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第10讲　指数与指数函数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.n次方根　奇数　偶数　根式　根指数　被开方数　a
2.　
3.(2)(0,+∞)　(0,1)　单调递增　单调递减
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)×
[解析] (1)指数函数的解析式为y=ax(a>0,且a≠1),y=2ax(a>0,且a≠1)不符合指数函数解析式的特征,不是指数函数,故错误.
(2)∵ax>0(a>0,且a≠1)恒成立,∴指数函数的图象一定在x轴上方,故正确.
(3)0的负分数指数幂没有意义,故错误.
题组二
1.A　[解析] +=|π-4|+3-π=4-π+3-π=7-2π.故选A.
2.C　[解析] 因为y=-3-x,即-y=3-x,所以函数y=-3-x与y=3x的图象关于原点对称.故选C.
3.D　[解析] 由指数幂的运算性质可知am·an=am+n,(am)n=amn,B,C不满足题意,D满足题意;当a=m=n=1时,am+an=2,am+n=1,此时am+an≠am+n,A不满足题意.故选D.
4.2或　[解析] 若a>1,则当x∈[-1,1]时,f(x)max=f(1)=a=2;若0● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)C
[解析] (1)===24=16.故选A.
(2)+-0.5-3=+|π-4|-=4+4-π-8=-π.故选C.
对点演练1　(1)　(2)0 [解析] (1)==2-2=.
(2)-(π-1)0-=-1-=-1-=0.
探究点二
例2　(1)C　(2)(-∞,-1]
[解析] (1)函数y=ax+1与y=的图象都经过定点(0,1),故排除B;因为a>0且a≠1,所以y=ax+1为增函数,当01时,y=为减函数,此时y=ax+1的零点-∈(-1,0),故排除D.故选C.
(2)如图,画出y=的图象,将y=的图象向下平移一个单位长度得到y=-1的图象,
结合图象可知m≤-1.
对点演练2　A　[解析] f(x)=ae-|x-b|的图象关于直线x=b对称,由题图可知-1探究点三
例3　(1)D　(2)D　[解析] (1)对于a,b,因为y=x0.3在(0,+∞)上单调递增,所以20.3>0.20.3,即a>b;对于b,c,因为y=0.2x在R上单调递减,所以0.20.3>0.20.6,即b>c.所以a>b>c.故选D.
(2)因为y=是R上的减函数,而>,所以<,即b,所以>,即a>c.所以a>c>b.故选D.
例4　(1)A　(2)B　(3)1
[解析] (1)因为指数函数y=在R上单调递减,所以由≤1=,可得x≥0,所以“x>0”是“≤1”的充分不必要条件.故选A.
(2)函数f(x)=2|x|,定义域为R,关于原点对称,又因为f(-x)=2|-x|=2|x|=f(x),所以f(x)=2|x|是偶函数.当x≥0时,f(x)=2x,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.由f(x)>f(x-4),得|x|>|x-4|,解得x>2.故选B.
(3)若a≤0,则-a2=2,无解;若a>0,则2a=2,解得a=1.综上,a=1.
例5　(1)D　(2)B　[解析] (1)∵≤,∴≤2-3x+4 ,∵y=2x为增函数,∴2x2+2≤-3x+4,即 2x2+3x-2≤0,∴-2≤x≤,故x的取值范围为.故选D.
(2)因为0<0.1<1,所以y=0.1x+2m在(-∞,0)上单调递减,取值范围为(1+2m,+∞).当x≥0时,sin x∈[-1,1],则函数y=m2sin x-1的取值范围为[-m2-1,m2-1].又函数f(x)的值域是[-5,+∞),所以-m2-1=-5,解得m=±2.当m=2时,f(x)的值域为(5,+∞)∪[-5,3]≠[-5,+∞),不符合题意;当m=-2时,f(x)的值域为(-3,+∞)∪[-5,3]=[-5,+∞),符合题意.综上,m=-2.故选B.
对点演练3　(1)A　(2)B　(3)AC
[解析] (1)令g(x)=-(x-1)2,则g(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1.因为-1-=-,且-42=9+6-16=6-7>0,所以-1>1-,由二次函数的性质知gg.综上,gc>a.故选A.
(2)因为函数f(x)满足对任意的x1≠x2,都有<0,所以函数f(x)在定义域内单调递减,则解得0(3)设t=x2-2x-1,则t=x2-2x-1在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.因为y=0.5x是R上的减函数,所以由同增异减原则,可知f(x)的单调递增区间为(-∞,1],则A正确,B错误.因为x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,所以f(x)=≤0.5-2=4,则C正确,D错误.故选AC.第10讲　指数与指数函数
【课标要求】　
1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n∈Z,且n≠0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.
