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第11讲　对数与对数函数
【课标要求】　
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数.
1.对数
概念 如果　　　　(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的对数,记作x=　　　　,其中a叫作对数的　　　　,N叫作　　　　
性质 底数的限制:a>0,且a≠1
对数式与指数式的互化:ax=N 　　　
负数和零没有对数
1的对数是　　　　:loga1=　　　　
底数的对数是　　　　:logaa=　　　　
对数恒等式:=　　　
运算 性质 loga(M·N)=　　　　 a>0,且a≠1, M>0,N>0
loga=　　　　　
logaMn=　　　　(n∈R)
换底 公式 logab=(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)
2.对数函数的概念、图象与性质
(1)对数函数的概念
函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).
(2)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质
底数 a>1 0图象
性质 定义域:　　　
值域:R
图象过定点　　　　,即恒有loga1=0
当x>1时,y>0; 当01时,y<0; 当00
在(0,+∞)上是 　　　 在(0,+∞)上是 　　　
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和03.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数　　　　　　　　　　互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于直线　　　　对称.
常用结论
1.换底公式的两个重要结论
(1)logab=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1).
(2)lobn=logab(a>0,且a≠1;b>0;m,n∈R,且m≠0).
2.对数函数的图象与底数大小的比较
如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故03.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称.
4.常用结论:当x>0时,有ex>x>ln x.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)log3x2=2log3x. (　 )
(2)y=loga(2x)(a>0,且a≠1)是对数函数. (　 )
(3)对数函数的图象都过定点(0,1). (　 )
(4)对数函数的图象都在y轴的右侧. (　 )
(5)若函数y=log(2a)x是减函数,则0题组二　教材改编
1.若m2026=n(m>0且m≠1),则 (　 )
A.logmn=2026 B.lognm=2026
C.log2026m=n D.log2026n=m
2.函数y=lg(1-x)的定义域是 (　 )
A.(0,1) B.[0,1]
C.(-∞,1) D.(-∞,1]
3.已知a=log0.23,b=20.3,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.aC.b4.设alog29=3,则3-2a= (　 )
A.　　B.　　C.　　D.
　对数式的运算
例1 (1)已知alog34=2,则21-2a= (　 )
A. B. C. D.18
(2)设a=lg 2,b=lg 3,则log1210= (　 )
A.2a+b B.2b+a
C. D.
总结反思
解决对数运算问题的常用方法:
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简;
(2)将同底对数的和、差、倍合并;
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用;
(4)利用常用对数中的lg 2+lg 5=1.
【对点演练1】 (1)若m∈R,lg 251=m+30.351,lg 2≈0.301,则m≈ (　 )
A.-16 B.-15
C.-14 D.-13
(2)[2026·浙江丽水质检] 已知a>1,且loga8×loga2=1-loga4,则a= (　 )
A.2或8 B.或8
C.8 D.64
　对数函数的图象及应用
例2 (1)[2026·湖南长沙模拟] 函数y=|x|的图象大致是 (　 )
A　　　B
C　　　D
(2)[2026·安徽亳州期末] 函数f(x)=ln的图象大致为 (　 )
A　　　B
C　　　D
总结反思
(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
(2)一些对数方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合求解.
【对点演练2】 [2025·福建福州质检] 若函数f(x)=xa,x∈(0,+∞)的图象如图所示,则函数g(x)=logax+loga(2-x)的图象大致为 (　 )
A　　　B
C　　　D
　对数函数的性质及应用
题型1　比较指数式、对数式的大小
例3 (1)已知a=,b=log115,c=log63,则(　 )
A.cC.b(2)[2024·天津卷] 若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
题型2　解对数方程或不等式
例4 (1)[2025·湖南长沙联考] 已知x∈R,则“x>2”是“ln x>0”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)[2026·浙江嘉兴调研] 关于x的不等式>1的解集为 (　 )
A. B.(0,1)
C. D.(1,+∞)
(3)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-x2+3,则log3[f(0)+f(-3)]= (　 )
A.1+log32 B.2+log32
C.1 D.2
题型3　对数函数性质的应用
例5 (1)已知函数f(x)=lg(x2-ax-5)在(5,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,4) B.(-∞,4]
C.(4,+∞) D.[4,+∞)
(2)(多选题)[2026·陕西汉中期末] 已知函数f(x)=ln x+ln(6-x),则 (　 )
A.f(x)的图象是轴对称图形
B.f(x)在(0,3)上单调递增
C.f(x)的值域为(0,2ln 3]
D.f(x)恰有两个零点
总结反思
1.比较指数式和对数式的大小时,可以利用函数的单调性,引入中间量进行比较,有时也可用数形结合的思想进行比较.
