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第9讲　二次函数与幂函数
【课标要求】　
1.二次函数
(1)掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值);
(2)了解二次函数的广泛应用.
2.幂函数
通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数.
1.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0);
顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c (a>0) f(x)=ax2+bx+c (a<0)
图象
定义域 R R
值域 　　　　　 　　　　　
单调性 单调递减区间是 　　　　　　; 单调递增区间是 　　　　　 单调递增区间是 　　　　　　; 单调递减区间是 　　　　　
对称性 函数的图象关于直线x=-对称
2.幂函数
(1)幂函数的定义:一般地,函数y=xα叫作幂函数,其中x是自变量,α是常数.幂函数的特征:①自变量x处在幂底数的位置,幂指数α为常数;②xα的系数为1;③只有一项.
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y=x y=x2 y=x3 y= y=x-1
图象
性 质 定义域 R R R 　　 　　
值域 R 　　 R 　　 　　
奇偶性 　　 函数 　 函数 　 函数 　　 函数 　 函数
单调性 在R上 单调递增 在　 上单调 递减;在　　上 单调递增 在R上 单调递增 在　 上单调 递增 在　 和　 上单调递减
常用结论
1.二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),闭区间为[m,n].
(1)当-≤m时,最小值为f(m),最大值为f(n);
(2)当m<-≤时,最小值为f,最大值为f(n);
(3)当<-≤n时,最小值为f,最大值为f(m);
(4)当->n时,最小值为f(n),最大值为f(m).
2.有关幂函数的几个结论
对于形如f(x)=(其中m∈N*,n∈Z,m与n不可约分)的幂函数:
(1)当n为偶数时,f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称;
(2)当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,其图象关于原点对称;
(3)当m为偶数时,x>0(或x≥0),f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限及原点处).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现.(　 )
(2)函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,b≠0)不可能是偶函数. (　 )
(3)当幂指数α分别取1,3,时,幂函数y=xα均为增函数. (　 )
(4)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα是减函数. (　 )
题组二　教材改编
1.下面关于函数f(x)=x2+3x+4的说法正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)>0恒成立
B.f(x)的最大值是5
C.f(x)的图象与y轴无交点
D.f(x)没有最小值
2.如图,已知幂函数y=xa,y=xb,y=xc在(0,+∞)上的图象如图所示,则 (　 )
A.cB.aC.cD.a3.“m=4”是“f(x)=(m2-3m-3)是幂函数”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3,当m=　　　　时,函数图象的顶点在y轴上;当m=　　　　时,函数图象的顶点在x轴上;当m=　　　　时,函数图象经过原点.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　二次函数的图象与性质
题型1　二次函数的图象
例1 [2025·江西南昌模拟] 在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y=bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的大致图象可能是 (　 )
A B
C D
题型2　二次函数的单调性与最值
例2 [2026·江苏常州期末] 已知函数f(x)=x2-mx-3,m∈R在区间[-2,2]上的最小值为-4,求m.
总结反思
1.复习二次函数时要注意的几个关键点:(1)二次项系数的符号;(2)图象的对称轴;(3)图象经过的特殊点.
2.求解二次函数的单调性问题通常需要对图象对称轴的位置进行讨论,常见题型有:(1)轴定区间定;(2)轴动区间定;(3)轴定区间动.
【对点演练1】 (1)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=ax2+x+1和函数g(x)=ax+1的图象不可能是 (　 )
A　　B
C　　D
(2)设函数f(x)=-x2+mx+.
①若函数f(x)在[-1,1]上单调,求实数m的取值范围.
②若m=0,是否存在实数a,b,使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[2a,2b] 若存在,求出[a,b];若不存在,说明理由.
　幂函数的图象与性质
题型1　幂函数的图象
例3 (1)[2025·浙江杭州期末] 如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为 (　 )
A.y= B.y=
C.y= D.y=
(2)如图,曲线C1,C2,C3,C4是幂函数y=xa中a取不同值时对应的(部分)图象,已知a∈,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为 (　 )
A.4,,-,-4 B.-4,-,,4
C.-,4,-4, D.4,,-4,-
题型2　幂函数的性质
例4 (1)[2025·江苏常州调研] 已知幂函数f(x)的图象经过点,则 (　 )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)为奇函数
C.f(x)为减函数
D.f(x)的值域为(0,+∞)
(2)[2026·河北衡水联考] 已知幂函数f(x)=(2a2+a)在定义域内单调递增,则a=　　　　.
总结反思
1.幂函数的图象最多出现在两个象限内,一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.
3.幂函数的性质因幂指数的不同而不同,解题时要善于根据幂指数的符号和其他性质确定幂函数的解析式、参数取值等.
【对点演练2】 (1)[2023·天津卷] 若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.c>a>b B.c>b>a
C.a>b>c D.b>a>c
(2)[2026·浙江杭州期中] 已知函数f(x)=m2是幂函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数m= (　 )
A.2 B.-1
C.1 D.1或-1
(3)已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则m的值为　　　　. 第9讲　二次函数与幂函数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(2)　　　　　
2.(2){x|x≥0}　{x|x≠0}　{y|y≥0}
{y|y≥0}　{y|y≠0}　奇　偶　奇
非奇非偶　奇　(-∞,0]　[0,+∞)
[0,+∞)　(-∞,0)　(0,+∞)
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
[解析] (1)幂函数的图象不经过第四象限,所以错误.
