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第二单元　函数
第6讲　函数的概念及其表示
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.实数集　任意　唯一确定
2.(1)定义域　集合{f(x)|x∈A}　值域
(2)定义域　对应关系
3.解析法　列表法　4.(1)对应关系
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
[解析] (1)根据函数的概念可知,已知定义域和对应关系就可以确定一个函数,故正确.
(2)两个函数的定义域和值域分别对应相同不一定表示同一个函数,如y=x,y=x+1的定义域和值域均为R,但两个函数的对应关系不同,不是同一个函数,故错误.
(3)对于f(x+1)=x2,令x+1=2,得x=1,则f(2)=12=1,故错误.
(4)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数,故错误.
题组二
1.C　[解析] 根据函数解析式可得解得
所以该函数的定义域为(-∞,2)∪(2,3].故选C.
2.D　[解析] 根据题中y关于x的函数关系的图象可知,周老师先离家越来越远,然后有一段时间和家的距离相同,再回家(离家越来越近),只有D选项符合题意.故选D.
3.D　[解析] 对于A,因为f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为{x|x≠-1},所以这两个函数的定义域不相同,所以这两个函数不是同一个函数,所以A错误;对于B,f(x),g(x)的定义域都为R, 因为f(x)==|x|≠g(x),所以这两个函数不是同一个函数,所以B错误;对于C,f(x),g(x)的定义域都为{x|x≤0},因为f(x)==|x|=-x≠g(x),所以这两个函数不是同一个函数,所以C错误;对于D,因为f(x),g(s)的定义域都为R,且对应关系相同,所以f(x),g(s)是同一个函数,所以D正确.故选D.
4.[1,+∞)　[0,+∞)　[解析] 因为f(x+1)=,x≥0,所以x+1≥1,f(x+1)≥0,故f(x)的定义域为[1,+∞),值域为[0,+∞).
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题意可得解得0(2)因为函数f(x)的定义域为[-5,6],所以-5≤4-3x≤6,解得-≤x≤3,故函数f(4-3x)的定义域为.故选B.
对点演练1　(1)C　(2)D　(3)2
(-∞,-2)　[解析] (1)由题可得即解得-4≤x<0或0(2)对于函数y=f(2x+1),-1≤x≤2,则-1≤2x+1≤5,所以函数f(x)的定义域为[-1,5].对于函数y=,则所以解得-1(3)由题得解得
又函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),所以-a=-2,即a=2,且b<-2.
探究点二
例2　C　[解析] 设f(x)=kx+b(k≠0),则f[x+a+f(x)]=f(x+a+kx+b)=k(x+a+kx+b)+b=(k2+k)x+ka+kb+b.因为f[x+a+f(x)]=6x+2a+3,所以(k2+k)x+ka+kb+b=6x+2a+3,则解得所以f(x)=2x+1.故选C.
例3　x2-2(x≥0)　[解析] 令t=≥0,则x=t2-1,则f(t)=t2-1-1=t2-2,故f(x)=x2-2(x≥0).
例4　--+1　[解析] 对于f(x)+f=1+x①,
将①中x替换成,可得f+f=1+②,再将①中x替换成,可得f+f(x)=1+③.①②相减可得f(x)-f=x-④,③④相加可得2f(x)=x-+1+,所以f(x)=-+1-.
例5　B　[解析] 依题意,f==2·-3,显然=2+≠2,所以f(x)=2x-3(x≠2).故选B.
对点演练2　(1)B　(2)B　(3)x2+x
(4)lg(x>1)　[解析] (1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,可得c=2,由f(x+2)-f(x)=4x,可得a(x+2)2+b(x+2)+2-(ax2+bx+2)=4x,整理可得4ax+4a+2b=4x,则解得所以f(x)=x2-2x+2.故选B.
(2)由题意,得f(3x+1)=(3x+1)+,则f(x)=x+,故f(-2)=×(-2)+=-1.故选B.
(3)由f(x)+2f(-x)=x2-x,得f(-x)+2f(x)=x2+x,联立两式消去f(-x),得3f(x)=x2+3x,则f(x)=x2+x.