2.对数不等式的类型及解法
类型 求解方法
logax>logab 借助y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0logax>b 需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=logax的单调性求解
3.解对数方程时,一般将方程化为logaf(x)=logag(x)或logaf(x)=b的形式,再将对数符号去掉,转化为或f(x)=ab.
4.利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清三个方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,注意口诀“同增异减”在解题中的应用.
【对点演练3】 (1)[2025·河北沧州质检] 函数y=3loga(x-1)+1(a>0且a≠1)的图象恒过的点为 (　 )
A.(1,1) B.(1,4)
C.(2,1) D.(2,4)
(2)[2025·江苏淮安质检] 已知函数f(x)=log2(x2-x),则函数f(x)的定义域为 (　 )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(0,1]
C.(0,1)
D.(-∞,0)∪[1,+∞)
(3)若函数f(x)=|ln x-a|+a(a∈R)在[1,e3]上的最大值为3,则a的最大值为 (　 )
A.3 B.
C. D.e
(4)(多选题)关于函数f(x)=(2x2-4x+a),以下说法正确的是 (　 )
A.当a=-6时,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)
B.当a=6时,f(x)的值域为[-2,+∞)
C.若f(x)的值域为R,则a≥2
D.函数f(x)的图象关于直线x=1对称第11讲　对数与对数函数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.ax=N　logaN　底数　真数　x=logaN　0　0　1　1　N
logaM+logaN　logaM-logaN nlogaM
2.(2)(0,+∞)　(1,0)　增函数　减函数
3.y=logax(a>0,且a≠1)　y=x
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
[解析] (1)log3x2=2log3|x|,故错误.
(2)函数y=loga(2x)=loga2+logax不是对数函数,故错误.
(3)对数函数的图象都过定点(1,0),故错误.
(4)对数函数的定义域为(0,+∞),故对数函数的图象都在y轴的右侧,故正确.
(5)若函数y=log(2a)x是减函数,则0<2a<1,即0题组二
1.A　[解析] 因为m2026=n(m>0且m≠1),所以logmn=2026.故选A.
2.C　[解析] 令1-x>0,可得x<1,故选C.
3.A　[解析] 因为a=log0.23<0,b=20.3>20=1,04.C　[解析] 由alog29=3,可得log29a=3,所以9a=23=8,所以3-2a=9-a==.故选C.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)D　[解析] (1)因为alog34=log34a=2,所以4a=9,所以21-2a===,故选B.
(2)log1210====.故选D.
对点演练1　(1)B　(2)C　[解析] (1)因为lg 251=m+30.351,所以m=51·lg 2-30.351,又lg 2≈0.301,所以m≈-15.故选B.
(2)因为loga8×loga2=loga23×loga2=3,1-loga4=1-loga22=1-2loga2,令t=loga2>0,则3t2=1-2t,解得t=或t=-1(舍去),所以loga2=,解得a=8.故选C.
探究点二
例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)由函数f(x)=|x|,可得函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),又f(-x)=|-x|=|x|=f(x),所以函数f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称.当x>0时,f(x)=x,由对数函数的性质得f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(1)=0,所以选项D符合题意.故选D.
(2)由题可知f(x)=ln,由>0可得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),显然关于原点对称,又f(-x)=-ln=-f(x),所以f(x)是奇函数,故排除C,D;又因为f(2)=ln 3>0,所以排除B.故选A.
