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第16讲　导数与函数的单调性
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
递增　递减　≥0　≤0
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[解析] (1)若f(x)在(a,b)上单调递增,则一定有f'(x)≥0在(a,b)上恒成立,故错误.
(2)若f(x)=-,则f'(x)=>0,但f(x)=-在其定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不具有单调性,故错误.
(3)因为y'=3x2+1>0,所以函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞,+∞),故正确.
(4)因为f'(x)=1-cos x≥0,所以函数f(x)=x-sin x在R上是增函数,故正确.
题组二
1.B　[解析] 由题得f(x)的定义域为(0,+∞).由f(x)=x+ln x,得f'(x)=1+>0,所以f(x)的单调递增区间为(0,+∞).故选B.
2.D　[解析] 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=x-.令f'(x)<0,解得03.C　[解析] f'(x)=ax2+2x+1,若f(x)在R上单调递增,则f'(x)≥0恒成立,则即a≥1,故“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件.故选C.
4.BCD　[解析] 由题图知,当-20,当24时,f'(x)>0,所以f(x)在(-2,-1)上单调递减,在(-1,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增.故选BCD.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)A　[解析] (1)f(x)=的定义域为R,f'(x)=,由f'(x)>0可得2x-x2>0,即x2-2x<0,解得0(2)因为f(x)=xln(2x)(x>0),所以f'(x)=ln(2x)+1(x>0),由f'(x)<0,得0对点演练1　(1)C　(2)C　[解析] (1)对于A,f(x)=的定义域为(-∞,2)∪(2,+∞),f(x)在[1,2)上单调递增,在(2,4]上单调递增,故A错误.对于B,由f(x)=,得f'(x)=,当x∈[1,4]时,f'(x)≤0,所以f(x)在[1,4]上单调递减,故B错误.对于C,由f(x)=xln x,得f'(x)=ln x+1,当x∈[1,4]时,f'(x)>0,所以f(x)在[1,4]上单调递增,故C正确.对于D,由f(x)=x-ln x2,得f'(x)=1-=,则f(x)在[1,2)上单调递减,在(2,4]上单调递增,故D错误.故选C.
(2)函数f(x)的定义域为{x|x≠3},f'(x)=,令f'(x)=<0,得x<4且x≠3,故函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,3)和(3,4).故选C.
探究点二
例2　(1)D　[解析] 若对任意的1-3成立,则g(x1)-g(x2)<-3(x1-x2),则g(x1)+3x1令f(x)=g(x)+3x,则f(x)在(1,2)上单调递增,当a=0时,f(x)=3x+2,此时f(x)在(1,2)上单调递增;当a>0时,f(x)在上单调递增,所以-≤1,解得a>0;
当a<0时,f(x)在上单调递增,所以-≥2,解得-≤a<0.综上所述,实数a的取值范围是.故选D.
(2)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1-ln x+ln a=ln,令f'(x)=0,得x=ae.当x∈(0,ae)时,f'(x)>0,f(x)在(0,ae)上单调递增;当x∈(ae,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(ae,+∞)上单调递减.
对点演练2　解:函数f(x)=aex-2x-1的定义域为R,f'(x)=aex-2.
当a≤0时,f'(x)<0恒成立,函数f(x)在R上单调递减;当a>0时,由f'(x)<0,得x0,得x>ln,所以函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.
综上,当a≤0时,函数f(x)在R上单调递减;当a>0时,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.
探究点三
例3　(1)A　(2)D　[解析] (1)函数f(x)=2x+sin x的定义域为R,因为f'(x)=2+cos x>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,若f(ln a)(2)函数f(x)=的定义域为(0,+∞),f'(x)==.由f'(x)>0,得0e,所以f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.又f(1)=0,当x>e时,f(x)>0,所以函数f(x)的大致图象如图①所示(x,y轴不对应成比例).
