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第13讲　函数的零点与方程的解
【课标要求】　
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.
2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义
定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的　　　　　叫作函数y=f(x)的零点.
(2)等价关系
方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)的图象与　　　有交点 函数y=f(x)有　　　　.
(3)函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内　　　　　　　零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.
(4)二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数y= ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 　　 　　 　　 无交点
零点个数 　 　 　
常用结论
1.如果函数f(x)在区间I上是单调的,且在该区间上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在该区间上至多有一个零点.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0(如图所示),所以“f(a)·f(b)<0”是“y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点”的充分不必要条件.
3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,y=f(x)在(a,b)上单调,那么f(x)=0在区间(a,b)上有且仅有一个实数根.
4.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点.
5.函数F(x)=f(x)-g(x)有零点 方程F(x)=0有实数解 函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象有交点.
6.函数F(x)=f(x)-a有零点 方程F(x)=0有实数根 函数y1=f(x)与y2=a的图象有交点 a∈{y|y=f(x)},其中a为常数.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y=2x-1的零点是. (　 )
(2)若函数f(x)在区间(a,b)上满足f(a)·f(b)>0,则函数f(x)在区间(a,b)上一定没有零点. (　 )
(3)函数f(x)=x2+x+1有零点. (　 )
(4)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,若f(-1)·f(3)<0,则方程f(x)=0至少有一个实数解. (　 )
(5)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.(　 )
题组二　教材改编
1.函数y=3x2+x-2的零点为 (　 )
A.1,- B.-1,
C.2,- D.-2,
2.用二分法求函数f(x)=x3+5的零点可以取的初始区间是 (　 )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
3.若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则实数m的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-18) B.(5,+∞)
C.(5,18) D.(-18,-5)
　判断函数零点所在的区间
例1 [2025·天津卷] 函数f(x)=0.3x-的零点所在区间可以是 (　 )
A.(0,0.3) B.(0.3,0.5)
C.(0.5,1) D.(1,2)
总结反思
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
【对点演练1】 [2025·河北沧州二模] 函数f(x)=2x+ln x-1的零点所在的区间为(　 )
A. B.
C. D.
　用二分法求函数零点的近似值
例2 某同学用二分法求函数f(x)=ex+x-5的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示:
f(1)≈-1.282 f(2)≈4.389
f(1.5)≈0.982 f(1.25)≈-0.260
f(1.375)≈0.330 f(1.312 5)≈0.028
则该函数零点的近似值(精确度为0.1)可以是 (　 )
A.1.2 B.1.21
C.1.27 D.1.32
总结反思
用二分法求函数零点近似值的关键:一是用定理,即利用函数零点存在定理,估计零点所在的区间;二是取中点,即利用线段中点的坐标公式,求出所给区间的中点的横坐标,从而求出其对应的函数值,并判断函数值的符号,再利用“异号留,同号去”,缩小零点所在的范围;三是满足精确度,重复第二步,直到满足精确度为止,即可得近似值.
【对点演练2】 [2026·广东汕头模拟] 用二分法求函数f(x)=ln x+2x-6在(2,3)内零点的近似值,若精确度要求为0.1,则需重复相同步骤的次数至少为 (　 )
A.3 B.4 C.5 D.6
　判断函数零点的个数
例3 [2026·安徽合肥联考] 函数f(x)=(a+1)x-ax+x(a>1)的零点的个数为 (　 )
A.1
B.2
C.3
D.无法确定,与a的取值有关
总结反思
函数零点个数的判断方法
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出方程的解,那么方程有几个解,函数就有几个零点.
(2)函数零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)把原函数的解析式转化为两个函数解析式的差,画出两个函数的图象,两个函数图象的交点个数即为原函数的零点个数.
【对点演练3】 (1)函数f(x)=sin在上的零点个数为 (　 )
A.3 B.4
C.6 D.8
(2)[2026·江苏苏北七市调研] 已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),且f(x)=则方程3f(x)=x的实数解的个数为　　　　　　.
　函数零点的应用
题型1　根据函数零点个数求参数
例4 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+a恰有2个零点,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,0) B.[-1,0)
C.(0,4) D.(4,+∞)
题型2　根据函数零点范围求参数
例5 (1)[2025·陕西西安六模] 若函数f(x)=lg x+t在(1,10)上有零点,则t的取值范围为 (　 )
A.(-10,0) B.
C.(0,1) D.(-1,0)
(2)[2025·湖南名校联考] 已知函数f(x)=x2-kx+2在区间(1,3)上有零点,则k的取值范围是 (　 )
A. B.(2,3)
C.[2,3] D.
总结反思
根据函数零点情况求参数值(或范围)的三种常用方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的方程(或不等式),再通过解方程(或不等式)确定参数的值(或范围).
(2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值(或值域)问题加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,最后数形结合求解.
【对点演练4】 (1)函数f(x)=kx-4+xlog2x在区间[1,4)内有零点,则实数k的取值范围为 (　 )
A.[-4,1) B.(-4,1]
C.[-1,4) D.(-1,4]
(2)(多选题)已知函数f(x)=x2-2|x|(xA.-1 B.1
C.2 D.3
(3)[2026·辽宁名校联盟联考] 已知函数f(x)=x2+2mx+2m+3至少有一个零点在区间(0,2)内,则实数m的取值范围是　　　　.