对点演练2　A　[解析] 由幂函数图象可得0loga[-(x-1)2+1]的定义域为(0,2),而0<-(x-1)2+1≤1,则g(x)≥0恒成立,排除B,C,D.故选A.
探究点三
例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)因为3a=2,3b=3log115=log11125>2,3c=3log63=log627<2,所以c(2)因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0a>c,故选B.
例4　(1)A　(2)D　(3)A　[解析] (1)当x>2时,ln x>ln 2>0,故充分性成立;当ln x>0时,x>1,推不出x>2,故必要性不成立.所以“x>2”是“ln x>0”的充分不必要条件.故选A.
(2)y=ex在R上为增函数,由>1=e0可得log2x>0,又y=log2x在(0,+∞)上为增函数,所以由log2x>0=log21,得x>1,即不等式的解集为(1,+∞).故选D.
(3)由题意得f(0)=0,f(-3)=-f(3)=-(-9+3)=6,所以log3[f(0)+f(-3)]=log36=1+log32.故选A.
例5　(1)B　(2)ABD　[解析] (1)由函数f(x)=lg(x2-ax-5)在(5,+∞)上单调递增,可得u(x)=x2-ax-5在(5,+∞)上单调递增,且u(x)>0在(5,+∞)上恒成立,故需满足解得a≤4.故选B.
(2)由得函数f(x)的定义域为(0,6).对于A,因为f(6-x)=ln(6-x)+ln[6-(6-x)]=ln(6-x)+ln x=f(x),所以f(x)的图象关于直线x=3对称,A正确;对于B,f(x)=ln x+ln(6-x)=ln(-x2+6x),因为t=-x2+6x在(0,3)上单调递增,且y=ln t在其定义域内单调递增,所以f(x)在(0,3)上单调递增,B正确;对于C,当x∈(0,6)时,t=-x2+6x∈(0,9],故f(x)的值域为(-∞,2ln 3],C错误;对于D,令f(x)=0,则-x2+6x=1,解得x=3±2,则f(x)=0有两个解,且这两个解均在(0,6)内,故D正确.故选ABD.
对点演练3　(1)C　(2)A　(3)B
(4)AD　[解析] (1)在函数y=3loga(x-1)+1中,当x=2时,恒有y=1,即函数y=3loga(x-1)+1的图象恒过的点为(2,1).故选C.
(2)要使函数f(x)有意义,则x2-x>0,解得x<0或x>1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.
(3)设t=ln x,当x∈[1,e3]时,t∈[0,3],则问题转化为函数g(t)=|t-a|+a(a∈R)在[0,3]上的最大值为3.易知函数g(t)的图象的对称轴为直线t=a,g(t)在(-∞,a)上单调递减,在[a,+∞)上单调递增.当a>时,g(t)在[0,3]上的最大值为g(0)=2a>3,不合题意;当a≤时,g(t)在[0,3]上的最大值为g(3)=|3-a|+a=3-a+a=3,符合题意.综上,a的最大值为.故选B.
(4)由题可知f(x)为复合函数,外层函数为对数函数,内层函数为一元二次函数,其中对数函数的底数为∈(0,1),∴对数函数为减函数,令μ(x)=2x2-4x+a.对于A,当a=-6时,f(x)=(2x2-4x-6),令2x2-4x-6>0,得f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),又μ(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增,∴由复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),故A正确.对于B,当a=6时,f(x)=(2x2-4x+6),此时f(x)的定义域为R,μ(x)=2x2-4x+6=2(x-1)2+4,∴μ(x)∈[4,+∞),∴f(x)≤4=-2,∴f(x)的值域为(-∞,-2],故B错误.对于C,∵f(x)的值域为R,∴μ(x)=2x2-4x+a的函数值能取到所有的正实数,即判别式Δ=(-4)2-4×2×a≥0,解得a≤2,故C错误.对于D,易知函数μ(x)=2x2-4x+a的图象关于直线x=1对称,而函数f(x)=(2x2-4x+a)的图象是由μ(x)的图象经过对数变换得到的,∴函数f(x)的图象也关于直线x=1对称(也可验证f(1+x)=f(1-x)成立),故D正确.故选AD.

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