资源简介

第12讲　函数的图象
● 课前基础巩固
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)把函数y=log3(x-1)的图象向右平移个单位长度,得到函数y=log3=log3的图象,再把横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=log3的图象.故正确.
(2)为了得到函数y=的图象,可以把函数y=的图象向右平移1个单位长度.故错误.
(3)函数f(x+1)的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的.因为函数y=f(x)的图象经过点(1,2),所以函数y=f(x+1)的图象经过点(0,2).故错误.
(4)由题意可知f(x)=e-x,把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到g(x)=e-(x-1)=e-x+1的图象.故正确.
题组二
1.C　[解析] 将函数y=x2的图象向右平移2个单位长度,纵坐标不变,可得函数y=(x-2)2的图象,再将函数y=(x-2)2的图象向下平移1个单位长度后得到函数y=(x-2)2-1的图象.故选C.
2.B　[解析] 对于A,D中的图象,一个x可能会对应两个不同的y,故不是函数图象;对于B,对定义域内任意一个x都有唯一确定的y与之对应,且图象关于原点对称,符合题意;对于C,对R内的任意一个x都有唯一确定的y与之对应,且图象关于y轴对称,是偶函数的图象,不符合题意.故选B.
3.D　[解析] 若函数图象关于y轴对称,则该函数为偶函数.易知选项A,B,C中的函数均为非奇非偶函数,选项D中的函数为偶函数.故选D.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)因为y=9x=32x,所以将函数y=3x的图象上所有点的横坐标变成原来的,纵坐标不变,即可得到函数y=9x的图象.故选A.
(2)对于A,函数y=ex+1的图象向右平移1个单位长度可得到函数y=ex的图象,故A正确;对于B,函数y=ex-2的图象向上平移2个单位长度可得到函数y=ex的图象,故B正确;对于C,函数y=e2x的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),可得到函数y=ex的图象,是伸缩变换,不是平移变换,故C错误;对于D,函数y===ex-ln 2,其图象向左平移ln 2个单位长度可得到函数y=ex的图象,故D正确.故选ABD.
对点演练1　A　[解析] 因为y=-sin x=sin(x+π),所以将y=sin x的图象向左平移π个单位长度可得到y=-sin x的图象,故A正确;因为y=x2+x=-,所以其图象最低点的坐标为,而y=x2的图象最低点的坐标为(0,0),故两函数图象无法只通过左右平移实现重合,故B错误;y=ln x的图象上存在点(1,0),而y=ln(3x)的图象上存在点,假设y=ln x的图象可左右平移得到y=ln(3x)的图象,则将y=ln x的图象向左平移个单位长度即可得到y=ln(3x)的图象,而y=ln x的图象上的点(e,1)向左平移个单位长度后得到的点不在y=ln(3x)的图象上,假设不成立,故C错误;当k=0时,y=kx-3=-3,y=k(x-3)=0,y=-3和y=0为垂直于y轴的两条平行线,不能够通过左右平移实现重合,故D错误.故选A.
探究点二
例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)由图可知函数f(x)为偶函数,而函数y=和函数y=为奇函数,排除A,B;由图可知当x∈(0,1)时,f(x)<0,而当x∈(0,1)时,y=>0,排除C.故选D.
(2)函数f(x)=x+ln x的定义域为(0,+∞),排除D;由一次函数和对数函数的性质可知y=x与y=ln x在定义域上单调递增,故f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,排除C;因为f(1)=1+ln 1=1,所以函数f(x)的图象经过点(1,1),排除B.故选A.
对点演练2　(1)B (2)B　[解析] (1)f(x)=sinln(ex+e-x)=-cos xln(ex+e-x)的定义域为R,且f(-x)=-cos(-x)ln(e-x+ex)=-cos xln(ex+e-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除C,D;又f(0)=-ln 2<0,排除A.故选B.
(2)由题图知函数f(x)的定义域为R,且为偶函数.对于A,f(-x)=π|-x|++1=π|x|-+1≠f(x),故A错误;对于B,f(-x)=π-|-x|+=π-|x|+=f(x),当x→+∞时,f(x)→0且始终是正数,故B正确;对于C,f(-x)=π-|-x|++1=π-|x|-+1≠f(x),故C错误;对于D,f(-x)=π-|-x|+=π-|x|+=f(x),当x→+∞时,π-|x|→0,但可以为负数,故D错误.故选B.