(2)对于函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,b≠0),当a≠0时,函数f(x)为二次函数,因为b≠0,所以其图象的对称轴不为y轴,函数f(x)不是偶函数;当a=0时,函数f(x)为一次函数,因为b≠0,所以函数f(x)不是偶函数.所以正确.
(3)由幂函数的性质知,当α=1,3,时,幂函数y=xα均为增函数,所以正确.
(4)当α=-1时,y=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减,但y=x-1不是减函数,所以错误.
题组二
1.A　[解析] 函数f(x)=x2+3x+4=+≥.对于A,f(x)>0恒成立,A正确;对于B,D,当x=-时,f(x)取到最小值,f(x)无最大值,B,D都错误;对于C,f(0)=4,即f(x)的图象与y轴有交点,C错误.故选A.
2.B　[解析] 由题意结合图象可知a<03.A　[解析] 若f(x)=(m2-3m-3)·xm+2是幂函数,则m2-3m-3=1,解得m=4或m=-1,故“m=4”是“f(x)=(m2-3m-3)xm+2是幂函数”的充分不必要条件.故选A.
4.4　2或14　　[解析] 二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3的图象的对称轴方程为x=,所以当对称轴方程为x=0,即=0,即m=4时,函数图象的顶点在y轴上.因为二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3的图象的顶点坐标为,所以当
=0,即-m2+16m-28=0,即m=2或m=14时,函数图象的顶点在x轴上.当x=0时,y=2m-3,所以当2m-3=0,即m=时,函数图象经过原点.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　D　[解析] 根据一次函数y=bx+c与二次函数y=ax2在同一平面直角坐标系中的图象可判断出a>0,b>0,c<0,则y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=-<0,且与y轴交于负半轴.故选D.
例2　解:f(x)=x2-mx-3,m∈R的图象开口向上,对称轴为直线x=.
当≤-2,即m≤-4时,f(x)在[-2,2]上单调递增,最小值为f(-2)=4+2m-3=-4,解得m=-,
又m≤-4,所以舍去;
当≥2,即m≥4时,f(x)在[-2,2]上单调递减,最小值为f(2)=4-2m-3=-4,解得m=,
又m≥4,所以舍去;
当-2<<2,即-4对点演练1　(1)C　[解析] 若a=0,则f(x)=x+1,g(x)=1,A可能;若a<0,则f(x)的图象开口向下,过点(0,1),对称轴方程为x=->0,g(x)的图象过点(0,1)和,且-<-,B可能;若0-,C不可能;若a>,则f(x)的图象开口向上,与x轴没有交点,过点(0,1),对称轴方程为x=-<0,g(x)的图象过点(0,1)和,且->-,D可能.故选C.
(2)解:①由二次函数的性质得f(x)图象的对称轴为直线x=m,
因为函数f(x)在[-1,1]上单调,
所以m≤-1或m≥1,则实数m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).
②若m=0,则f(x)=-x2+,
假设存在实数a,b,使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为[2a,2b].
分以下三种情况讨论:(i)若a解得与a(ii)若0≤a即
由0≤a(iii)若a<0由题意得2b=,解得b=,因为f(b)=-+=>0,
所以f(a)=-a2+=2a,即a2+4a-13=0,得a=-2-,此时[a,b]=.
综上所述,存在实数a,b,当[a,b]=[1,3]或[a,b]=时,
函数的定义域为[a,b],值域为[2a,2b].
探究点二
例3　(1)C　(2)A　[解析] (1)对于A,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),当x<0时,y=<0,不符合题意;对于B,当x=0时,y==0,不符合题意;对于C,y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数为偶函数,y>0恒成立,且y=在(0,+∞)上单调递减,在(-∞,0)上单调递增,符合题意;对于D,y=,当x=0时,y=0,不符合题意.故选C.
(2)因为在直线x=1右侧的图象自下而上所对应的幂函数的幂指数依次增大,所以与曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次减小,故选A.
例4　(1)D　(2)　[解析] (1)设f(x)=xα,由函数f(x)的图象经过点,可得3α=,解得α=-2,所以f(x)=x-2=.函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故A错误;由f(x)的定义域关于原点对称,f(-x)=f(x),可知函数f(x)为偶函数,故B错误;f(x)=在(-∞,0)∪(0,+∞)上不单调,故C错误;因为f(x)=>0,所以f(x)的值域为(0,+∞),故D正确.故选D.
(2)因为函数f(x)=(2a2+a)是幂函数,所以2a2+a=1,解得a=-1或a=.当a=-1时,f(x)=,由幂函数的性质得f(x)在定义域内单调递减,不符合题意,舍去;当a=时,f(x)=,由幂函数的性质得f(x)在定义域内单调递增,符合题意.故a=.
对点演练2　(1)D　(2)B　(3)1
[解析] (1)因为函数y=1.01x在R上单调递增,且0.5<0.6,所以1.010.5<1.010.6,即aa>c.
(2)由f(x)是幂函数可得m2=1,解得m=±1.当m=1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,不合题意,故舍去;当m=-1时,f(x)=x在(0,+∞)上单调递增,符合题意,故m=-1.故选B.
(3)因为幂函数y=x3m-9在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,所以m<3,因为m∈N*,所以m=1或2,又因为该函数的图象关于y轴对称,所以3m-9是偶数,所以m=1.

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