得-2(3)对于A,由题意得Δ=(3a+3)2-4(2a2+3a)=(a+3)2≥0,则A不可能为空集,A错误;对于B,由x2-(3a+3)x+2a2+3a≤0,得(x-a)(x-2a-3)≤0,当a=2a+3,即a=-3时,x2+6x+9≤0,得x=-3,此时A={-3},B正确;对于C,当a>2a+3,即a<-3时,A=[2a+3,a],C正确;对于D,当a<2a+3,即a>-3时,A=[a,2a+3],因为4∈A,所以a≤4≤2a+3,得≤a≤4,D正确.故选BCD.
探究点二
例3　(1)B　(2)(2,3)　[解析] (1)由关于x的不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-10,解得x<-1或x>2.所以不等式bx2-ax+c<0的解集为(-∞,-1)∪(2,+∞).故选B.
(2)设f(x)=x2-2mx+m2-1,其图象开口向上,
由题意得解不等式组得2对点演练2　(1)C　(2)AB　[解析] (1)记y=x2+(a2+1)x+a-2,其图象开口向上.因为原方程的根一个大于1一个小于1,所以当x=1时,y<0,即1+(a2+1)+a-2<0,解得-1(2)Δ=(-2)2-4(m-1)=8-4m.对于A,当m≤2时,Δ=8-4m≥0,此时方程有两个实数根,故A正确;对于B,若方程有两个异号的实数根,则解得m<1,即当m<1时,方程有两个异号的实数根,故B正确;对于C,当m=4时,Δ=-8<0,方程无实数根,故C错误;对于D,若方程有两个实数根x1,x2,则Δ=8-4m≥0,即m≤2,当m=1时,方程x2-2x=0的两根x1=2,x2=0,显然+=无意义,故D错误.故选AB.
探究点三
例4　(1)A　(2)C　[解析] (1)由一元二次不等式kx2-kx+1>0恒成立,可得解得0(2)由题得ax2-ax+2>0恒成立.当a=0时,f(x)=1,符合题意;当a≠0时,需满足解得0例5　(1)B　[解析] 依题意,f(x)=(log3x-2)(log3x-1)=-3log3x+2.令t=log3x,当x∈时,t∈,不等式f(x)≥mlog3x可化为t2-3t+2≥mt,则对任意的t∈,mt≤t2-3t+2恒成立.当t=0时,0≤2恒成立,此时m∈R;当-1≤t<0时,m≥t+-3,函数y=t+-3在[-1,0)上单调递减,当t=-1时,=-6,因此m≥-6;当0(2)解:因为f(x)<0的解集为(1,3),所以1,3为关于x的方程x2+ax+b=0的两根,
所以解得所以f(x)=x2-4x+3.
因为f(x)=x2-4x+3图象的对称轴为直线x=2,所以f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.当t>2时,f(x)在区间[t,t+2]上单调递增,此时f(x)min=f(t)=t2-4t+3;
当t≤2≤t+2,即0≤t≤2时,f(x)在区间[t,2]上单调递减,在区间(2,t+2]上单调递增,此时f(x)min=f(2)=-1;
当t+2<2,即t<0时,f(x)在区间[t,t+2]上单调递减,
此时f(x)min=f(t+2)=t2-1.
综上所述,g(t)=
例6　D　[解析] 对任意m∈[1,3],不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈[1,3],m(x2-x+1)<6恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<恒成立,所以对任意m∈[1,3],x2-x+1<==2,所以x2-x-1<0,解得例7　D　[解析] 当m=0时,不等式为-3x+2≤0,即x≥,显然-3x+2≤0在R上有解,符合题意;当m<0时,抛物线y=mx2+2(m-3)x+4开口向下,显然mx2+2(m-3)x+4≤0在R上有解,符合题意;当m>0时,抛物线y=mx2+2(m-3)x+4开口向上,若存在x∈R,mx2+2(m-3)x+4≤0,则只需Δ=[2(m-3)]2-4×4×m≥0,解得m≤1或m≥9,又m>0,所以0对点演练3　(1)D　(2)B　(3)A　(4)B　[解析] (1)当a=2时,-4<0恒成立,则a=2满足题意;当a≠2时,由题可得解得-2(2)因为对任意x∈[-1,1],不等式x2-x+≥m恒成立,所以≥m,x∈[-1,1],
设y=x2-x+,x∈[-1,1],因为y=x2-x+=+,所以当x=时,函数y=x2-x+,x∈[-1,1]取得最小值,最小值为,所以m≤,故选B.
(3)若x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立,则m≤x+在[2,+∞)上恒成立.由对勾函数的性质可知,函数y=x+在[2,+∞)上单调递增,所以当x≥2时,ymin=2+=,所以m≤,所以“x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立”的充要条件是“m≤”.因为{m|m<2} ,所以“m<2”是“x2-mx+1≥0在[2,+∞)上恒成立”的充分不必要条件.故选A.
(4)f(x)≥1在(0,1]上有解,即a≥+x在(0,1]上有解,又当x>0时,+x≥2=2,当且仅当=x,即x=1时取等号,所以a≥2.因为[3,+∞) [2,+∞),所以f(x)≥1在(0,1]上有解的一个充分不必要条件是a≥3.故选B.

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