当x,y,z∈(0,e)时,因为f(x)单调递增,所以由f(x)>f(y)>f(z),得x>y>z,故A可能成立.当x,y,z∈(e,+∞)时,因为f(x)单调递减,所以由f(x)>f(y)>f(z),得xx>e>1>z时,f(x)>f(y)>f(z),故C可能成立;
当y>z>x时,若0f(y),不符合题意;若ef(z)>f(y),不符合题意.所以当y>z>x时,f(x)>f(y)>f(z)不可能成立.故选D.
对点演练3　(1)A　(2)c0,即f(x)在R上单调递增.∵-2<=ln(2)因为a==,b==,c==,所以令g(x)=,x>0,则a=g(e),b=g(8),c=g(9),g'(x)=,令g'(x)=0,得x=,当x∈(,+∞)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(,+∞)上单调递减,因为g(8)>g(9),即c探究点四
例4　(1)B　(2)D　[解析] (1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=+2x-a,因为函数f(x)=ln x+x2-ax在其定义域内单调递增,所以+2x-a≥0在(0,+∞)上恒成立,即+2x≥a在(0,+∞)上恒成立,因为+2x≥2=2,当且仅当x=时,等号成立,所以=2,所以a≤2,即实数a的取值范围是(-∞,2].故选B.
(2)函数f(x)=x2-mx图象的对称轴为直线x=,若f(x)在(-1,2)上不单调,则-1<<2,解得-2对点演练4　(1)D　(2)D　[解析] (1)由题意得f'(x)=cos x-sin x+a≤0在R上恒成立,则a≤sin x-cos x在R上恒成立.因为sin x-cos x=sin∈[-,],所以a≤-,故实数a的取值范围是(-∞,-].故选D.
(2)因为函数h(x)=ln x-ax2-2x在[1,4]上存在单调递增区间,所以存在x∈[1,4],使h'(x)=-ax-2>0成立,即存在x∈[1,4],使a<-成立.令G(x)=-,x∈[1,4],变形得G(x)=-1,因为x∈[1,4],所以∈,所以当=,即x=4时,G(x)取得最大值-,所以a<-,故选D.第16讲　导数与函数的单调性
【课标要求】　
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性,对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
函数的单调性与导数
导数到 单调性 单调 递增 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调　　　
单调 递减 在某个区间(a,b)内,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调　　　
单调性 到导数 单调 递增 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增,则在区间(a,b)内,f'(x)　　　
单调 递减 若函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减,则在区间(a,b)内,f'(x)　　　
常用结论
1.在某区间上f'(x)>0(f'(x)<0)是函数f(x)在此区间上单调递增(减)的充分不必要条件.
2.可导函数f(x)在(a,b)上单调递增(减)的充要条件是 x∈(a,b),f'(x)≥0(f'(x)≤0)且f'(x)在(a,b)的任何子区间上都不恒为零.
求函数的单调区间时,需注意:(1)在函数定义域内讨论导数的符号;(2)两个或多个单调递增(减)区间之间的连接符号,不用“∪”,可用“,”或用“和”.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在(a,b)上单调递增,那么一定有f'(x)>0在(a,b)上恒成立. (　 )
(2)若函数f(x)的导函数f'(x)在定义域上满足f'(x)>0,则f(x)在定义域上一定单调递增. (　 )
(3)函数y=x3+x的单调递增区间为(-∞,+∞). (　 )
(4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数. (　 )
题组二　教材改编
1.已知函数f(x)=x+ln x,则y=f(x)的单调递增区间为 (　 )
A.(-∞,-1)　　　　 B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(0,1)
2.函数y=x2-ln x的单调递减区间为(　 )
A.(-1,1] B.[-1,1]
C.[1,+∞) D.(0,1]
3.已知函数f(x)=ax3+x2+x+4,则“a≥0”是“f(x)在R上单调递增”的 (　 )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)如图是函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象,则 (　 )
A.f(x)在(-2,1)上单调递增
B.f(x)在(-2,-1)上单调递减
C.f(x)在(-1,2)上单调递增
D.f(x)在(2,4)上单调递减
　不含参数的函数的单调性
例1 (1)函数f(x)=的单调递增区间是(　 )
A.(0,2)
B.(-∞,0),(2,+∞)
C.(-∞,-2),(0,+∞)
D.(-2,0)
(2)[2026·福建厦门泉州五校联考] 函数f(x)=xln(2x)的单调递减区间为 (　 )
A. B.
C. D.
总结反思
确定不含参数的函数f(x)的单调性时可直接对函数f(x)进行求导,并求解f'(x)=0,再分别得到f'(x)>0和f'(x)<0时自变量的取值范围,最终确定单调区间.
