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第14讲　函数模型及其应用
【课标要求】　
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
1.三种函数模型的性质的比较
函数性质 y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn (n>0)
在(0,+∞) 上的单调性 单调 　　　 单调 　　　 单调 　　　
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数 模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数 模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
反比例函数 模型 f(x)=+b(k,b为常数且k≠0)
指数函数 模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
对数函数 模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠0)
常用结论
1.函数f(x)=+(a>0,b>0,x>0)在区间(0,]上单调递减,在区间[,+∞)上单调递增.
2.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量越来越大,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长量越来越小.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)解决某一实际问题的函数模型是唯一的.(　 )
(2)对于一个实际问题,收集到的数据越多,建立的函数模型的模拟效果越好. (　 )
(3)函数y=x2比y=2x增长的速度更快些. (　 )
(4)函数y=lox的衰减速度越来越慢.(　 )
题组二　教材改编
1.有一组实验数据如表所示,则体现这组数据的最佳函数模型是 (　 )
x 2 3 4 5 6
y 1.33 2.67 5.33 10.67 21.33
A.y= B.y=·2x
C.y=log2x D.y=2x-3
2.某商品在最近30天内的单价f(t)(单位:元)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)=t+10(03.某商场国庆假期期间搞促销活动,规定:顾客购物总金额不超过800元时,不享受任何折扣;如果顾客购物总金额超过800元,那么超过800元的部分享受一定的折扣优惠,按下表折扣分别累计计算.
可以享受折扣优惠金额 折扣率
不超过500元的部分 5%
超过500元的部分 10%
设某人在此商场的购物总金额为x元,可以获得的折扣金额为y元,则y关于x的函数解析式为y=若此人可以获得的折扣金额为30元,则此人购物实际所付的金额为　　　　元.
　用函数图象刻画实际问题的变化过程
例1 (1)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示,假设某商人持有资金6万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是(　 )
A.4万元 B.4.5万元
C.5万元 D.6万元
(2)(多选题)[2025·广东普宁调研] 某数学小组在进行“探究茶水温度与时间的关系”的活动时,根据所收集的数据,得到时间x(单位:min与水温y(单位:℃)的散点图(如图),则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是(　 )
A.y=logax(a>1)
B.y=kax+b(k>0,0C.y=kx+b(k>0)
D.y=+b(k>0)
总结反思
判断函数图象是否与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时,先构建函数模型,再结合模型选图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择出符合实际情况的答案.
【对点演练1】 (1)[2026·浙江杭州十四中模拟] 已知边长为1的正方形ABCD,E为CD边的中点,动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动,设点P经过的路程为x,△APE的面积为y,则y关于x的函数的图象大致为 (　 )
A　　　B
C　　　D
(2)(多选题)[2026·江苏南京二十九中期中] 某药物在人体内的血药浓度与时间有关,血药浓度C(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的变化规律可近似表述为C(t)=C0e-kt,其中C0为初始血药浓度,k为代谢速率常数,C(t)的图象如图所示,则 (　 )
A.k=ln 2
B.每小时血药浓度降低的数值相等
C.服药后6小时,血药浓度降至初始值的
D.服药后,人体内的血药浓度随着时间的增加而降低
　已知函数模型解决实际问题
例2 (1)[2025·北京卷] 在一定条件下,某人工智能语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数,在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时,则当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时) (　 )
A.2 B.4
C.20 D.40
(2)[2025·湖北荆门质检] 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放,已知在过滤过程中,废气中的污染物P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)之间的函数关系式为P(t)=P0e-kt(e为自然对数的底数,P0为污染物的初始含量),过滤2 h后检测,发现污染物的含量为原来的,要使污染物的含量不超过初始值的,则至少需要过滤(参考数据:lg 2≈0.3) (　 )
A.10 h B.20 h
C.30 h D.40 h
总结反思
已知函数模型解决实际问题的一般步骤:(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数;(2)根据已知条件利用待定系数法确定模型中的待定系数;(3)利用该模型求解实际问题.
