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微专题2　 指、对、幂的大小比较
微点一
例1　(1)A　(2)A　[解析] (1)由幂函数y=x0.7为增函数,得a=0.30.7<0.70.7;由指数函数y=0.7x为减函数,得0.70.7log0.70.7=1.所以c>b>a.故选A.
(2)由题意知a=30.2>30=1,b=log52=,c=log32=,又y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以1>,所以b对点演练1　(1)B　(2)A　[解析] (1)b=log45=log2,由y=log2x为增函数,可得log22b>c.故选B.
(2)因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以log340=1,即b>1.因为y=x在(0,+∞)上单调递减,所以1<<,即0c>a.故选A.
微点二
例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)由题意知b===,c===.因为函数y=log2x在(0,+∞)上单调递增,3.4>>,所以log23.4>log2>log2,又y=3x在R上单调递增,所以>>,即a>c>b.故选D.
(2)因为log23>log2=,log350.因为0==,
而49>45,所以7>3,所以lg 7-lg 3>0,所以b>0.故选A.
对点演练2　(1)B　(2)B　[解析] (1)因为log78>log77=1,log6=,1=log55>log53>log5=,所以log6(2)由=≈2.37,则-1>,ln=>ln,所以c>b>a.故选B.
微点三
例3　(1)B　(2)D　[解析] (1)方法一(数形结合法):由2+log2x=3+log3y=5+log5z,得2+=3+=5+,即-1+==2+.
令t1=ln x,t2=ln y,t3=ln z,设-1+==2+=k,则k=-1+,k=,k=2+,作出函数k=-1+,k=,k=2+的图象,如图所示.
由图可知,当kt2>t3,即x>y>z;当k=k1时,t1=t2>t3,即x=y>z;当k1t1>t3,即y>x>z;当k=k2时,t2>t1=t3,即y>x=z;当k2t3>t1,即y>z>x;当k=k3时,t2=t3>t1,即y=z>x;当k>k3时,t3>t2>t1,即z>y>x.故选B.
方法二(特例排除法):由题知log2x-1=log3y=log5z+2=k,所以x=2k+1,y=3k,z=5k-2.当k=-1时,x=1,y=,z=,此时x>y>z,排除A;当k=2时,x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,排除C;当k=5时,x=64,y=243,z=125,此时y>z>x,排除D.故选B.
(2)由ea+ln b=-a,可得ea+a=+ln.因为0对点演练3　A　[解析] 设f(x)=x+,x>0,则由对勾函数的单调性可知,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(1)=2.易知a=log23+log32=log23+=f(log23),b=log45+log54=log45+=f(log45),因为log23>log2=log45>1,所以f(log23)>f(log45)>f(1),即a>b>2.故选A.微专题2　 指、对、幂的大小比较
微点一　利用函数性质比大小　　　　　 　　　　　 　　　　　
例1 (1)[2026·山东泰安模拟] a=0.30.7,b=0.70.3,c=log0.70.3,则a,b,c的大小关系为(　 )
A.c>b>a B.c>a>b
C.a>b>c D.a>c>b
(2)已知a=30.2,b=log52,c=log32,则 (　 )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>c>a
总结反思
破解此类问题的关键:一是观察所给的代数式的特征,明确代数式是同“底”、同“真”还是同“指”;二是活用函数的单调性比较大小,即结合代数式的特征,利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行比较,从而得出结论.
【对点演练1】 (1)[2025·广东六校联考] 若a=log23,b=log45,c=21-b,则 (　 )
A.b>a>c B.a>b>c
C.a>c>b D.c>a>b
(2)已知a=log3,b=40.3,c=,则a,b,c的大小关系是 (　 )
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
微点二　利用指数、对数、幂的运算性质比大小
例2 (1)已知a=,b=,c=,则 (　 )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.a>c>b
(2)已知a=log23-log35,b=log57-log79,则 (　 )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
总结反思
利用指数、对数、幂的运算性质破解比较大小问题的关键:一是会运算,会利用幂、指数、对数的运算性质、公式等进行化简或求值,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式;二是会比较,根据运算结果,直接或借助中间值比较大小,常用的中间值有0,1等.
【对点演练2】 (1)设a=log53,b=log6,c=log78,则 (　 )
A.aC.c(2)[2026·山东菏泽期中] 若a=ln,b=,c=-1,则a,b,c的大小关系为 (　 )
A.a>b>c B.c>b>a
C.c>a>b D.b>a>c
微点三　构造函数比大小
例3 (1)[2025·全国一卷] 已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是 (　 )
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
(2)已知0A.a>b-1 B.a>b-2
C.ea总结反思
破解此类通过构造函数比较大小问题的关键是观察所比较的式子的特征,细心挖掘式子的内在联系,抓住其本质,能根据其结构特征确定变量,合理构造函数,通过判断函数的单调性,比较大小.
【对点演练3】 已知a=log23+log32,b=log45+log54,则下列结论正确的是 (　 )
A.a>b>2 B.a>2>b
C.b>a>2 D.2>a>b

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