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第7讲　函数的单调性、值域与最值
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)f(x1)f(x2)
(2)单调递增　单调递减　区间I
2.f(x)≤M　f(x0)=M　f(x)≥M
f(x0)=M
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　 (3)×　(4)√
[解析] (1)函数y=在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性,故错误.
(2)函数f(x)=-x2在区间[1,3]上单调递减,但f(x)的单调递减区间是[0,+∞),故错误.
(3)函数y=-的单调递增区间是(-∞,0),(0,+∞),故错误.
(4)由函数的最大值与函数图象最高点的关系可知,正确.
题组二
1.A　[解析] 易知函数f(x)=x2-2x在[2,5]上单调递增,则f(x)max=f(5)=52-2×5=15,所以函数f(x)的最大值为15.故选A.
2.B　[解析] 当13.3　　[解析] 易知f(x)在[1,4]上单调递减,所以所求最大值为f(1)==3,最小值为f(4)==.
4.(-∞,-2]　[解析] 因为函数f(x-1)在R上单调递增,所以f(x)在R上单调递增.设g(x)=,由x2+2x≥0,解得x≤-2或x≥0,易知g(x)在(-∞,-2]上单调递减, 所以f()的单调递减区间为(-∞,-2].
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)[10,+∞)　[解析] (1)对于函数f(x)=,由x2-1≥0可得x≤-1或x≥1,所以函数f(x)=的定义域为(-∞,-1]∪[1,+∞).因为函数u=x2-1在区间(-∞,-1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,函数y=为增函数,所以由复合函数的单调性可知,函数f(x)=的单调递减区间为(-∞,-1].故选A.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),t=lg x在定义域上为增函数,y=t2-2t=(t-1)2-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可得,当t=lg x≥1,即x≥10时,函数f(x)单调递增,即函数f(x)=(lg x)2-2lg x的单调递增区间为[10,+∞).
例2　[-2,0],[1,+∞)　[解析] 作出函数f(x)的大致图象,如图所示,
由图可知,函数f(x)的单调递增区间为[-2,0],[1,+∞).
对点演练1　(1)C　(2),　[解析] (1)对于A,因为u=ln x在(0,+∞)上单调递增,y=-u在R上单调递减,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,因为u=2x在(0,+∞)上单调递增,y=在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,因为u=在(0,+∞)上单调递减,y=-u在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=-在(0,+∞)上单调递增,故C正确;对于D,因为f===,f(1)=3|1-1|=30=1,f(2)=3|2-1|=3,所以f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误.故选C.
(2)函数y=x2-3|x|+1=作出函数y=x2-3|x|+1的图象如图所示,由图可知,函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为,.
探究点二
例3　解:(1)由函数f(x)=2x-,a=log23,可得f(a)=-=3-=.
(2)证明:任取x1,x2∈R,且x1则f(x1)-f(x2)=--=--+=-+=(-).
因为x10,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以f(x)在R上单调递增.
对点演练2　解:(1)由>0,得x<-1或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).
(2)证明:设1log2,
因为10,
所以x1x2+x2-x1-1>x1x2+x1-x2-1=(x1-1)(x2+1)>0,
所以>1,所以log2>0,所以f(x1)>f(x2),
故f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
探究点三
例4　C　[解析] 因为函数y=x3在(-1,1)上单调递增,y=sin x在(-1,1)上单调递增,所以函数f(x)=x3+sin x在(-1,1)上单调递增.又f=f(log83),=log82例5　A　[解析] 因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(3)=0,所以f(0)=f(-3)=0.因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(-∞,0)上也单调递增.当x<0时,x-1<0,由<0可得f(x)>0=f(-3),解得-30=f(3),此时x不存在;当x>1时,x-1>0,由<0可得f(x)<0=f(3),解得1例6　(1)D　(2)AB　[解析] (1)因为y=2u在R上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得u=x(x-a)=-在(0,1)上单调递减,故≥1,解得a≥2,故选D.
(2)因为函数f(x)是R上的单调函数,所以当x<1时,f(x)=x2-4ax+2单调递减,所以f(x)在R上单调递减,则解得≤a≤.故选AB.