【对点演练2】 (1)沙漏也叫作沙钟,是一种测量时间的装置.现有一个沙漏上方装有a cm3的细沙,细沙从中间小孔由上方慢慢漏下,经过t分钟时剩余的细沙量为y cm3,且y=a·e-bt(b为常数),经过16分钟时,上方还剩下一半细沙,要使上方细沙是开始时的,需经过的时间为 (　 )
A.24分钟 B.28分钟
C.32分钟 D.36分钟
(2)[2026·广东汕头质检] 音量大小用声强级η(单位:dB)表示,声强级η与声强I(单位:W/m2)的关系是η=10lg,其中I0指的是人能听到的最低声强.人能承受的最大声强为1 W/m2,对应的声强级为120 dB.若学生早读期间读书的声音的声强级范围为[70,80](单位:dB),则下列选项中说法错误的是 (　 )
A.I0=10-12(单位:W/m2)
B.学生早读期间读书的声强范围为[10-5,10-4](单位:W/m2)
C.如果声强变为原来的2倍,则对应声强级也变为原来的2倍
D.如果声强级增加10 dB,则声强变为原来的10倍
　构建函数模型解决实际问题
例3 (1)[2026·广东佛山调研] 某工厂近两年投产高新电子产品,第一个月产量为1000台,合格品率为80%,以后每月的产量在前一个月的基础上提高20%,合格品率比前一个月增加1%.已知第n个月(n∈N*,且n≤12)生产的合格品数量首次突破5000台,则n的值为(参考数据:1.28≈4.3) (　 )
A.8 B.9 C.10 D.11
(2)[2026·河南商丘联考] 某超市开展优惠促销活动,下表是购买苹果的促销方案:
购买苹果的质量 苹果单价
不超过4千克的部分 8元
超过4千克但不超过8千克的部分 7元
超过8千克的部分 6元
已知甲、乙顾客分别从这家超市购买了3千克、6千克苹果,若甲、乙两人合在一起购买9千克苹果,则可以节省　　　　元.
总结反思
构建函数模型解决实际问题的时候,首先应选取合适的函数模型,然后进行逻辑推理或运算,最后返回到实际问题中去,结合实际得到问题的解.
【对点演练3】 (1)某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案:当销售利润不超过8万元时,按销售利润的15%进行奖励;当销售利润超过8万元时,若超出的部分为A万元,则超出的部分按log5(2A+1)进行奖励.记奖金为y(单位:万元),销售利润为x(单位:万元).如果业务员小江获得3.2万元的奖金,那么他的销售利润是 (　 )
A.15万元 B.25万元
C.30万元 D.20万元
(2)(多选题)在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量v(单位:cm3/s)与管道的半径r(单位:cm)的四次方成正比,当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1250 cm3/s,则 (　 )
A.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为162 cm3/s
B.当气体在半径为3 cm的管道中时,流量为152 cm3/s
C.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为4 cm
D.要使得气体流量不小于512 cm3/s,管道的半径的最小值为3 cm第14讲　函数模型及其应用
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.递增　递增　递增
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
[解析] (1)对于一个实际问题,可以选择不同的函数模型,只是模拟效果有区别,故错误.
(2)数据越多,模拟效果越好,故正确.
(3)根据幂函数、指数函数的性质知错误.
(4)由对数函数的图象与性质知正确.
题组二
1.B　[解析] 令y=f(x),则f(3)-f(2)=1.16,f(4)-f(3)=2.75,f(5)-f(4)=5.69,f(6)-f(5)=10.3,通过所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长的速度越来越快,A,C选项中的函数增长的速度越来越慢,D选项中函数增长的速度不变,B选项中函数增长的速度越来越快,所以B符合题意.故选B.
2.506　[解析] 设日销售金额为y元,则y=(-t+35)(t+10)=-+350+,又03.1320　[解析] 若x=1300,则y=5%×(1300-800)=25<30,所以x>1300.由10%(x-1300)+25=30,得x=1350,故此人购物实际所付的金额为1350-30=1320(元).
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)AC　[解析] (1)当甲6元时,该商人全部买入甲商品,可以买6÷6=1(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利1×2=2(万元);当乙4元时,该商人买入乙商品,可以买(6+2)÷4=2(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利2×2=4(万元),共获利2+4=6(万元).故选D.