(4)由题知x>0,令t=+1,则t>1,x=,则f(t)=lg(t>1),即f(x)=lg(x>1).
探究点三
例6　B　[解析] 根据题意得,f(1)=f(2)=ln 1+1=1,故选B.
例7　C　[解析] 当x≤a时,f(x)=-x+a+1,f(x)在(-∞,a]上单调递减,此时f(x)≥f(a)=-a+a+1=1.当x>a时,f(x)=logax,因为a>1,所以f(x)在(a,+∞)上单调递增,此时f(x)>f(a)=logaa=1.综上可得,f(x)的值域为[1,+∞).故选C.
例8　A　[解析] 当x<1时,f(x)=x2-2x≥x-1,得2x2-5x+2≥0,解得x≤或x≥2(舍去).当x≥1时,令g(x)=ln x-1-=ln x-(x≥1),则g'(x)=-=,所以当x∈[1,2)时,g'(x)>0,g(x)在[1,2)上单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)在(2,+∞)上单调递减.所以g(x)≤g(2)=ln 2-1<0,即当x≥1时,ln x-1对点演练3　(1)B　(2)A　(3)B
[解析] (1)因为函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)=
所以f(4)=f(3)=f(2)=f(1)=f(0)=30+sin=1-.故选B.
(2)当x>0时,f(x)=1-ex,-x<0,f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x);当x<0时,f(x)=e-x-1,-x>0,f(-x)=1-e-x=-f(x);当x=0时,f(x)=0.所以f(x)为奇函数,易知f(x)为R上的减函数,则f(2x)+f(x-3)>0等价于f(2x)>-f(x-3)=f(3-x),则2x<3-x,解得x<1,所以原不等式的解集为(-∞,1).故选A.
(3)由ex≤e-x可得x≤-x,解得x≤0;由ex>e-x可得x>-x,解得x>0.所以f(x)=(ex*e-x)=当x≤0时,f(x)=ex∈(0,1];当x>0时,f(x)=e-x∈(0,1).综上所述,f(x)的值域为(0,1].故选B.第二单元　函数
第6讲　函数的概念及其表示
【课标要求】　
1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念,体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法等)表示函数,理解函数图象的作用.
3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.
1.函数的概念
一般地,设A,B是非空的　　　　,如果对于集合A中的　　　　一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有　　　　　　的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.
2.函数的定义域、值域
(1)在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的　　　　;与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的　　　　　　　　　　叫作函数的　　　　.
(2)如果两个函数的　　　　相同,并且　　　　完全一致,那么这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有　　　　、图象法和　　　　.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上,因　　　　不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.
(2)分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的自变量的取值范围的并集,值域等于各段函数的函数值的取值范围的并集.
常用结论
1.常见函数的定义域
(1)分式函数的定义域为使分母不等于0的自变量的取值范围.
(2)偶次根式函数的定义域为使被开方式大于或等于0的自变量的取值范围.
(3)一次函数、二次函数的定义域为R.
(4)函数f(x)=x0 的定义域为{x|x∈R,且x≠0}.
(5)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.
(6)y=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}.
(7)y=tan x的定义域为.
2.基本初等函数的值域
(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.
(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当a>0时,值域为;当a<0时,值域为.
(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.
(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).
(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知定义域和对应关系就可以确定一个函数. (　 )
(2)两个函数的定义域和值域分别对应相同就表示同一个函数. (　 )
(3)若f(x+1)=x2,则f(2)=4. (　 )
(4)分段函数至少由两个函数组成. (　 )
题组二　教材改编
1.函数f(x)=的定义域是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.(3,+∞) 　　　　 B.(-∞,3]
C.(-∞,2)∪(2,3] 　　　　 D.R
2.如图是周老师散步时离家距离y与行走时间x之间的函数关系的图象,则周老师散步的路线可能是(以下各图中黑点表示家,箭头方向为散步方向,实线部分代表路线) (　 )
A B C D
3.下列各组函数是同一个函数的为 (　 )
A.f(x)=x-1,g(x)=
B.f(x)=,g(x)=x
C.f(x)=,g(x)=x
D.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1
4.已知f(x+1)=,则f(x)的定义域为　　　　,值域为　　　　.
