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第三单元　导数及其应用
第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)　平均　斜率
(2)x=x0　斜率　y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
2.αxα-1　cos x　-sin x　axln a　　f'(x)±g'(x)　f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)　y'u·u'x
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)由导数的定义可知正确.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,故正确.
(3)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f'(x)=-cos x,故错误.
题组二
1.B　[解析] 因为f(x)=x2-x,所以f(1)=12-1=0,f(3)=32-3=6,故函数f(x)从x=1到x=3的平均变化率为===3.故选B.
2.C　[解析] ===(Δx+2)=2.故选C.
3.B　[解析] 对于A,(3x)'=3x·ln 3,故A错误;对于B,(lg x)'=,故B正确;对于C,(cos x)'=-sin x,故C错误;对于D,(x2cos x)'=2xcos x-x2sin x,故D错误.故选B.
4.B　[解析] 因为y=xln x,所以y'=ln x+1,所以曲线y=xln x在x=1处的切线的斜率k=ln 1+1=1,又当x=1时,y=0,所以切线方程是y=x-1.故选B.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　B　[解析] =1,故3=1,由导数的定义可知,f'(x0)=
=.故选B.
对点演练1　C
[解析] =f'(x0)=2,故选C.
探究点二
例2　(1)D　(2)-　[解析] (1)(cos π)'=0,A错误.(log2x)'=,B错误.(xcos x)'=cos x-xsin x,C错误.()'=2x,D正确.故选D.
(2)由g(x)=f(1-2x),得g'(x)=f'(1-2x)·(1-2x)'=-2f'(1-2x),所以g'(1)=-2f'(-1)=-2×=-.
对点演练2　(1)C　(2)C　[解析] (1)对于A,(cos x)'=-sin x,A错误;对于B,(xex)'=ex(x+1),B错误;对于C,[ln(3x)]'=×3=,C正确;对于D,(3x)'=3x×ln 3,D错误.故选C.
(2)由题得f'(x)=2cos 2x-f'(1),所以f'(1)=2cos 2-f'(1),得f'(1)=cos 2.故选C.
探究点三
例3　(1)D　(2)y=x
[解析] (1)由f(x)=x3-x+1,得f'(x)=3x2-1,则f'(1)=3×12-1=2,所以f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.故选D.
(2)设切点坐标为(x0,x0-ln x0),由题得f'(x)=1-,所以所求切线的斜率k=f'(x0)=1-,又切线过原点,所以1-=,则x0=e,故切点坐标为(e,e-1),切线斜率为1-,所以该切线的方程为y=x.
例4　(1)D　(2)4　[解析] (1)由f(x)=x2+2aln x,得f'(x)=2x+(x>0),不妨设这两条切线的切点坐标分别为(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),则f'(x1)·f'(x2)=-4.若a≥0,则f'(x)>0恒成立,不符合题意,所以a<0,此时y=f'(x)在(0,+∞)上单调递增,依题意需使
解得-3(2)方法一:因为y=ex+x+a,所以y'=ex+1,直线y=2x+5是曲线的切线,其斜率为2,令y'=ex+1=2,则ex=1,解得x=0,将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所以切点坐标为(0,5).因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上,所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4.
方法二:因为y=ex+x+a,所以y'=ex+1,设直线y=2x+5与曲线y=ex+x+a的切点坐标为(x0,y0),则解得a=4.
例5　(1)D　(2)B　[解析] (1)设l与曲线y=ex+1相切于点(x1,+1),与曲线y=ex+1相切于点(x2,),设f(x)=ex+1,g(x)=ex+1,则f'(x)=ex,g'(x)=ex+1,所以f'(x1)=,g'(x2)=,所以解得所以f'(0)=e0=1,即公切线l的斜率为1,故与l垂直的直线的斜率为-1,所以所求直线方程可以为x+y-1=0.故选D.
(2)方法一:令f(x)=ln x+1,x∈(0,+∞),则f'(x)=,设直线y=kx+1与曲线y=ln x+1的切点坐标为(x1,ln x1+1),则切线方程为y-ln x1-1=(x-x1),即y=x+ln x1,又因为y=kx+1,所以解得所以切线方程为y=x+1.令g(x)=aex+1,则g'(x)=aex,设直线y=x+1与曲线y=aex+1的切点坐标为(x0,a+1),则g'(x0)=a=①,又因为切点(x0,a+1)在直线y=x+1上,所以a+1=x0+1,即a=x0②,由①②可得x0=1,所以ae=,解得a=.