【对点演练1】 (1)下列函数在区间[1,4]上单调递增的是 (　 )
A.f(x)= B.f(x)=
C.f(x)=xln x D.f(x)=x-ln x2
(2)函数f(x)=的单调递减区间为 (　 )
A.(-∞,3) B.(-∞,4)
C.(-∞,3)和(3,4) D.(-∞,3)和(3,5)
　含参数的函数的单调性
例2 (1)[2025·四川南充模拟] 已知g(x)是定义域为R的函数,g(x)=ax2+2,若对任意的1-3成立,则实数a的取值范围是 (　 )
A.[0,+∞) B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=2x-xln x+xln a-ea(a>0),讨论f(x)的单调性.



总结反思
解决含参数的函数的单调性问题应注意两点:
(1)研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论;
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点.
【对点演练2】 [2025·福建三明联考] 已知函数f(x)=aex-2x-1,a∈R,讨论f(x)的单调性.


　利用导数比较大小、求解不等式
例3 (1)[2026·广东揭阳多校联考] 已知函数f(x)=2x+sin x,若f(ln a)A.(0,e2) B.(0,e)
C.(e2,+∞) D.(2,+∞)
(2)[2025·江苏南京模拟] 已知f(x)=,若f(x)>f(y)>f(z),则x,y,z的大小关系不可能是 (　 )
A.x>y>z B.xC.y>x>z D.y>z>x
总结反思
(1)比较函数值的大小时,若自变量不在同一个单调区间内,则要利用函数的性质,将其转化到同一个单调区间内,再进行比较.
(2)利用单调性比较大小或解不等式,关键是根据题意构造辅助函数,利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式.
(3)求解与抽象函数有关的不等式,要充分挖掘条件关系,恰当构造函数;题目中存在f(x)与f'(x)的不等关系时,常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数,与题设形成解题链条,利用导数研究新函数的单调性,从而求解不等式.
【对点演练3】 (1)[2026·湖北黄冈模拟] 已知函数f(x)=sin x+ex-e-x,若a=f(-2),b=f,c=f(ln 2),则 (　 )
A.aC.c(2)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为　　　　　　.(用“<”连接)
　根据函数的单调性求参数的值或范围
例4 (1)若函数f(x)=ln x+x2-ax在其定义域内单调递增,则实数a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,1) B.(-∞,2]
C.(-∞,2] D.[1,+∞)
(2)[2025·湖北黄冈模拟] 已知f(x)=x2-mx,g(x)=(x+m)ex,两个函数至少有一个在区间(-1,2)上不单调,则m的取值范围是 (　 )
A.(-2,4) B.(-3,0)
C.(-3,-2) D.(-3,4)
总结反思
(1)由可导函数f(x)在区间D上单调递增(或单调递减)求参数的取值范围问题,可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)对任意x∈D恒成立问题,再参变分离,转化为求最值问题,要注意等号是否取到.
(2)可导函数在某一区间上存在单调区间,实际上就是f'(x)>0(或f'(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题.
(3)已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子区间,从而可求出参数的取值范围.
【对点演练4】 (1)[2026·湖南长沙长郡中学模拟] 已知函数f(x)=sin x+cos x+ax(a∈R)在R上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 )
A.[,+∞) B.(-∞,]
C.[-,+∞) D.(-∞,-]
(2)[2025·福建泉州一中模拟] 若函数h(x)=ln x-ax2-2x在[1,4]上存在单调递增区间,则实数a的取值范围为 (　 )
A.[-1,+∞) B.(-1,+∞)
C. D.

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