资源简介

第8讲　函数的奇偶性、周期性、对称性
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.-x∈D　f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)　y轴　原点
2.(1)f(x+T)=f(x)
(2)最小的正数　最小正数
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
(5)×　[解析] (1)若函数在x=0处没有定义,则图象不经过原点,如函数f(x)=,故错误.
(2)对于f(x)=x2(-1(3)因为T是函数f(x)的一个周期,所以f(x+2T)=f(x+T)=f(x),所以2T也是函数f(x)的周期,故正确.
(4)取f(x)=x+1,g(x)=-x+1,作出f(x),g(x)的图象,如图所示,由图可知f(x)的图象与g(x)的图象关于y轴对称,但f(x),g(x)均是非奇非偶函数,故错误.
(5)若f(2x+1)是奇函数,则f(2x+1)=-f(-2x+1),故错误.
题组二
1.B　[解析] y=-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A错误;y=x3是奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,故B正确;y=(x≥0)不是奇函数,故C错误;y=x2不是奇函数,故D错误.故选B.
2.C　[解析] 由题可知f(1)=1+1=2,因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.故选C.
3.3　[解析] 由题可得3-2a+a=0,解得a=3.
4.(-2,0)∪(2,5]　[解析] 由题图可知,当00,当20.综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5].
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)对于A,令f(x)=ex-1,定义域为R,而f(-x)≠-f(x),∴该函数不是奇函数,故A错误.对于B,令g(x)=xsin x,定义域为R,∵g(-x)=(-x)sin(-x)=(-x)×(-sin x)=xsin x=g(x),∴该函数是偶函数,不是奇函数,故B错误.对于C,令h(x)=,定义域为{x|x≠0},∵h(-x)==-=-h(x),∴该函数是奇函数,但h(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),不是R,故C错误.对于D,令k(x)=x-,定义域为{x|x≠0},∵k(-x)=-x-=-=-k(x),∴该函数是奇函数,又当x趋于正无穷时,k(x)=x-趋于正无穷,当x从右侧趋于0时,k(x)=x-趋于负无穷,∴k(x)的值域为R,故D正确.故选D.
(2)令f(x)=,则f(x)的定义域为{x|x≠0},f(-x)===f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,排除选项D;又f(e)=e>0,所以排除选项A,B.故选C.
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)当x>0时,-x<0,因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x>0时,f(x)=f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x.故选C.
(2)函数f(x)=-a的定义域为{x|x≠0},由f(x)为奇函数,得f(x)+f(-x)=0,即-a+-a=0,则a=+=+=-1.故选B.
对点演练1　(1)A　(2)B　(3)D
[解析] (1)因为当x>0时,f(x)=x2+x+5,所以f(1)=1+1+5=7,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-7.故选A.
(2)方法一:由题可知函数f(x)的定义域为∪.令h(x)=ln,则h(-x)=ln=ln=-h(x),所以h(x)为奇函数.令g(x)=x+a,由f(x)为偶函数,h(x)为奇函数,可得g(x)为奇函数,所以a=0,故选B.
方法二:由题知函数f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),故(1+a)ln=(-1+a)ln 3,解得a=0,故选B.
(3)若函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为R上的奇函数,则f(0)=(a-2)(a-1)=0,解得a=1或a=2.当a=1时,f(x)=(x-1)x2=x3-x2,因为f(-1)=-1-1=-2,f(1)=0,所以f(-1)≠-f(1),即函数f(x)不是奇函数;当a=2时,f(x)=x(x2+1)=x3+x,该函数的定义域为R,f(-x)=(-x)3-x=-x3-x=-f(x),即函数f(x)为奇函数.故当函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为R上的奇函数时,a=2,因此p是q的充要条件.故选D.
探究点二
例3　(1)C　(2)　[解析] (1)由题可得f(x)=-f(x+2)=-[-f(x+4)]=f(x+4),则f(x)的一个周期为4,所以f(2025)=f(1+506×4)=f(1)=-f(3)=1.故选C.
(2)因为f(x+2)=f(x),所以f=f(-log23)=f(2-log23)=f,又0对点演练2　2　[解析] 对于f(x+1)+f(x-1)=3,令x+1代替x,可得f(x+2)=3-f(x),则f(x+4)=3-f(x+2)=f(x),可得f(2025)=f(1+506×4)=f(1)=-1.因为f(x+1)+f(x-1)=3,所以令x=2025,可得f(2026)+f(2024)=3,所以f(2024)+f(2025)+f(2026)=3-1=2.
探究点三
例4　(1)A　(2)D　[解析] (1)设函数y=2x的图象关于坐标原点对称的图象所对应的函数为y=f(x),设函数y=f(x)图象上任一点P(m,n),则点P(m,n)关于原点对称的点为Q(-m,-n),将Q的坐标代入y=2x得-n=2-m,即n=-2-m,所以所求函数为y=-2-x.故选A.