方法二:设直线y=kx+1与曲线y=ln x+1相切于点P(x1,y1),与曲线y=aex+1相切于点Q(x2,y2),则所以ln x1=kx1=1,所以x1=e,k=.同理所以a=kx2=k,所以x2=1,所以k=ae=,所以a=.故选B.
对点演练3　(1)y=2x-1　(2)e
(3)ex-y=0　[解析] (1)由题得f'(x)=1+,故f'(1)=2,所以曲线f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
(2)因为f(x)=ln x,所以f'(x)=,所以曲线f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程为y-ln x0=(x-x0),又切线过原点O(0,0),所以-ln x0=-1,所以x0=e.
(3)设直线l与f(x)=ex的图象相切于点(t,et),又f'(x)=ex,所以切线的斜率为et,所以直线l的方程为y-et=et(x-t),即y=etx+(1-t)et.由得x2+(2-4et-1)x+1+4(t-1)et-1=0,Δ=-4[1+4(t-1)et-1]=0,整理可得et-1-t=0.令h(t)=et-1-t,其中t∈R,则h'(t)=et-1-1,由h'(t)<0可得t<1,由h'(t)>0可得t>1,所以h(t)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)min=h(1)=0,故方程et-1-t=0的根为t=1,因此l的方程为y=ex,即ex-y=0.第三单元　导数及其应用
第15讲　导数的概念及其意义、导数的运算
【课标要求】　
1.导数概念及其意义
(1)通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想.
(2)体会极限思想.
(3)通过函数图象直观理解导数的几何意义.
2.导数运算
(1)能根据导数定义求函数y=C,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.
(2)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.
(3)会使用导数公式表.
1.变化率与导数
(1)平均变化率:
概念 对于函数y=f(x),比值=　　　　　叫作函数y=f(x)从x0到x0+Δx的　　　　变化率
几何 意义 函数y=f(x)在区间[x0,x0+Δx]上对应的图象的两端点连线所在直线的　　　
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数:
概念 在x0处 ==k,我们称常数k为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记作f'(x0)或y'
几何 意义 f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的　　　　,其切线方程是　　　　　　　　　　　　
物理 意义 导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率
(3)导函数
当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y',即f'(x)=y'=.
2.导数的运算
函数名称 导函数 特例或推广
常用导数公式 常函数 C'=0(C为常数)
幂函数 (xα)'=　　　　(α∈R,α≠0) '=-
三角 函数 (sin x)'=　　　, (cos x)'=　　　 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数
指数 函数 (ax)'=　　　 (a>0,且a≠1) (ex)'=ex
对数 函数 (logax)'=　　　 (a>0,且a≠1) (ln x)'=, (ln|x|)'=
名称 运算法则 推广
四则运算法则 加减 [f(x)±g(x)]'=
乘法 [f(x)·g(x)]'= [Cf(x)]'= Cf'(x)
除法 '=(g(x)≠0) '=-
复合函 数求导 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f[g(x)],它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=　　　　　,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
常用结论
1.可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数.
2.函数f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其绝对值的大小反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.
3.两类切线问题的区别
(1)“过”与“在”:曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切线”的区别是前者P(x0,y0)为切点,而后者P(x0,y0)不一定为切点.
(2)“切点”与“公共点”:曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点,而直线与二次曲线相切只有一个公共点.
4.y=ex的图象与y=x+1的图象相切于点(0,1);y=ln x的图象与y=x-1的图象相切于点(1,0).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,则Δx趋近于0时,x趋近于x0,因此,f'(x0)==. (　 )
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率. (　 )
(3)函数f(x)=sin(-x)的导数为f'(x)=cos x. (　 )
题组二　教材改编
1.若函数f(x)=x2-x,则函数f(x)从x=1到x=3的平均变化率为 (　 )
A.6 　B.3 C.2 D.1
2.已知函数f(x)=x2,则=(　 )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.下列求导运算结果正确的是 (　 )
A.(3x)'=3xlog3e
B.(lg x)'=
C.(cos x)'=sin x
D.(x2cos x)'=-2xsin x
4.曲线y=xln x在x=1处的切线方程是 (　 )
A.y=-x+1 B.y=x-1
C.y=2x-2 D.y=-2x+2
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　导数的概念
例1 [2026·福建福州期中] 函数f(x)在x=x0处可导,若=1,则f'(x0)= (　 )
A.1 B. C.3 D.-1
总结反思
(1)函数应在x=x0处有定义,否则导数不存在.
