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第17讲　导数与函数的极值、最值
【课标要求】　
1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大(小)值、最大(小)值;对于多项式函数,能求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大(小)值.
3.体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用.
1.函数的极值与导数
(1)函数的极小值:
对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f'(a)=0,而且在点x=a附近的左侧　　　　　,右侧　　　　,则　　　叫作函数y=f(x)的极小值点,　　　　叫作函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值:
对于函数y=f(x),若函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f'(b)=0,而且在点x=b附近的左侧　　　　　,右侧　　　　,则　　　　叫作函数y=f(x)的极大值点,　　　　叫作函数y=f(x)的极大值.
2.函数的最大值与最小值
(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的　　　　;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值　　　　　　比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
3.实际应用题
理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.
4.几个常见函数
解析式 大致图象 单调区间 极值点
y= 单调递增区间 为(-∞,1); 单调递减区间 为(1,+∞) x=1
y= 单调递增区间为(1,+∞); 单调递减区间为(-∞,0), (0,1) x=1
y=xex 单调递增区间 为(-1,+∞); 单调递减区间 为(-∞,-1) x=-1
y= 单调递增区间 为(0,e); 单调递减区间 为(e,+∞) x=e
y= 单调递增区间 为(e,+∞); 单调递减区间 为(0,1),(1,e) x=e
y=xln x 单调递增区间 为; 单调递减区间 为 x=
常用结论
1.对于可导函数f(x),f'(x0)=0是函数f(x)在x=x0处有极值的必要不充分条件.
2.若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点.
3.对于连续的函数y=f(x),在区间[a,b]上,y=f(x)的极值有可能是最值,但最值只要不在区间端点处取得,其必定是极值.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　 )
(2)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为f(x)的极值点. (　 )
(3)函数y=f(x)一定有极大值和极小值.(　 )
(4)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值. (　 )
题组二　教材改编
1.函数f(x)=ln x-的极大值为 (　 )
A.- B.0 C.e D.1
2.若函数f(x)=ax3+3x2+b在x=2处取得极值1,则a-b= (　 )
A.-4 B.-3 C.-2 D.2
3.函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则下列说法正确的是 (　 )
A.f(x)在x=x1处取得最大值
B.f(x)在区间(x1,x2)上单调递减
C.f(x)在x=x2处取得极大值
D.f(x)在区间(a,b)上有2个极大值点
4.函数f(x)=x3-4x+m在[0,3]上的最大值为4,则m的值为 (　 )
A.7 B. C.3 D.4
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　利用导数解决函数的极值问题
题型1　由图象判断函数极值(点)
例1 已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,那么f(x) (　 )
A.有1个极大值和1个极小值
B.有1个极大值,没有极小值
C.有1个极小值,没有极大值
D.没有极大值也没有极小值
题型2　求已知函数的极值(点)
例2 已知函数f(x)=x-acos x+1的图象在点(0,f(0))处的切线方程为x-2y=0.
(1)求实数a的值;
(2)当x∈[0,2π]时,求函数f(x)的极值.
题型3　已知极值(点)求参数
例3 (1)已知函数f(x)=x-aln x-有极值点,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(1,2) B.(2,+∞)
C.(2,+∞) D.(4,+∞)
(2)[2025·全国二卷] 若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点,则f(0)=　　　　.
例4 [2024·新课标Ⅱ卷] 已知函数f(x)=ex-ax-a3.
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围.



总结反思
1.由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:
(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数 y=f(x)的可能极值点;
(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
2.运用导数求函数f(x)极值(极值点个数)的一般步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求导函数f'(x);
(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;
(4)检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧值的符号;
(5)求出极值(极值点个数).
3.根据函数极值情况求参数的两个要领:
(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)验证:求解后验证根的合理性.
【对点演练1】 (1)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(　 )
A.f(x)有极大值f(-2)
B.f(x)有极小值f(-2)
C.f(x)有极大值f(1)
D.f(x)有极小值f(1)
(2)[2025·山东潍坊调研] 已知函数f(x)=x3+ax2+bx在x=1处取得极值-4,则a-b= (　 )
A.-9 B.-5 C.5 D.9
(3)已知函数f(x)=e2x+ex-ax.
①当a=2时,求f(x)的单调区间;
②讨论f(x)极值点的个数.


　利用导数求解函数的最值问题
例5 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)若a=1,求函数f(x)的单调区间和最值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.


总结反思
求函数最值的步骤:
(1)求函数f(x)的导函数f'(x);
(2)求f(x)在给定区间上的单调性和极值;
(3)求f(x)在给定区间上的端点值;
(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较,确定f(x)的最大值与最小值.
【对点演练2】 [2026·山东青岛期中] 已知函数f(x)=x3-6ax2+1.
(1)若a=1,求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[-1,0]上的最大值.