2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
1.根式
n次 方根 概 念 如果xn=a,那么x叫作a的　, 其中n>1,n∈N*
性 质 当n是　　　时,a的n次方根为x=
当n是　　　时,正数a的n次方根为x=±,负数没有偶次方根
0的任何次方根都是0,记作=0
根 式 概 念 式子叫作　　　　　,其中n叫作　　　　　,a叫作　　　　　　　
性 质 当n为奇数时,=　
当n为偶数时,=|a|=
2.有理数指数幂
概念 正分数指数幂:=　　　 a>0, m, n∈N*, n>1
负分数指数幂:==　　　
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
运算 性质 ar·as=ar+s a>0, b>0,r, s∈Q
=ars
(ab)r=arbr
3.指数函数的概念、图象与性质
(1)指数函数的概念
函数y=ax(a>0,且a≠1)叫作指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R,a是底数.
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域为R,值域为　　　
图象过定点　　　
当x>0时,y>1;当x<0时,00时,01
在定义域R上　　　　　 在定义域R上　　　　　
注意 ①指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象和性质与a的取值有关,应分a>1与00,且a≠1)与y=(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称
常用结论
1.指数函数图象的画法:画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
2.指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象以x轴为渐近线.
3.指数函数的图象与底数大小的比较:
如图是指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象越高,底数越大.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y=2ax(a>0,且a≠1)是指数函数. (　 )
(2)指数函数的图象一定在x轴上方. (　 )
(3)0的任何指数幂都等于0. (　 )
题组二　教材改编　　　　　　　　　　　　　　　
1.式子+的值为 (　 )
A.7-2π B.2π-7
C.-1 D.1
2.函数y=-3-x与y=3x的图象 (　 )
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.关于直线y=x对称
3.设a>0,则下列等式恒成立的是 (　 )
A.am+an=am+n B.am·an=amn
C.(am)n=am+n D.am·an=am+n
4.若指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)在[-1,1]上的最大值为2,则a=　　　　.
　指数幂的运算
例1 (1)= (　 )
A.16 B.8
C.32 D.16
(2)+-0.5-3= (　 )
A.16-π B.π C.-π D.-π-8
总结反思
指数幂运算过程中需注意以下几点:(1)当底数为小数时先化成分数,当底数为负数时先确定幂的符号;(2)将根式化为幂的形式,运用指数幂的运算性质来解答;(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.
【对点演练1】 (1)计算:=　　　　.
(2)-(π-1)0-=　　　　.
　指数函数的图象及应用
例2 (1)已知a>0且a≠1,则在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+1和y=的图象可能是 (　 )
A　　　B
C　　　D
(2)函数y=+m的图象不经过第一象限,则实数m的取值范围为　　　　.
总结反思
(1)对于指数型函数的图象,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
(2)有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数的图象,数形结合求解.
【对点演练2】 已知函数f(x)=ae-|x-b|(a,b∈R,e=2.718 28…)的图象如图所示,则 (　 )
A.0B.0C.a>1,0D.a>1,-1　指数函数的性质及应用
题型1　比较指数式的大小
例3 (1)已知a=20.3,b=0.20.3,c=0.20.6,则 (　 )
A.b>a>c B.a>c>b
C.b>c>a D.a>b>c
(2)[2026·重庆八中期末] 已知a=,b=,c=,则 (　 )
A.aC.c题型2　求解指数方程或不等式
例4 (1)[2025·浙江衢州期末] “x>0”是“≤1”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知函数f(x)=2|x|,则使f(x)>f(x-4)成立的x的取值范围是 (　 )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
(3)已知函数f(x)=若f(a)=2,则实数a=　　　　.
题型3　指数函数性质的应用
例5 (1)[2025·河北保定期末] 已知不等式≤成立,则x的取值范围为 (　 )
A.[-2,-1] B.[-2,1]
C. D.
(2)已知函数f(x)=的值域是[-5,+∞),则m的值为 (　 )
A.2 B.-2 C.-7 D.±2
总结反思
利用指数函数的性质解题时,原则上先化为同底的指数式,再求解,并要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞).若不能化为同底,则可化为同指数,然后借助图象或中间变量求解.涉及与指数函数有关的复合函数问题,需注意复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
【对点演练3】 (1)[2023·全国甲卷] 已知函数f(x)=,记a=f,b=f,c=f,则 (　 )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
(2)已知a>0且a≠1,函数f(x)=若对任意的x1≠x2,都有<0,则a的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
(3)(多选题)[2026·陕西西安期末] 已知函数f(x)=,则 (　 )
A.f(x)的单调递增区间为(-∞,1]
B.f(x)的单调递增区间为[1,+∞)
C.f(x)有最大值4
D.f(x)有最小值4

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