探究点三
例3　B　[解析] 因为f(x)=f(x+4),所以f(x)的一个周期为4.当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,又f(x)是定义在R上的偶函数,所以当x∈[0,2]时,f(x)=f(-x)=-1,结合其周期性,可得f(x)的大致图象如图所示.在区间[-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根等价于f(x)在[-2,6]上的图象与函数g(x)=loga(x+2)在[-2,6]
上的图象有三个不同的交点,由图可得即则
解得例4　D　[解析] 因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(1)=f(4)=0,所以f(-1)=f(-4)=0.根据题意作出f(x)的大致图象如图所示.
不等式≤0等价于或由图可得x∈[-4,-1]∪[0,1]∪(3,4].故选D.
例5　(1)B　(2)A　[解析] (1)令t=f(x),则关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0可转化为t2-(a+2)t+2a=0.由t2-(a+2)t+2a=0,得(t-2)(t-a)=0,则t1=2,t2=a,所以f(x)=2或f(x)=a.当x≤0时,f(x)=ex+2,因为指数函数y=ex在(-∞,0]上单调递增,所以f(x)=ex+2在(-∞,0]上单调递增,且f(x)∈(2,3].当x>0时,f(x)=x+,则f'(x)=1-==.令f'(x)=0,即=0,解得x=1(负值舍去),所以当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,也是最小值,且f(1)=1+=2.作出f(x)的大致图象,如图所示,易知f(x)=2有1个实数根.
因为关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0有4个互不相同的实数根,
所以f(x)=a需要有3个不同的实数根.结合f(x)的图象可知,当2(2)设g(x)=x2+ax+b,h(x)=ln x,则h(x)在(0,+∞)上为增函数,且h(1)=0.若当x>0时,f(x)≥0,则满足当x>1时,g(x)≥0,当0故g(x)的图象必过点(1,0),则g(1)=1+a+b=0,即b=-1-a,此时函数g(x)与h(x)的图象如图所示.
此时g(x)=x2+ax-1-a=(x-1)[x+(a+1)],则满足函数g(0)=-a-1≤0,所以a≥-1,即a的最小值为-1.故选A.
对点演练3　(1)D　(2)A　(3)AC
[解析] (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,且在(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,又f(2)=0,所以f(-2)=-f(2)=0,f(0)=0,函数f(x)的大致图象如图①所示,
f(x)的图象向右平移1个单位长度,得到f(x-1)的图象,如图②所示,
由图②可知满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.
(2)由题图可知,f(x)=的定义域为(-∞,2)∪(2,4)∪(4,+∞),故关于x的方程ax2+bx+c=0的两根为2,4,由根与系数的关系得2+4=-,2×4=,又f(3)==1,所以a=-2,b=12,c=-16,则f(x)=,故f(5)==-.故选A.
(3)函数f(x)=的图象如图所示.
对于A,若函数y=f(x)的图象与直线y=t有4个交点,则02=2,则x3x4=x3+x4>4,故B错误.对于C,由以上分析可得x1+x2+x3+x4=1+x3+x4>5,由(x3-1)(x4-1)=1,得x3=+1,则x3+x4=+1+x4=+(x4-1)+2,x4-1∈(1,2),因为函数y=x+在(1,2)上单调递增,所以+(x4-1)∈,则x3+x4=+1+x4∈,所以5【课标要求】　
1.掌握基本初等函数的图象特征,能熟练运用基本初等函数的图象解决问题.
2.掌握图象的作法:描点法和图象变换.
3.会运用函数的图象理解和研究函数性质.
1.利用描点法作函数图象的方法步骤
2.图象变换
常用结论
1.记住几个重要结论
(1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
(2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.
(3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x都满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
2.图象的左、右平移仅仅是相对于x而言,如果x的系数不是1,常需把系数提出来,再进行变换.
3.图象的上、下平移仅仅是相对于y而言,利用“上加下减”进行变换.
4.函数y=ax+(a>0,b>0),图象如图甲所示
(1)奇偶性:奇函数.
(2)单调性:
单调递增区间为,;
单调递减区间为,.
③渐近线:直线y=ax和x=0.
5.函数y=ax-(a>0,b>0),图象如图乙所示
(1)奇偶性:奇函数.
(2)单调性:在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增.