(2)y=logax(a>1),y=kx+b(k>0)为增函数,故A,C不可能作为该散点图对应的函数模型;y=kax+b(k>0,00)为减函数,故B,D可能作为该散点图对应的函数模型.故选AC.
对点演练1　(1)A　(2)ACD
[解析] (1)当动点P在正方形ABCD边上沿A→B运动时,△APE的面积为y=x×1=x,0(2)将代入C(t)=C0e-kt中得,C0e-2k=,得k=ln 2,故A正确;因为C(t)=C0e-kt=C0e-tln 2=C02-t,所以当Δt=1时,ΔC=C(t+Δt)-C(t)=C(t+1)-C(t)=C02-t-1-C02-t=-C02-t-1,不是定值,故B错误;因为C(6)=C02-6,所以=2-6=,故C正确;由题图可知,服药后人体内的血药浓度随着时间的增加而降低,故D正确.故选ACD.
探究点二
例2　(1)B　(2)B　[解析] (1)设当N取106,1.024×109,4.096×109时训练时间分别为T1,T2,T3.由题意得,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210).因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.故选B.
(2)过滤2 h后检测,发现污染物的含量为原来的,则P0=P0e-2k,则e-k=,可得k=ln,所以P(t)=P0,由P(t)=P0≤P0,得≤10-2, 两边取以10为底的对数,可得t(lg 8-lg 10)≤-2,整理得t(1-3lg 2)≥2,故0.1×t≥2,解得t≥20,因此至少需要过滤20 h,故选B.
对点演练2　(1)C　(2)C　[解析] (1)依题意得ae-16b=a,即e-16b=,两边取对数得-16b=ln=-ln 2,所以b=,则y=a,当上方细沙是开始时的时,a=a,所以=,两边取对数得-t=ln=-2ln 2,所以t=32,即要使上方细沙是开始时的,需经过的时间为32分钟.故选C.
(2)由题知10lg=120,可得I0=10-12,A中说法正确;η=10lg(1012I)=120+10lg I,若η∈[70,80],则70≤120+10lg I≤80,所以10-5≤I≤10-4,B中说法正确;若I1=2I2,则==1+,C中说法错误;若η1=10+η2,则120+10lg I1=130+10lg I2,可得lg=1,则=10,D中说法正确.故选C.
探究点三
例3　(1)D　(2)4　[解析] (1)由题可得第n个月生产合格品的数量为1000(1+20%)n-1(80+n-1)%.由题可得1000(1+20%)n-1(80+n-1)%>5000,则1.2n-1(n+79)>500,所以1.2n(n+79)>600.当n=8时,1.2n(n+79)=1.28×87≈4.3×87=374.1<600,不满足题意;当n=9时,1.2n(n+79)=1.28×88×1.2≈4.3×88×1.2=454.08<600,不满足题意;当n=10时,1.2n(n+79)=1.28×89×1.22≈4.3×89×1.44=551.088<600,不满足题意;当n=11时,(1.2)n(n+79)=1.28×90×1.22×1.2≈4.3×90×1.44×1.2=668.736>600,满足题意.
故第11个月生产的合格品数量首次突破5000台.故选D.
(2)设购买x千克苹果,消费金额为f(x)元,
则f(x)=
甲购买3千克苹果消费金额为f(3)=3×8=24(元),
乙购买6千克苹果消费金额为f(6)=7×6+4=46(元),
甲、乙两人合在一起购买9千克苹果消费金额为f(9)=9×6+12=66(元),
则可以节省(24+46)-66=4(元).
对点演练3　(1)D　(2)AC　[解析] (1)由题意知,当0≤x≤8时,y=0.15x;当x>8时,y=8×0.15+log5[2(x-8)+1]=1.2+log5(2x-15),所以y=当0≤x≤8时,ymax=0.15×8=1.2<3.2,故小江的销售利润x>8,所以1.2+log5(2x-15)=3.2,解得x=20,所以小江的销售利润是20万元.故选D.
(2)依题意可设v=kr4,k>0.当气体在半径为5 cm的管道中时,流量为1250 cm3/s,所以1250=k×54,解得k=2,则v=2r4.当r=3时,v=162,故A正确,B错误.由2r4≥512,解得r≥4,故C正确,D错误.故选AC.

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