(2)因为g(-2)=(-2-3)f(-2)=-5f(-2)=-5,所以f(-2)=1,因为f(x)是奇函数,所以f(2)=-f(-2)=-1,所以g(2)=(2-3)f(2)=1.因为函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于直线x=3对称,所以g(4)=g(2)=1,即g(4)=(4-3)·f(4)=f(4)=1.故选D.
对点演练3　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为f(x)=e|x-1|+1,所以f(2-x)=e|2-x-1|+1=e|1-x|+1=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称.当x≥1时,f(x)=ex-1+1单调递增,所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.因为f(x-1),即所求x的取值范围是,故选B.
(2)由f(x+2)+f(-x)=2可知函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,将x=-1代入f(x+2)+f(-x)=2可得f(1)=1.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以f(x+2)+f(x)=2,分别令x=4,2,0,得三式相加得f(0)+f(6)+2[f(2)+f(4)]=6,又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称,且f(2)=f(-2),所以f(2)+f(4)=f(-2)+f(4)=2,所以f(0)+f(6)=2.故选B.
探究点四
例5　(1)B　(2)A　(3)B
　[解析] (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,结合题意作出f(x)的大致图象,如图所示,
由图可知,不等式f(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞).故选B.
(2)由题知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),所以f=f=f=5-2×=-.故选A.
(3)由函数g(x)=(x-5)f(x)的图象关于点(5,0)中心对称可知,g(5-x)=-g(5+x),即(5-x-5)f(5-x)=-(5+x-5)f(5+x),可得f(5-x)=f(5+x),则f(9)=f(1).由g(-1)=(-1-5)f(-1)=6,可得f(-1)=-1,又f(x)为R上的偶函数,所以f(9)=f(1)=f(-1)=-1.故选B.
对点演练4　(1)A　(2)B　(3)D
[解析] (1)由f(x+4)=f(x),得f(x)是周期为4的周期函数.因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(20+log225)=f(log225-4)=f=f.因为0=log21(2)因为y=f(x)-1为奇函数,所以f(0)=1,且函数f(x)的图象关于点(0,1)中心对称,即f(x)+f(-x)=2.因为f(x-1)为偶函数,所以f(x-1)=f(-x-1),则f(x-2)=f(-x),所以f(x)+f(x-2)=2,f(x-2)+f(x-4)=2,所以f(x)=f(x-4),故f(x)的一个周期为4.因为f(1)+f(3)=2,f(0)+f(2)=2,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)+f(1)=506×4+1+0=2025.故选B.
(3)因为f(x+4)=f(x),所以4为函数f(x)的一个周期.因为y=f(2x+1)+2为奇函数,所以f(-2x+1)+2=-f(2x+1)-2,所以f(-2x+1)+f(2x+1)=-4,令x=0,可得f(1)=-2,所以f(2025)=f(506×4+1)=f(1)=-2.故选D.第8讲　函数的奇偶性、周期性、对称性
【课标要求】　
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.结合三角函数,了解周期性的概念和几何意义.
1.函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果 x∈D,都有　　　
　　　　　　,那么函数f(x)就叫作偶函数 　　　　　　,那么函数f(x)就叫作奇函数
图象 特征 关于　　　　对称 关于　　　　对称
2.函数的周期性
(1)周期函数
一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D都有x+T∈D,且　　　　　　　,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个　　　　　　,那么这个　　　　　就叫作f(x)的最小正周期.
常用结论
1.奇(偶)函数定义的等价形式:
(1)f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 f(x)为偶函数;
(2)f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 f(x)为奇函数.
2.在相同的关于原点对称的定义域内,两个奇函数之和为奇函数,之积为偶函数;两个偶函数之和与之积都为偶函数;奇函数与偶函数之积为奇函数;奇函数取绝对值后为偶函数,偶函数取绝对值后仍为偶函数.
3.设f(x)的周期为T,对f(x)的定义域内任一自变量x,有如下结论:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2|a|;
(2)若f(x+a)=,则T=2|a|;
(3)若f(x+a)=f(x+b),则T=|a-b|.
4.对称性与周期性之间的常用结论:
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=2|b-a|;
(3)若函数f(x)的图象关于直线x=a和点(b,0)对称,则函数f(x)的周期T=4|b-a|.
5.关于函数图象的对称中心或对称轴的常用结论:
(1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称;
(2)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称;
(3)若函数f(x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点对称;
(4)若函数f(x)满足关系f(a+x)+f(b-x)=c,则函数f(x)的图象关于点对称.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)奇函数的图象一定过原点. (　 )
(2)若存在x使f(-x)=f(x),则f(x)是偶函数. (　 )
(3)若T是函数f(x)的一个周期,则2T也是函数f(x)的周期. (　 )
(4)若函数f(x)的图象与g(x)的图象关于y轴对称,则函数f(x),g(x)都是偶函数. (　 )
(5)若f(2x+1)是奇函数,则f(2x+1)=-f(-2x-1). (　 )
题组二　教材改编
1.下列函数是奇函数,且在[0,+∞)上单调递增的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.y=- B.y=x3
C.y= D.y=x2
2.已知f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x+1,则f(-1)= (　 )
A.0　　B.-1　　C.-2　　D.2
3.已知函数f(x)是定义在[3-2a,a]上的偶函数,则实数a=　　　　.