第17讲　导数与函数的极值、最值
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)f'(x)<0　f'(x)>0　a　f(a)
(2)f'(x)>0　f'(x)<0　b　f(b)
2.(2)①极值　②f(a),f(b)
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0,故错误.
(2)若f(x)=x3,则f'(x)=3x2,则f'(0)=0,但0不是f(x)=x3的极值点,故错误.
(3)f(x)=,x∈(0,+∞)不存在极大值和极小值,故错误.
(4)由极值与最值的定义可知正确.
题组二
1.D　[解析] 由题可得f'(x)=-,令f'(x)>0,得0e2,所以当x=e2时,函数f(x)取得极大值f(e2)=ln e2-=1.故选D.
2.D　[解析] 因为f(x)=ax3+3x2+b,所以f'(x)=3ax2+6x,由题可知解得经检验满足题意,所以a-b=-1-(-3)=2,故选D.
3.C　[解析] 由导函数的图象可知:
x [a,x2) x2 (x2,x3) x3 (x3,b]
f'(x) + 0 - 0 非负
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
易知A,B,D中说法不正确,C中说法正确.故选C.
4.D　[解析] ∵f(x)=x3-4x+m,
∴f'(x)=x2-4,∴当x∈[0,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(2,3]时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∵f(0)=m,f(3)=×33-4×3+m=m-3,m>m-3,∴f(x)在x=0处取得最大值f(0)=m,即m=4,故选D.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　C　[解析] 由导函数f'(x)的图象,设f'(x)的图象与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2(x1x2时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=x2处取得极小值,没有极大值.故选C.
例2　解:(1)由题得f'(x)=+asin x,则f'(0)=,又f(0)=1-a,
所以函数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y-(1-a)=x,即y=x+1-a,所以1-a=0,解得a=1,故实数a的值为1.
(2)由(1)可知f(x)=x-cos x+1,f'(x)=+sin x,当x∈[0,2π]时,令f'(x)=+sin x=0,得x=或x=,
当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如下表:
x
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大值 单调 递减 极小值 单调 递增
所以当x∈[0,2π]时,f(x)的极大值为f=×-cos+1=++1,极小值为f=×-cos+1=-+1.
例3　(1)D　(2)-4　[解析] (1)易知f'(x)=1-+=,因为函数f(x)有极值点,所以g(x)=x2-ax+4在(0,+∞)上存在变号零点,若g(x)的图象的对称轴方程x=≤0,即a≤0,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,则g(x)>g(0)=4,不符合题意;若g(x)的图象的对称轴方程x=>0,即a>0,则g=-+4<0,即a2-16>0,得a>4,则实数a的取值范围为(4,+∞).故选D.
(2)因为f(x)=(x2-3x+2)(x-a)(x∈R),所以f'(x)=(2x-3)(x-a)+(x2-3x+2),由题意知f'(2)=0,即2-a=0,所以a=2,所以f(x)=(x-1)(x-2)2,f'(x)=(2x-3)(x-2)+(x-1)(x-2)=(x-2)(3x-4).
当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x 2 (2, +∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调 递增
故当a=2时,x=2为f(x)的极值点,满足题意,所以f(0)=-4.
例4　解:(1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,所以f(1)=e-2,f'(1)=e-1,所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x-1.
(2)f'(x)=ex-a.
①当a≤0时,f'(x)恒大于0,即f(x)在R上单调递增,f(x)无极小值,舍去.
②当a>0时,f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,所以f(x)在x=ln a处取得极小值,
依题有f(ln a)=a-aln a-a3<0,所以a2+ln a-1>0.令g(x)=x2+ln x-1,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,所以a>1,故a的取值范围是(1,+∞).
对点演练1　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题图知当x<-2时,f'(x)>0;当-21时,f'(x)<0,∴函数f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)有极大值f(-2),无极小值,故选A.
(2)由f(x)=x3+ax2+bx,得f'(x)=3x2+2ax+b,因为f(x)在x=1处取得极值-4,所以解得经检验满足题意,故a-b=9.故选D.
(3)解:①当a=2时,f(x)=e2x+ex-2x,其定义域为R,且f'(x)=2e2x+ex-2,令f'(x)=0,解得ex=或ex=-(舍去),即x=ln,当x>ln时,f'(x)>0;当x所以f(x)的单调递增区间为
,单调递减区间为.
②f(x)的定义域为R,由题意知,f'(x)=2e2x+ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增,即f(x)极值点的个数为0;当a>0时,令f'(x)=0,t=ex>0,可得2t2+t-a=0,易知Δ=1+8a>0,
解得t1=(舍去),t2=,即ex=t2,则x=
ln t2,所以当x>ln t2时,f'(x)>0,即f(x)在(ln t2,+∞)上单调递增,
当x0时,f(x)极值点的个数为1.
探究点二
例5　解:(1)由题意得,f(x)的定义域为(0,+∞),若a=1,则f(x)=ln x-x,f'(x)=-1=.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞),函数f(x)的最大值为f(1)=-1,无最小值.
(2)由题意得,f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-a=.令f'(x)=0,解得x=.
当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,
则f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.
①当≤1,即a≥1时,f(x)在[1,2]上单调递减,则f(x)min=f(2)=ln 2-2a.
②当≥2,即0③当1<<2,即f(1)=-a,f(2)=ln 2-2a,
当-a≤ln 2-2a,即ln 2-2a,即ln 2综上所述,当a∈(0,ln 2]时,f(x)min=-a;当a∈(ln 2,+∞)时,f(x)min=ln 2-2a.
对点演练2　解:(1)当a=1时,f(x)=x3-6x2+1,f'(x)=3x2-12x=3x(x-4),令f'(x)=0,解得x=0或x=4.
当x变化时,f'(x)和f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,0) 0 (0,4) 4 (4,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 单调 递增 极大 值 单调 递减 极小 值 单调 递增
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(4,+∞),单调递减区间为(0,4).
(2)f'(x)=3x2-12ax=3x(x-4a),令f'(x)=0,解得x=0或x=4a.
当a≥0时,若x≤0,则f'(x)≥0,所以f(x)在区间[-1,0]上单调递增,此时f(x)max=f(0)=1;
当-0,所以f(x)在区间(-1,4a)上单调递增,
若4a当a≤-时,若-1≤x≤0,则f'(x)<0,所以f(x)在区间[-1,0]上单调递减,此时f(x)max=f(-1)=-6a.
综上所述,当a≥0时,f(x)max=1;当-

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