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微专题1　 抽象函数的性质及其应用
微点一　抽象函数的单调性
例1 定义在R上的函数y=f(x)满足当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)f(b).证明:
(1)f(0)=1;
(2)对任意的x∈R,恒有f(x)>0;
(3)f(x)是增函数.
总结反思
抽象函数的单调性无法从函数本身的性质进行获得,只能通过定义进行判断,此时无论指定x1>x2还是x1【对点演练1】 已知定义在R+上的函数f(x)满足对任意的x,y∈R+,恒有f(x·y)=f(x)+f(y)成立.
(1)求f(1)的值;
(2)求证:当x∈R+时,f=-f(x);
(3)若当x>1时,恒有f(x)<0,试判断f(x)的单调性,并说明理由.
微点二　抽象函数的奇偶性
例2 [2026·山东济宁期中] 已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+y)-[f(x)+f(y)]=2024,则 (　 )
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是奇函数
C.y=f(x)+2024是奇函数
D.y=f(x)+2024是偶函数
总结反思
利用奇偶性的定义解决含有双变量的抽象函数问题时,首先要将双变量转化为单变量(例如:先通过赋值求出f(0),再借助x+y=0,将y转化为-x,或指定某一变量为0),然后再利用函数奇偶性的定义进行判断.
注意:此类问题中x与y是两个不相关的变量,可以相等,也可以不相等,也可以是指定的某种关系,要跳出y是x的函数这一思维定式.
【对点演练2】 (1)[2026·江苏扬州模拟] 已知函数f(x)满足对任意实数x,y都有2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),且f(0)≠0,则函数f(x) (　 )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
(2)若定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)同时满足:①f(x)为奇函数;②f(1)=0;③对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0.则不等式xf(x+1)<0的解集为　　　　　　　　　　　.
微点三　抽象函数的对称性
例3 (1)已知函数f(x)满足:①定义域为R,②f(x+1)为偶函数,③f(x+2)为奇函数,④对任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有>0.则f,f,f的大小关系是 (　 )
A.fB.fC.fD.f(2)[2026·河北保定期末] 若定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)是偶函数,函数f(2x+1)的图象关于点中心对称,若f(1)=2,则f(i)=　　　　.
总结反思
奇偶性与对称性的联系
(1)若已知f(x)为偶(奇)函数,判断函数f[g(x)]的对称性,可令g(x)=0,则可求得f[g(x)]的图象的对称轴(或对称中心).例如:f(x)为偶函数,则f(x+1)的图象的对称轴方程为x=-1.
(2)若已知f[g(x)]为偶(奇)函数,则需要根据定义或图象平移判断f(x)的奇偶性.
根据定义判断奇偶性时,要特别注意“-”的位置,根据图象平移判断f(x)的奇偶性时,要注意“左加右减”.
(3)定义在R上的函数,若f(mx+n)为偶(奇)函数(m,n是常数,且m≠0),则f(x+n)也为偶(奇)函数.
【对点演练3】 (1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,若g(-1)=3,则f(3)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-3 B.-1
C.0 D.1
(2)已知函数f(x)为R上的奇函数,若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(4)= (　 )
A.1 B.0 C.-1 D.-2
微点四　抽象函数的周期性
例4 (1)[2026·湖北十堰调研] 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f=f,则f(7)= (　 )
A.-1 B.0
C.1 D.2
(2)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(y)=-,f(1)=1,且f(3x+2)为偶函数,则f(k)= (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2
总结反思
抽象函数的周期性通常需要根据函数的奇偶性和对称性进行推导,如例4(1)中提到f=f,注意到+x与-x的和为1,那么当x1+x2=1时有f(x1)=f(x2),则可获得f(x+1)=f(-x).这样做的目的是将等式的一边写成f(x)或f(-x),便于接下来奇偶性的应用.
【对点演练4】 [2025·广东惠州模拟] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为偶函数,f(x+1)为奇函数,则 (　 )
A.f=0 B.f(-1)=0
C.f(2)=0 D.f(4)=0
微专题1　 抽象函数的性质及其应用
微点一
例1　证明:(1)令a=1,b=0,则f(1)=f(0)f(1),又f(1)>1,所以f(0)=1.
(2)令a=x,b=-x,则f(0)=f(x)f(-x)=1,即f(x)=,
由题意,当x>0时,f(x)>1,则对任意x<0,-x>0,有f(-x)>1,
所以0所以对任意的x∈R,恒有f(x)>0.
(3)方法一:任取x1,x2∈R,且x1>x2,令a=x1-x2,b=x2,
则f(x1-x2+x2)=f(x1)=f(x1-x2)·f(x2),则=f(x1-x2),
因为x1-x2>0,所以=f(x1-x2)>1,又f(x2)>0,
所以f(x1)>f(x2),故f(x)是增函数.
方法二:任取x1,x2∈R,且x1>x2,因为f(x2)=f[x1+(x2-x1)],
所以f(x2)-f(x1)=f[x1+(x2-x1)]-f(x1)=f(x1)f(x2-x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x1)-1],
由x2-x1<0,得00,
所以f(x1)[f(x2-x1)-1]<0,即f(x2)所以f(x)是增函数.
对点演练1　解:(1)令y=1,则f(x)=f(x)+f(1),故f(1)=0.