对点演练3　(1)D　(2)C　(3)C
[解析] (1)因为函数y=f(x)的图象关于直线x=-2对称,所以f(x)=f(-4-x),所以a=f=f=f,c=f(-1)=f(-4+1)=f(-3).又因为函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,且-<-4<-3<-2,所以f(2)当2a-1≥0,即a≥时,因为f(x)=在[0,+∞)上单调递增,所以由f(a2)≥f(2a-1),可得a2≥2a-1,所以a≥;当-1≤2a-1<0,即0≤a<时,由f(a2)≥f(2a-1),可得a≥(2a-1)2-(2a-1),即4a2-7a+2≤0,得≤a<;当2a-1<-1,即a<0时,由f(a2)≥f(2a-1),得-a≥(2a-1)2-(2a-1),即4a2-5a+2≤0,因为Δ=(-5)2-4×4×2<0,所以不等式4a2-5a+2≤0无解.综上所述,不等式f(a2)≥f(2a-1)的解集为.故选C.
(3)由题意得,当x<0时,f(x)=(2a-1)ln(e-x)单调递减,所以f'(x)=(2a-1)×(-1)=<0恒成立,所以1-2a<0;当x≥0时,f(x)=单调递减,所以f'(x)=<0恒成立,所以a(a2-2)=a(a-)(a+)<0.又f(x)在R上单调递减,所以解得1≤a<,所以a的取值范围是[1,).故选C.
探究点四
例7　D　[解析] 由f(x)=可知函数f(x)在(-∞,-1]和[1,3]上单调递减,在(-1,1)和(3,+∞)上单调递增.当-1f(m),不符合题意;当m>3时,f(x)在[-1,1]和[3,m]上单调递增,在(1,3)上单调递减,此时若f(x)在[-1,m]上的最大值为f(m),则f(m)≥f(1),即解得m≥1+2.综上所述,m的取值范围是(-1,1]∪[1+2,+∞).故选D.
对点演练4　(1)　(2)5
[解析] (1)因为y=与y=在(1,+∞)上均单调递减,且当x→+∞时,→0,→0,所以当x>1时,0<+<+1=,故y=+(x>1)的值域为.
(2)在同一坐标系中画出函数y=2x+7,y=x2-3x+1,y=10-3x的图象,如图.
由解得x=-1或x=6,所以A(-1,5);
由解得x=-3或x=3,所以B(3,1).
由图可知,min{2x+7,x2-3x+1,10-3x}=
所以当x=-1时,min{2x+7,x2-3x+1,10-3x}取得最大值5,
则max{min{2x+7,x2-3x+1,10-3x}}=5.第7讲　函数的单调性、值域与最值
【课标要求】　借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值,理解它们的作用和实际意义.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果 x1,x2∈I
当x1图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y=f(x)在区间I上　　　　　　或　　　　　　,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,　　　　　叫作y=f(x)的单调区间.
2.函数的最值
前提 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
条件 (1) x∈D,都有 　　　　; (2) x0∈D,使得 　　　 (1) x∈D,都有 　　　　; (2) x0∈D,使得 　　　
结论 M为最大值 M为最小值
常用结论
1.函数单调性的常用结论:
(1)若f(x),g(x)均在区间A上单调递增(减),则y=f(x)+g(x)也在区间A上单调递增(减).
(2)若k>0,则y=kf(x)与y=f(x)的单调性相同;若k<0,则y=kf(x)与y=f(x)的单调性相反.
(3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=的单调性相反.
(4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=的单调性相同.
(5)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.
2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或>0,则f(x)在闭区间[a,b]上单调递增;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或<0,则f(x)在闭区间[a,b]上单调递减.
3.函数最值的结论:
(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值;当函数在闭区间上单调时,最值一定在端点处取得.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性. (　 )
(2)若函数y=f(x)在区间[1,3]上单调递减,则函数y=f(x)的单调递减区间是[1,3]. (　 )
(3)函数y=- 的单调递增区间是(-∞,0)∪(0,+∞). (　 )
(4)若f(a)是函数f(x)的最大值,则(a,f(a))是f(x)图象上的最高点. (　 )
题组二　教材改编　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.已知函数f(x)=x2-2x,x∈[2,5],则函数f(x)的最大值为 (　 )
A.15 　B.10 　C.0 D.-1
2.函数f(x)=的值域为 (　 )
A.R B.{2,3}
C.(1,+∞) D.(1,2]
3.函数f(x)= 在区间[1,4]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
4.已知函数f(x-1)在R上单调递增,则f()的单调递减区间为　　　　.
