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拓展1　双变量问题的求解策略
方法一
例1　解:(1)当a=-1时,f(x)=2+ln x+x-1,可得f(1)=2,
f'(x)=++1,则f'(1)=3,
所以曲线y=f(x)在点P(1,2)处的切线方程为y-2=3(x-1),
即3x-y-1=0.
(2)证明:f'(x)=--a,
令f'(x)=0,得--a=0①,令t=,则t>0,
方程①可化为at2-t+a=0②,则t1=,t2=是方程②的两个不同的正根,
所以解得0由根与系数的关系得t1+t2=,t1t2=1,则+=-2t1t2=-2,
所以f(x1)+f(x2)=2(+)-a(ln x1+ln x2)-a(x1+x2)-2=2(t1+t2)-aln()-a(+)-2=2a+-2.
令h(a)=2a+-2,则h'(a)=2-<0,
所以函数h(a)在上单调递减,
所以h(a)=2a+-2>h=1>0,
所以f(x1)+f(x2)>0.
方法二
例2　解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f'(x)=.令f'(x)=0,得x=.
当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如表所示.
x (-∞, 0)
f'(x) - - 0 +
f(x) 单调 递减 单调 递减 极小值 单调 递增
所以f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(-∞,0)和.
(2)令g(x)=f(x)-,则g'(x)=.
设h(x)=(ax-1)eax+1,x≠0,则h'(x)=a2xeax.
所以当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0.
所以h(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.
从而h(x)>h(0)=0,即g'(x)>0,
所以g(x)的单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).
可得当0当x1综上,当x10时,f(x1)-f(x2)<-.
方法三
例3　解:(1)因为f(x)=ln x+,x>0,
所以f'(x)=-,x>0.
因为函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以-≥0,x∈(0,+∞)恒成立,
所以a≤x++2,x∈(0,+∞)恒成立.
当x>0时,因为x+≥2,当且仅当x=1时取等号,所以a≤=4,
即实数a的取值范围为(-∞,4].
(2)证明:设t=>1,则不等式<可化为1,
两边取自然对数得0,t>1.
由(1)可知,当a=2时,f(x)=ln x+在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=0,
所以当t>1时,f(t)>f(1),即ln t+>0成立,
所以原不等式成立.
方法四
例4　解:(1)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),其导函数f'(x)=ln x-a(x-1),
记h(x)=f'(x),则h'(x)=.
当a≤0时,h'(x)=>0恒成立,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,又h(1)=0,
所以当x∈(1,+∞)时,h(x)=f'(x)>0,故a≤0时不符合题意.
当a>0时,若x∈,则h'(x)=>0;若x∈,则h'(x)=<0.
所以h(x)在上单调递增,在上单调递减,
所以h(x)max=h=-ln a+a-1=0.
令g(a)=-ln a+a-1,则g'(a)=1-=.
当01时,g'(a)>0.所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以g(a)≥g(1)=0,故a=1.
(2)证明:当a=1时,f(x)=xln x-x2,则f'(x)=1+ln x-x.
由(1)知f'(x)=1+ln x-x≤0恒成立,
所以f(x)=xln x-x2在(0,+∞)上单调递减.
因为f(1)=-,所以f(x1)+f(x2)=-1=2f(1),
不妨设0欲证x1+x2>2,只需证x2>2-x1,因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,
所以只需证f(x2)所以只需证-1-f(x1)-1.
令F(x)=f(x)+f(2-x)(x∈(0,1)),易得F(1)=-1,
所以欲证f(2-x1)+f(x1)>-1,只需证F(x)>F(1),x∈(0,1).
F'(x)=f'(x)-f'(2-x)=1+ln x-x-[1+ln(2-x)-2+x]=ln x-ln(2-x)+2(1-x),x∈(0,1),
令G(x)=F'(x),则G'(x)=>0,x∈(0,1),
所以F'(x)=ln x-ln(2-x)+2(1-x)在区间(0,1)上单调递增,
所以F'(x)=ln x-ln(2-x)+2(1-x)所以函数F(x)=f(x)+f(2-x)在区间(0,1)上单调递减,
所以F(x)>F(1),故x1+x2>2.拓展1　双变量问题的求解策略
　　1.一般地,解决双变量问题的常见方法有分离变量法(构造法)、换元法、主元法等,最终目的就是要进行减元.
　　2.极值点偏移
(1)极值点偏移的定义:函数f(x)在区间(a,b)内只有一个极值点x0,方程f(x)=c的解分别为x1,x2,且ax0,则函数f(x)在区间(x1,x2)上的极值点x0向左偏移,简称极值点x0左偏移;②若(2)极值点偏移的图示及应用
若“单峰”函数f(x) 的极值点为x0 ,则极值点偏移问题的图示及函数值的大小关系(可用于证明方程或不等式)如下.
极值点x0 函数值的大小关系 图示
极值点 不偏移 = x0 f(x1)= f(2x0- x2)
极值 点偏 移 左 偏 移 >x0 峰口向上: f(x1)< f(2x0- x2)
峰口向下: f(x1)> f(2x0- x2)
右 偏 移 f(2x0- x2)
峰口向下: f(x1)　直接消元
例1 已知f(x)=2-aln x-ax-1.
(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数y=f(x)存在两个不同的极值点x1,x2,求证:f(x1)+f(x2)>0.




方法总结
若能获得两个变量之间的关系,或能用一个变量表示另一个变量,则可进行直接消元.
　分离变量法
例2 已知函数f(x)=,其中a>0.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)当x10时,判断f(x1)-f(x2)与-的大小,并说明理由.



方法总结
本题将f(x1)-f(x2)与-之间的关系转化为f(x1)-与f(x2)-之间的关系,这使得变量x1与x2分别出现在不等式的两边,呈现出不等式左右两边形式一致的对称关系,然后构造相应的函数,如本题构造g(x)=f(x)-,通过讨论所构造函数的单调性得到结论.这种方法常见于两个变量之间不存在直接关系的题型中.
　比值(或差值)消元
例3 已知函数g(x)=,f(x)=ln x+g(x).
(1)若函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)设x1>x2>0,求证:<.


方法总结
若待证明的代数式中的两个变量最终可整理为比值(或差值,也可能是和或积)的形式,则可进行整体换元,换元后要注意新元的取值范围.
　极值点偏移
例4 已知函数f(x)=xln x-x2+(a-1)x,其导函数f'(x)的最大值为0.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x1)+f(x2)=-1(x1≠x2),证明:x1+x2>2.


方法总结
求解极值点偏移问题的一般步骤:
(1)求极值点:利用导函数符号的变化判断函数的单调性,进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数:如要证结论x1+x2>2x0,则可以构造函数F(x)=f(x)-f(2x0-x),通过研究F(x)的单调性获得不等式.
(3)比较大小:判断F(x)在某段区间上的正负,并得出f(x)与f(2x0-x)的大小关系.
(4)转化:利用函数f(x)的单调性,将f(x)与f(2x0-x)的大小关系转化为x与2x0-x之间的关系,进而得到所证或所求.

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