(2)在导数定义的极限式中,Δx趋近于0,可正可负,但不能为0,而Δy可能为0.
【对点演练1】 [2025·山东日照联考] 若f'(x0)=2,则= (　 )
A.-4 B.4 C.2 D.-2
　导数的运算
例2 (1)下列函数求导正确的是 (　 )
A.(cos π)'=-sin π
B.(log2x)'=
C.(xcos x)'=cos x+xsin x
D.()'=2x
(2)[2026·浙江杭州期中] 已知定义在R上的连续函数f(x)的导函数f'(x)=,设g(x)=f(1-2x),则g'(1)=　　　　　.
总结反思
(1)求函数的导数要准确把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商,再利用导数的运算法则求导数.
(2)在求导过程中,要仔细分析函数解析式的结构特征,紧扣法则,记准公式,避免运算错误.
(3)复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元.
【对点演练2】 (1)下列函数求导正确的是 (　 )
A.(cos x)'=sin x B.(xex)'=ex(x-1)
C.[ln(3x)]'= D.(3x)'=
(2)已知函数f(x)=sin 2x-f'(1)x,则f'(1)= (　 )
A.-cos 2 B.
C.cos 2 D.2cos 2
　导数的几何意义
题型1　求曲线的切线方程
例3 (1)[2025·石家庄模拟] 已知函数f(x)=x3-x+1,则f(x)的图象在点(1,1)处的切线方程是 (　 )
A.4x+y-5=0 B.4x-y-3=0
C.2x+y-3=0 D.2x-y-1=0
(2)[2025·江苏扬州中学模拟] 已知函数f(x)=x-ln x,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为　　　　　　　.
题型2　求参数的值或取值范围
例4 (1)[2026·湖南郴州三模] 已知函数f(x)=x2+2aln x,若函数f(x)在区间(1,2)上的图象存在两条斜率之积为-4的切线,则实数a的取值范围为 (　 )
A.(-2,1) B.(-2,-1)
C.(-2,0) D.(-3,-2)
(2)[2025·全国一卷] 若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　.
题型3　两曲线的公切线
例5 (1)与曲线y=ex+1和y=ex+1的公切线l垂直的直线方程可以为 (　 )
A.x+ey+7=0 B.ex+y-7=0
C.x-y+1=0 D.x+y-1=0
(2)[2026·湖南名校联考] 若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=ln x+1和曲线y=aex+1的公切线,则实数a的值为 (　 )
A. B. C.1 D.e
总结反思
(1)在求曲线的切线方程时,要注意两个“说法”:“求曲线在点P处的切线方程”和“求曲线上过点P的切线方程”,在点P处的切线,一定是以点P为切点,过点P的切线,点P可能不在曲线上,点P也不一定是切点.
(2)求过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程的一般步骤:
第一步,设出切点P'(x1,f(x1));
第二步,写出曲线在点P'(x1,f(x1))处的切线方程,即y-f(x1)=f'(x1)(x-x1);
第三步,将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程,求出x1;
第四步,将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即可得过点P(x0,y0)的切线方程.
(3)解决两曲线的公切线问题通常有两种方法:
①利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线也相切,列出关系式求解;
②设公切线l与曲线y=f(x)的切点为P1(x1,f(x1)),与曲线y=g(x)的切点为P2(x2,g(x2)),则f'(x1)=g'(x2)=.
(4)处理与切线有关的参数问题,关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程(组):①切点处的导数是切线的斜率;②切点在切线上;③切点在曲线上.
【对点演练3】 (1)[2025·安徽江南十校联考] 曲线f(x)=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为　　　　.
(2)若曲线f(x)=ln x在点P(x0,y0)处的切线过原点O(0,0),则x0=　　　　.
(3)已知函数f(x)=ex,g(x)=e(x+1)2,若直线l是曲线f(x)与曲线g(x)的公切线,则l的方程为　　　　.

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