　求函数的单调区间
题型1　由函数的解析式求单调区间
例1 (1)[2026·江苏苏州期末] 函数f(x)=的单调递减区间为 (　 )
A.(-∞,-1] B.(-∞,0]
C.[0,+∞) D.[1,+∞)
(2)函数f(x)=(lg x)2-2lg x的单调递增区间是　　　　.
题型2　由函数图象求单调区间
例2 已知函数f(x)=则函数f(x)的单调递增区间为　　　　　　.
总结反思
(1)已知函数解析式求单调区间时,要注意函数的定义域.复合函数y=f[g(x)]的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
(2)利用函数图象求单调区间时,要注意函数图象是否连续,在某点处是否存在定义等.
(3)需要注意的是,当函数存在不止一个单调区间时,各个单调区间之间要用“,”连接,不能用“∪”.
【对点演练1】 (1)[2023·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　 )
A.f(x)=-ln x B.f(x)=
C.f(x)=- D.f(x)=3|x-1|
(2)[2026·广东高州中学期中] 函数y=x2-3|x|+1的单调递减区间为　　　　　　.
　函数单调性的判断与证明
例3 [2026·浙江温州期中] 已知函数f(x)=2x-.
(1)若a=log23,求f(a)的值;
(2)根据函数单调性的定义证明函数f(x)在R上单调递增.
总结反思
根据函数解析式判断函数单调性时,要特别注意基本初等函数本身的一些性质.
【对点演练2】 [2025·安徽合肥检测] 已知函数f(x)=+log2.
(1)求f(x)的定义域;
(2)证明:f(x)在区间(1,+∞)上单调递减.
　函数单调性的应用
题型1　比较函数值的大小
例4 [2025·河南焦作质检] 已知定义在R上的函数f(x)=x3+sin x,若a=f,b=f,c=f(cos 95°),则 (　 )
A.aC.c题型2　解函数不等式
例5 已知定义在R上的奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(3)=0,则不等式<0的解集为 (　 )
A.(-3,0)∪(1,3) B.(-3,0)∪(1,+∞)
C.[-3,0)∪(1,3] D.(-3,0)∪(0,3)
题型3　求参数的值或范围
例6 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
(2)(多选题)[2026·陕西宝鸡期末] 已知函数f(x)=为R上的单调函数,则实数a的取值可以是 (　 )
A.　　　B.　　　C.2　　　D.3
总结反思
1.利用函数单调性解不等式的具体步骤:(1)确定函数f(x)的单调性;(2)将要比较大小的两个函数值所对应的自变量转化到同一个单调区间内,根据函数f(x)的单调性去掉“f”,转化为形如“x1>x2”或“x12.若分段函数是单调函数,不仅要保证在各个区间上单调性一致,还要确保在解析式发生改变处附近的单调性与函数单调性一致.
【对点演练3】 (1)已知函数y=f(x)的图象关于直线x=-2对称,且函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增.设a=f,b=f(-4),c=f(-1),则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.cC.b(2)[2025·福建泉州五中检测] 已知函数f(x)=则不等式f(a2)≥f(2a-1)的解集为 (　 )
A.{a|a≥0} B.
C. D.
(3)已知函数f(x)=在R上单调递减,则a的取值范围是 (　 )
A. B.
C.[1,) D.
　利用函数的单调性求函数的值域与最值
例7 已知函数f(x)=
在[-1,m]上的最大值为f(m),则m的取值范围是 (　 )
A.(-1,1]
B.(-1,1+2]
C.[1+2,+∞)
D.(-1,1]∪[1+2,+∞)
总结反思
1.利用函数的单调性求函数的值域(最值)的基本步骤:
(1)判断或证明函数在区间上的单调性;
(2)利用函数的单调性求得函数在区间上的最值(值域).
2.需要注意的是,当自变量趋近无穷时,函数值有可能趋近某个确定的值,也有可能趋近无穷,例如对于定义在(0,+∞)上的减函数f(x)=和f(x)=ln,当x→+∞时,→0,ln→-∞.
【对点演练4】 (1)函数y=+(x>1)的值域为　　　　.
(2)以max{a,b,c}表示数集{a,b,c}中最大的数,min{a,b,c}表示数集{a,b,c}中最小的数,则max{min{2x+7,x2-3x+1,10-3x}}=　　　　.

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