　复合函数的零点问题
例6 (1)[2025·江西新九校协作体联考] 已知函数f(x)=则函数g(x)=f[f(x)-1]-2的零点个数为 (　 )
A.5 B.6
C.7 D.8
(2)[2026·河北沧州期末] 已知函数f(x)=若关于x的方程a[f(x)]2-(2a+1)f(x)+2=0有7个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(0,1) B.(0,1]
C.[0,1) D.[1,+∞)
总结反思
对于复合函数y=f[g(x)]的零点个数问题,求解思路如下:
(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u);
(2)确定外层函数y=f(u)的零点u=ui(i=1,2,3,…,n);
(3)确定直线u=ui(i=1,2,3,…,n)与内层函数u=g(x)图象的交点个数,分别记为a1,a2,a3,…,an,则函数y=f[g(x)]的零点个数为a1+a2+a3+…+an.
【对点演练5】 (1)[2025·湖北十堰模拟] 已知函数f(x)=则关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的根的个数为 (　 )
A.7 B.8
C.9 D.10
(2)已知函数f(x)=若函数y=f[f(x)]有8个零点,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(1,+∞) B.(-∞,0)
C.(-1,0) D.(-∞,-1)第13讲　函数的零点与方程的解
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)实数x　(2)x轴　零点
(3)f(a)f(b)<0　至少有一个
f(c)=0　(4)f(a)f(b)<0　一分为二　零点
2.(x1,0),(x2,0)　(x1,0)　2　1　0
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
(5)√　[解析] (1)函数y=2x-1的零点是,故错误.
(2)如函数f(x)=x2在区间(-1,1)上有f(-1)f(1)=1×1=1>0,但是函数f(x)在区间(-1,1)上有零点0,故错误.
(3)因为方程x2+x+1=0的判别式Δ=1-4=-3<0,所以函数f(x)没有零点,故错误.
(4)由函数零点存在定理可知正确.
(5)由二分法的定义可知正确.
题组二
1.B　[解析] 令y=0,得3x2+x-2=(3x-2)(x+1)=0,解得x1=,x2=-1,所以函数y=3x2+x-2的零点为-1和.故选B.
2.A　[解析] 因为f(-2)=-3<0,f(-1)=4>0,且f(x)在定义域R上单调递增,所以可以取的初始区间是(-2,-1).故选A.
3.D　[解析] 显然函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,由函数零点存在定理可知,若函数f(x)=log2x+x2+m在区间(2,4)上存在零点,则只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得-18● 课堂考点探究
探究点一
例1　B　[解析] 由指数函数、幂函数的单调性可知,y=0.3x在R上单调递减,y=在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)=0.3x-在[0,+∞)上单调递减.因为f(0)=1>0,f(0.3)=0.30.3-0.30.5>0,f(0.5)=0.30.5-0.50.5<0,f(1)=0.3-1=-0.7<0,f(2)=0.32-<0,所以根据零点存在定理可知f(x)的零点所在区间可以是(0.3,0.5).故选B.
对点演练1　B　[解析] 因为y=2x与y=ln x-1均在定义域上单调递增,所以f(x)=2x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增.因为f=+ln-1=-1-ln 2<0,f(1)=2+ln 1-1=1>0,所以函数f(x)的零点所在的区间为.故选B.
探究点二
例2　C　[解析] f(1.25)≈-0.260<0,f(1.312 5)≈0.028>0,由零点存在定理得,区间(1.25,1.312 5)内存在零点,该区间长度为0.062 5,小于0.1,由于1.27∈(1.25,1.312 5),故该函数零点的近似值(精确度为0.1)可以是1.27,故选C.
对点演练2　B　[解析] 原始区间长度为3-2=1,第一次,区间长度减半,为0.50>0.1,第二次,区间长度减半,为0.25>0.1,第三次,区间长度减半,为0.125>0.1,第四次,区间长度减半,为0.062 5<0.1,故至少需要重复4次相同步骤.故选B.
探究点三
例3　A　[解析] 因为a>1,所以由指数函数的图象与性质知,当x>0时,(a+1)x-ax>0,则f(x)>0,当x<0时,(a+1)x-ax<0,则f(x)<0,又当x=0时,f(x)=0,所以函数f(x)只有1个零点,故选A.
对点演练3　(1)C　(2)5　[解析] (1)令t=x+,根据“对勾函数”的性质可知,函数t=x+在上单调递减,在[1,10)上单调递增,且当x∈时,t∈,由y=sin t=0,可得t=kπ,k∈Z.只有当k=1,2,3时,t的值分别对应π,2π,3π∈.又因为x+=π,2π,3π在上各有2个解,所以f(x)在上有6个零点.故选C.
(2)由函数f(x)满足f(x+2)=f(x-2),可得f(x+4)=f(x),所以f(x)的一个周期为4,又f(x)=所以f(8)=f(0)=2cos 0=2,函数y=f(x)的图象如图所示,
方程3f(x)=x的实数解的个数即为y=f(x)的图象与直线y=x的交点个数,由图可知两图象交点的个数为5,即方程3f(x)=x的实数解的个数为5.