　函数的定义域
例1 (1)[2026·浙江金华联考] 函数f(x)=的定义域为 (　 )
A.(0,1)∪(1,2] B.(-∞,2]
C.(-∞,0)∪(0,2] D.(0,2]
(2)已知函数f(x)的定义域为[-5,6],则函数f(4-3x)的定义域为 (　 )
A. B.
C.[-5,6] D.[-14,19]
总结反思
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式组a≤g(x)≤b求出;
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)(x∈[a,b])的值域.
【对点演练1】 (1)函数f(x)=x0+的定义域是 (　 )
A.(-∞,-4]∪[2,+∞) B.(-4,0]∪(0,1)
C.[-4,0)∪(0,1] D.[-4,0)∪(0,1)
(2)[2026·辽宁葫芦岛期末] 已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为 (　 )
A.[-1,2] B.(-1,2] C.[-1,5] D.(-1,5]
(3)[2026·广东惠州质检] 若函数f(x)=的定义域为[-2,+∞),则实数a=　　　　 ,实数b的取值范围为　　　　.
　求函数的解析式
题型1　待定系数法
例2 已知对任意的x,y∈R,都有f[x+a+f(x)]=6x+2a+3,则一次函数f(x)的解析式为 (　 )
A.f(x)=x+1 B.f(x)=2x
C.f(x)=2x+1 D.f(x)=x
题型2　换元法
例3 [2025·江苏盐城期中] 若函数f()=x-1,则f(x)=　　　　.
题型3　构造法
例4 [2025·辽宁大连期末] 已知函数f(x)满足f(x)+f=1+x,则f(x)=　　　　　　　　　.
题型4　配凑法
例5 已知f=,则f(x)= (　 )
A.2x-3(x≠0) B.2x-3(x≠2)
C.2x+3(x≠0) D.2x+3(x≠2)
总结反思
1.求函数解析式的常用方法:
(1)待定系数法:已知函数的类型(如一次函数、二次函数),可用待定系数法.
(2)换元法:已知复合函数y=f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(3)构造法:已知f(x)与f或f(b-x)(a,b为常数)之间的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).
(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.
2.求解函数解析式后一定要注意定义域问题.
【对点演练2】 (1)[2025·福建福州期中] 若函数f(x)是二次函数,满足f(0)=2,f(x+2)-f(x)=4x,则f(x)= (　 )
A.x2+x+2 B.x2-2x+2
C.x2-x+2 D.x2+2x+2
(2)已知f(3x+1)=4x+3,则f(-2)= (　 )
A.-5 B.-1
C.1 D.7
(3)[2026·黑龙江哈尔滨质检] 已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+2f(-x)=x2-x,则f(x)=　　　　.
(4)已知f=lg x,则f(x)=　　　　　　.
　分段函数
题型1　求函数值
例6 已知函数f(x)=则f(1)的值为 (　 )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型2　求值域或最值
例7 [2026·河北邯郸期末] 已知a>1,函数f(x)=则f(x)的值域为 (　 )
A.R B.(0,+∞)
C.[1,+∞) D.[a,+∞)
题型3　解不等式
例8 [2025·河南豫西重点高中联考] 已知函数f(x)=则不等式f(x)≥x-1的解集为 (　 )
A. B.(-∞,1]
C.(0,2] D.[2,+∞)
总结反思
(1)分段函数的求值问题的解题思路:
①求函数值:当出现f[f(a)]的形式时,应从内到外依次求值.
②求自变量的值:先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验.
(2)分段函数与方程、不等式有关问题的求解思路:依据不同范围的不同段分类讨论求解,最后将讨论结果并起来.
【对点演练3】 (1)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)=则f(4)= (　 )
A.　 B.1-　 C.-　 D.1+
(2)[2026·山东济南模拟] 已知函数f(x)=则f(2x)+f(x-3)>0的解集是 (　 )
A.(-∞,1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-3,+∞)
(3)定义一种运算(a*b)=则函数f(x)=(ex*e-x)的值域为 (　 )
A.(0,1) B.(0,1]
C.[1,+∞) D.(1,+∞)

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