4.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　　　.
　函数的奇偶性
题型1　函数奇偶性的判断
例1 (1)[2026·河南许昌三模] 下列函数中,值域为R且为奇函数的是 (　 )
A.y=ex-1 B.y=xsin x
C.y= D.y=x-
(2)[2025·江苏常州调研] 函数y=的图象大致是 (　 )
A　　　B
C　　　D　
题型2　函数奇偶性的应用
例2 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≤0时,f(x)=x2+x,则当x>0时,f(x)= (　 )
A.x2+x B.-x2+x
C.x2-x D.-x2-x
(2)[2025·河南周口期末] 已知f(x)=-a是奇函数,则a= (　 )
A.1 B.-1 C. D.-
总结反思
1.判断函数的奇偶性可以通过定义、图象判断,也可以通过常用结论判断.
2.求函数的值:利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解.
3.求函数解析式:先将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组),从而得到f(x)的解析式.
4.求解析式中的参数值:在定义域关于原点对称的前提下,利用f(x)为奇函数 f(-x)=-f(x),f(x)为偶函数 f(x)=f(-x),列式求解,也可利用特殊值法求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列等式f(0)=0求解.
【对点演练1】 (1)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+x+5,则f(-1)= (　 )
A.-7 B.7
C.-5 D.5
(2)[2023·新课标Ⅱ卷] 若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　 )
A.-1 B.0 C. D.1
(3)[2026·浙江舟山期末] 若p:a=2,q:函数f(x)=(x+a-2)(x2+a-1)为R上的奇函数,则p是q的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件
D.充要条件
　函数的周期性
例3 (1)[2025·河北沧州联考] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2),且f(3)=-1,则f(2025)= (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2
(2)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1)时,f(x)=2x-1,则f的值为　　　　.
总结反思
将已知条件转化为f(x+T)=f(x),再利用周期函数的定义确定周期.
【对点演练2】 [2025·黑龙江大庆质检] 已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+1)+f(x-1)=3,且f(1)=-1,则f(2024)+f(2025)+f(2026)=　　　　.
　函数的对称性
例4 (1)[2026·江苏淮安期末] 下列函数中,其图象与函数y=2x的图象关于坐标原点对称的是 (　 )
A.y=-2-x B.y=-x
C.y=-log2x D.y=-2x
(2)[2025·河南郑州质检] 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,函数g(x)=(x-3)f(x)的图象关于直线x=3对称,若g(-2)=-5,则f(4)= (　 )
A.-3 B.-1
C.0 D.1
总结反思
注意一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性的区别,同时也要注意不要混淆对称性和周期性的常用结论:函数f(x)的图象关于直线x=a对称,则有f(a+x)=f(a-x);函数f(x)的图象关于(a,b)中心对称,则有f(2a-x)+f(x)=2b;函数f(x)的周期为2a,则有f(x-a)=f(x+a).
【对点演练3】 (1)设函数f(x)=e|x-1|+1,则使得f(x-1)A. B.
C. D.
(2)[2026·浙江温州模拟] 已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+2)+f(-x)=2,则f(0)+f(6)= (　 )
A.1 B.2 C.0 D.4
　函数性质的综合应用
例5 (1)若f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x-4,则不等式f(x)≥0的解集为 (　 )
A.[-2,2]
B.[-2,0]∪[2,+∞)
C.[-2,0)∪[2,+∞)
D.(-∞,-2]∪[2,+∞)
(2)[2025·全国一卷] 已知f(x)为定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f= (　 )
A.- B.- C. D.
(3)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-5)f(x)的图象关于点(5,0)中心对称,若g(-1)=6,则f(9)= (　 )
A.-3 B.-1 C.3 D.5
总结反思
1.奇偶性与单调性的综合应用:在关于原点对称的区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反,故讨论奇函数(或偶函数)的单调性时,可只讨论当x>0时函数的单调性,则可推及整个定义域内函数的单调性.
2.奇偶性与周期性的综合应用:在结合函数的奇偶性与周期性计算函数周期时,要特别注意一些常见式子的等价变换,如:由f(x+a)=f(b-x),可得f(x)=f[(a+b)-x].
3.奇偶性与对称性的综合应用:若f(x+a)为奇函数,则f(x)的图象关于点(a,0)对称;若f(x+b)为偶函数,则f(x)的图象关于直线x=b对称.
【对点演练4】 (1)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且当x∈(-2,0)时,f(x)=2x-,则f(20+log225)=(　 )
A. B.- C. D.
(2)[2025·江苏淮安期末] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为偶函数,y=f(x)-1是奇函数,且f(1)=0,则f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2025)= (　 )
A.2024 B.2025 C.2026 D.2027
(3)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),且y=f(2x+1)+2为奇函数,则f(2025)= (　 )
A.4 B.-4 C.2 D.-2

展开更多......

收起↑