(2)证明:f(1)=f=f(x)+f=0,即f=-f(x).
(3)f(x)为减函数,理由如下:
设01,f<0,
又f=f=f(x2)+f=f(x2)-f(x1),所以f(x2)-f(x1)<0,即f(x2)微点二
例2　C　[解析] 因为f(x+y)-[f(x)+f(y)]=2024,所以令x=y=0,可得f(0)=-2024,令y=-x,可得f(0)-f(x)-f(-x)=2024,所以f(-x)=-f(x)-4048,则f(x)既不是奇函数也不是偶函数,且f(-x)+2024=-[f(x)+2024],所以y=f(x)+2024是奇函数.故选C.
对点演练2　(1)B　(2)(-∞,-2)∪(-1,0)∪(0,+∞)　[解析] (1)在2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)中,令x=y=0,则2[f(0)]2=f(0)+f(0),又f(0)≠0,所以f(0)=1,令x=0得2f(0)f(y)=f(y)+f(-y),所以f(y)=f(-y),所以f(x)是偶函数.故选B.
(2)因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,都有<0,所以g(x)=xf(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(x)为奇函数,且f(1)=0,所以g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),则g(x)为偶函数,且g(1)=g(-1)=0,故g(x)在(-∞,0)上单调递增,所以g(x+1)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减.因为x∈(-∞,0)∪(0,+∞),所以由xf(x+1)<0,得
当x>0时,f(x+1)<0,即<0,得g(x+1)<0,解得x<-2或x>0,故x>0;当x<0时,f(x+1)>0,由x+1≠0,得>0,即(x+1)g(x+1)>0,得或解得x<-2或-1微点三
例3　(1)C　(2)2　[解析] (1)∵f(x+1)在R上为偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)的图象关于直线x=1对称.∵f(x+2)在R上为奇函数,∴f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(x)的图象关于点(2,0)对称,且f(2)=0.∵f(x+1)=f(-x+1),∴f(x)=f(-x+2)(将上式中的x换成x-1)①,又∵f(x+2)+f(-x+2)=0,∴f(-x+2)=-f(x+2)②,由①②得f(x)=-f(x+2)③,∴f(x+2)=-f(x+4)④(将③中的x换成x+2),由③④得f(x)=f(x+4),∴f(x)的一个周期为4.∵对任意的x1,x2∈[0,1],且x1≠x2,都有
>0,∴f(x)在[0,1]上单调递增,
∴f(x)在一个周期内的草图如图所示.
∵f=f=f=f=f,f=f=
f,-1<-<<<1,∴f(2)由题意知f(x+1)=f(-x+1),则f(x)=f(2-x).由函数f(2x+1)的图象关于点中心对称,得f(2x+1)+f[2(-1-x)+1]=0,即f(2x+1)+f(-1-2x)=0,则有f(x+1)+f(-1-x)=0,即f(-x)=-f(x),所以f(x)为R上的奇函数,则f(-1)=-f(1)=-2.由f(x)=f(2-x)可得f(-x)=f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),即4为f(x)的一个周期.又f(2)=f(0)=f(4)=0,f(3)=f(-1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
于是f(i)=f(5)+f(6)=f(1)+f(2)=2+0=2.
对点演练3　(1)B　(2)B　[解析] (1)由函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称可知,g(2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(2+x-2)f(2+x),可得f(2-x)=f(2+x),因此函数f(x)的图象关于直线x=2对称,由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1,由f(x)为R上的偶函数且f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B.
(2)根据题意,函数f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),则f(0)=-f(0),所以f(0)=0.函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)+g(2+2-x)=0,即f(x)+g(4-x)=0,所以g(4)=-f(0)=0.故选B.
微点四
例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,又因为f=f,所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),可知2为f(x)的一个周期,所以f(7)=f(1)=-f(0)=0.故选B.
(2)函数f(x)的定义域为R,且有f(x)f(y)=-
,令x=y=0,得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0,解得f(0)=0.令y=-x,x∈R,得f(x)f(-x)=[f(0)]2-[f(x)]2,则f(x)[f(-x)+f(x)]=0,而f(1)=1,即f(x)不恒为0,因此f(-x)+f(x)=0,函数f(x)为奇函数.由f(3x+2)为偶函数,得f(3x+2)=f(-3x+2),则f(x+2)=f(-x+2),于是f(x+4)=f(-x)=-f(x),f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以8为f(x)的一个周期.由f(x+4)=-f(x),得f(x+4)+f(x)=0,即f(1)+f(5)=f(2)+f(6)=f(3)+f(7)=f(4)+f(8)=0,因此
故选B.
对点演练4　B　[解析] 因为函数f(x+2)为偶函数,所以f(2+x)=f(2-x),可得f(x+3)=f(1-x).因为函数f(x+1)为奇函数,所以f(1-x)=-f(x+1),所以f(x+3)=-f(x+1),即f(x+2)=-f(x),可得f(x+4)=f(x),故4是f(x)的一个周期.对于f(1-x)=-f(x+1),令x=0,则f(1)=-f(1),可得f(1)=0.对于f(x+2)=-f(x),令x=-1,可得f(-1)=-f(1)=0,B正确;由题意可知f=-f=-f,无法推出f=0,A错误;又f(2)=-f(0),f(4)=f(0),而f(0)是否为0不确定,故C,D错误.故选B.

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