探究点四
例4　B　[解析] 易知当x≤0时,函数y=ex单调递增,且y=ex∈(0,1].当a<0时,易知函数y=x+在(0,+∞)上单调递增,当x→0时,y→-∞,当x→+∞时,y→+∞,f(x)的大致图象如图所示.
若函数g(x)=f(x)+a恰有2个零点,则函数f(x)的图象与直线y=-a有2个交点,由图可知a∈[-1,0);当a=0时,函数y=x+=x,显然函数f(x)的图象与直线y=0没有交点,不符合题意;当a>0时,根据对勾函数的性质可知y=x+≥2,当且仅当x=时等号成立,显然函数f(x)的图象与直线y=-a没有交点,不符合题意.综上可知,实数a的取值范围是[-1,0).故选B.
例5　(1)D　(2)D　[解析] (1)易知f(x)在(1,10)上单调递增,若函数f(x)在(1,10)上有零点,则f(1)f(10)<0,即t(1+t)<0,解得-1(2)函数f(x)=x2-kx+2在区间(1,3)上有零点,则方程k=x+在区间(1,3)上有解.因为函数g(x)=x+在区间(1,)上单调递减,在[,3)上单调递增,g()=2,g(1)=3,g(3)=,所以g(x)∈,故k的取值范围是.故选D.
对点演练4　(1)D　(2)BCD　(3)　[解析] (1)当x∈[1,4]时,由f(x)=kx-4+xlog2x=0可得k+log2x-=0,令g(x)=k+log2x-,因为y=log2x,y=k-在[1,4)上均单调递增,所以g(x)=k+log2x-在[1,4)上单调递增,因为f(x)在区间[1,4)内有零点,所以函数g(x)在区间[1,4)内有零点,所以解得-1(2)由题可得
F(x)=f(x)-x=其图象如图所示,
函数F(x)在R上共有3个零点,即方程F(x)=0在R上有3个根,x1=-1,x2=0,x3=3.又因为函数F(x)=f(x)-x在(-∞,a)上存在两个零点,所以a∈(0,3].故选BCD.
(3)对于函数f(x)=x2+2mx+2m+3,Δ=4m2-4(2m+3)=4(m2-2m-3)=4(m+1)(m-3).当Δ<0,即-10,即m<-1或m>3时,f(x)有两个不相等的零点x1,x2,若至少有一个零点在区间(0,2)内,则需f(0)f(2)=(2m+3)(6m+7)<0或解得-探究点五
例6　(1)A　(2)D　[解析] (1)函数g(x)=f[f(x)-1]-2的零点个数即为方程f[f(x)-1]=2的解的个数.作出函数y=f(x)的大致图象,如图所示.
令t=f(x)-1,则f(t)=2,解得t1=-2,t2=0,t3=log35.当t1=-2时,f(x)-1=-2,则f(x)=-1,此时方程无解;当t2=0时,f(x)-1=0,则f(x)=1,此时方程有3个不同的解;当t3=log35时,f(x)-1=log35,则f(x)=1+log35,此时方程有2个不同的解.综上可知,函数g(x)=f[f(x)-1]-2的零点个数为5.故选A.
(2)易知a≠0.由a[f(x)]2-(2a+1)f(x)+2=0可得[af(x)-1][f(x)-2]=0,故f(x)=2或f(x)=,画出函数y=f(x)的图象,如图所示,
y=f(x)的图象与直线y=2有3个交点,若关于x的方程a[f(x)]2-(2a+1)f(x)+2=0有7个不相等的实数根,则直线y=与y=f(x)的图象有4个交点,所以0<≤1,即a≥1,故实数a的取值范围是[1,+∞).故选D.
对点演练5　(1)D　(2)D　[解析] (1)由[f(x)]2-3f(x)+2=0得[f(x)-1][f(x)-2]=0,解得f(x)=1或f(x)=2.画出f(x)的大致图象如图所示,由图可知,函数f(x)的图象与直线y=1有5个交点,与直线y=2有5个交点,故关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的根的个数为10.故选D.
(2)当a≥0,x≤0时,f(x)=-x2+2ax的图象的对称轴为直线x=a≥0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,则函数f(x)的大致图象如图①所示.
令f(x)=t,则y=f[f(x)]=f(t)=0,解得t=0或t=1,即f(x)=0或f(x)=1,由图可知f(x)=0有2个解,f(x)=1有1个解,所以此时y=f[f(x)]有3个零点,不符合题意;当a<0,x≤0时,f(x)=-x2+2ax的图象的对称轴为直线x=a<0,所以f(x)在(-∞,a)上单调递增,在(a,0)上单调递减,则函数f(x)的大致图象如图②所示.
令f(x)=m,则y=f[f(x)]=f(m)=0,解得m=2a或m=0或m=1,由图可知f(x)=2a<0有2个解,f(x)=0有3个解,又y=f[f(x)]有8个零点,所以f(x)=1有3个解,则
解得a<-1,故实数a的取值范围为(-∞,-1).故选D.

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