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素养导向　解题指引——函数与导数
例1 [2025·全国二卷] 已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2-kx3,其中0(1)证明:f(x)在区间(0,+∞)上存在唯一的极值点和唯一的零点.[切入点:把f(x)在(0,+∞)上存在唯一的极值点转化为求f'(x),判断其零点个数问题]
(2)设x1,x2分别为f(x)在区间(0,+∞)上的极值点和零点.
(i)设函数g(t)=f(x1+t)-f(x1-t),证明:g(t)在区间(0,x1)上单调递减;[突破点:证明g'(t)<0]
(ii)比较2x1与x2的大小,并证明你的结论.[关键点:比较f(2x1),f(x2)的大小]
[思路分析]
(1)对f(x)求导得f'(x)=x2,构造函数u(x)=-3k(x>0),求u'(x),判断u(x)的单调性和函数值情况 ,从而可得到f(x)的单调性,即可证明f(x)在(0,+∞)上存在唯一的极值点.由f(x)的单调性及f(0)=0,当x→+∞时,f(x)<0,可证明f(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点.
(2)(i)由(1)得x1=-1,从而f'(x)=x2,对g(t)求导,化简整理得g'(t)=,由k>0,t∈(0,x1),可得g'(t)<0,所以g(t)在(0,x1)上单调递减.
(ii)由(i)得g(0)>g(x1),结合g(0)=0可得g(x1)<0,由g(t)的解析式可得g(x1)=f(2x1),结合f(x2)=0,得到f(2x1)x2.
[步骤拆解]
[得分秘籍] 破解此类题关键:一是会求导,证明极值点个数、零点个数和单调性问题,一般借用导数,判断函数的单调性,即可得证;二是会构造,当导数的符号不容易判断时,常分离出易判断符号的因式,利用余下的因式构造函数,再利用导数,即可判断新构造的函数的符号,从而得到原函数的导数的符号;三是会分析,对于比较大小问题,会利用分析法探路,把要比较的两个变量的大小转化为函数值的大小问题,从而转化为判断函数的单调性问题.

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