(3)渐近线:直线x=0和直线y=ax.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)把函数y=log3(x-1)的图象向右平移个单位长度,再把横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,所得图象对应的函数解析式是y=log3. (　 )
(2)为了得到函数y=的图象,可以把函数y=的图象向左平移1个单位长度. (　 )
(3)已知函数y=f(x)的图象经过点(1,2),则函数y=f(x+1)的图象经过点(1,2). (　 )
(4)已知函数y=f(x)的图象与y=ex的图象关于y轴对称,把y=f(x)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y=g(x)的图象,则g(x)=e-x+1. (　 )
题组二　教材改编
1.将函数y=x2的图象向右平移2个单位长度,纵坐标不变,再向下平移1个单位长度后所得图象对应的函数解析式为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.y=(x+2)2+1
B.y=(x-2)2+1
C.y=(x-2)2-1
D.y=(x+2)2-1
2.下列各图中,表示以x为自变量的奇函数图象的是 (　 )
A B
C D
3.下列函数中图象关于y轴对称的是 (　 )
A.y=-2-x B.y=|ln x|
C.y=lg|x+1| D.y=e|x|-1
　函数图象的变换
例1 (1)[2025·北京卷] 为得到函数y=9x的图象,只需把函数y=3x的图象上的所有点(　 )
A.横坐标变成原来的,纵坐标不变
B.横坐标变成原来的2倍,纵坐标不变
C.纵坐标变成原来的,横坐标不变
D.纵坐标变成原来的3倍,横坐标不变
(2)(多选题)[2025·湖南娄底模拟] 下列函数的图象平移后可得到函数y=ex的图象的有(　 )
A.y=ex+1 B.y=ex-2
C.y=e2x D.y=
总结反思
利用图象变换法作函数图象的注意点:
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y=x+的函数的图象等;
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,则可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.
【对点演练1】 [2026·浙江衢州五校联盟期中] 下列各组函数的图象,能够通过左右平移实现重合的是 (　 )
A.y=sin x与y=-sin x
B.y=x2与y=x2+x
C.y=ln x与y=ln(3x)
D.y=kx-3与y=k(x-3)
　函数图象的识别
例2 (1)[2025·天津卷] 已知函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的解析式可能为 (　 )
A.f(x)=
B.f(x)=
C.f(x)=
D.f(x)=
(2)[2025·浙江温州质检] 函数f(x)=x+ln x的图象大致为 (　 )
A　　　B
C　　　D
总结反思
解决识别函数图象问题的切入点
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(3)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
(4)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(5)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
【对点演练2】 (1)函数f(x)=sinln(ex+e-x)的部分图象大致为 (　 )
A　　　B
C　　　D
(2)[2025·湖南名校联考联合体期末] 已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 (　 )
A.f(x)=π|x|++1
B.f(x)=π-|x|+
C.f(x)=π-|x|++1
D.f(x)=π-|x|+
　函数图象的应用
题型1　研究函数的性质
例3 [2025·安徽合肥六校联盟联考] 设函数f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x)=f(x+4),且当x∈[-2,0]时,f(x)=-1,若在区间[-2,6]内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)恰有三个不同的实数根,则a的取值范围是 (　 )
A.(1,) B.(,2)
C.[,2) D.[,2]
题型2　求不等式的解集
例4 已知f(x)为定义在R上的奇函数,f(1)=f(4)=0,f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,则不等式≤0的解集为(　 )
A.(-∞,-1]∪[0,3]∪[4,+∞)
B.[-4,-1]∪(0,1]∪(3,4]
C.(-∞,-4]∪[-1,1]∪(3,+∞)
D.[-4,-1]∪[0,1]∪(3,4]
题型3　求参数的取值范围
例5 (1)已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-(a+2)f(x)+2a=0有4个互不相同的实数根,则a的取值范围为(　 )
A.(2,3) B.(2,3]
C.(3,+∞) D.[3,+∞)
(2)[2026·辽宁锦州质检] 已知函数f(x)=(x2+ax+b)ln x,若f(x)≥0,则a的最小值为 (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.2
总结反思
当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时,可将不等式问题转化为两个函数图象(图象易得)的上、下位置关系问题,利用图象法求解.若函数为抽象函数,可根据题目画出大致图象,再结合图象求解.
【对点演练3】 (1)[2026·江苏苏州质检] 若定义在R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-1]∪[1,3]
B.[-1,3]
C.(-∞,0]∪(1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
(2)[2025·福建莆田华侨中学期中] 若函数f(x)=的部分图象如图所示,则f(5)= (　 )
A.- B.-
C.- D.-
(3)(多选题)已知函数f(x)=若存在四个实数x1,x2,x3,x4(x1A.t的取值范围为(0,1)
B.x3x4的取值范围为(3,5)
C.x1+x2+x3+x4的取值范围为
D.x1f(x4)的取值范围为

展开更多......

收起↑