资源简介

第四单元　三角函数与解三角形
第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念
【课标要求】　
1.了解任意角的概念和弧度制.
2.能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性.
3.借助单位圆理解三角函数(正弦函数、余弦函数、正切函数)的定义.
1.角的概念
定义 角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形
分类 按旋转方向分为　　　　、　　　　和零角;按终边位置分为　　　　和轴线角
终边相 同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=α+k·360°,k∈Z}或　　　　　
2.象限角
3.轴线角
4.弧度制
定义 长度等于　　　　的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1 rad
角度与弧 度的换算 1°= rad,1 rad=　　　　 ≈57.30°
弧长公式 弧长l=|α|R
扇形面 积公式 S=lR=　　　　
5.任意角的三角函数
(1)定义:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内的符号如图所示.
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
常用结论
1.若α∈,则tan α>α>sin α.
2.角α,β的终边相同 β=α+2kπ,k∈Z.
角α,β的终边关于原点对称 β=π+α+2kπ,k∈Z.
角α,β的终边关于x轴对称 β=-α+2kπ,k∈Z.
角α,β的终边关于y轴对称 β=π-α+2kπ,k∈Z.
角α,β的终边关于直线y=x对称 β=-α+2kπ,k∈Z.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. (　 )
(2)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的弧度是. (　 )
(3)三角形的内角不一定都是第一、第二象限角. (　 )
(4)第一象限角都是锐角. (　 )
题组二　教材改编
1.将1920°化为弧度数为 (　 )
A. rad B. rad
C. rad D. rad
2.下列与30°角终边相同的角是 (　 )
A.600° B.60°
C.330° D.750°
3.如图所示,终边在阴影部分(含边界)内的角的集合为 (　 )
A.
B.
C.
D.∪
4.已知的圆周角所对的弧长为0.5π cm,则这个圆的半径为 (　 )
A.6 cm B.1.2 cm
C.1.5 cm D.3 cm
　象限角及终边相同的角
例1 (1)[2026·辽宁葫芦岛模拟] 与-1220°终边相同的一个角为 (　 )
A.220°　B.140°　C.-220°　D.-240°
(2)图①中阴影部分表示角α的终边所在的位置,则角α的集合为　　　　　　　　　　　　;图②中阴影部分表示β的终边所在的位置,则角β的集合为　　　　　　　　　　　　.
总结反思
(1)利用终边相同的角的集合可以求符合某些条件的角,方法是先写出与这个角终边相同的所有角的集合,然后对集合中的参数k(k∈Z) 赋值,进而可得要求的角.
(2)确定kα,(k∈N*)的终边位置的方法
先用终边相同的角的形式表示出角α 的范围,再写出kα 或 的范围,然后根据k的可能取值确定kα 或 的终边所在的位置.
【对点演练1】 (1)角α的终边与65°角的终边关于y轴对称,则α= (　 )
A.k·180°-65°(k∈Z)
B.k·360°-65°(k∈Z)
C.k·180°+115°(k∈Z)
D.k·360°+115°(k∈Z)
(2)已知集合M=,N=,则 (　 )
A.M=N B.M N
C.N M D.M∩N=
(3)若α是锐角,那么是第　　　　象限角;若α是第一象限角,那么是第　　　　象限角.
　扇形的弧长、面积公式
例2 (1)[2025·湖南邵阳模拟] 已知圆锥的底面半径为1,侧面积为4π,则此圆锥的侧面展开图的圆心角为 (　 )
A. B. C. D.
(2)[2026·河北衡水模拟] 已知某扇形的圆心角为2 rad,面积为25,则该扇形所在圆的面积为 (　 )
A.5π B.16π C.25π D.36π
总结反思
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)当求扇形面积的最大值时,常转化为求二次函数的最值问题.
(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理利用圆心角所在的三角形或扇形.
【对点演练2】 (1)纸折扇是我国古代传统的工艺制品,它是以细长的竹片制成众多的扇骨,然后将扇骨叠起,其下端头部固定(可以绕轴旋转),其余则展开可看作扇形,扇形上糊纸,作为扇面,并在扇面上题诗作画.示意图如图所示,已知折扇两端的扇骨长均为18 cm且夹角为π,扇面(糊纸的部分)的上弧长L与下弧长l之比为3∶1,则扇面的面积为 (　 )
A.135π cm2
B.120π cm2
C.108π cm2
D.96π cm2
(2)如图所示,被动轮和主动轮的两个齿轮相互啮合,被动轮随主动轮的旋转而旋转.主动轮有32齿,被动轮有48齿,主动轮的转速为240转/分,被动轮的半径为24 cm,则被动轮圆周上一点每1 s转过的弧长是　　　　 cm.
　三角函数的定义及其应用
题型1　三角函数的定义
例3 (1)在平面直角坐标系xOy中,设角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(t,1),sin=-,则t= (　 )
A.-2 B.- C. D.2
(2)[2026·福建福州质检] 以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角α,其终边落在直线y=2x上,则 (　 )
A.sin α=- B.cos α=
C.tan α=2 D.sin 2α=-
(3)[2025·北京卷] 已知α,β∈[0,2π],且sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),写出满足条件的一组α=　　　　,β=　　　　.
题型2　三角函数值的符号判定
例4 (1)函数y=++的值域是 (　 )
A.{-1,0,1,3} B.{-1,0,3}
C.{-1,3} D.{-1,1}
(2)[2026·陕西咸阳联考] “sin θcos θ<0”是“角θ为第二象限角”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
已知角α 的终边上一点P的坐标,先求OP(O为坐标原点), 再用三角函数的定义求三角函数值;已知角α 的三角函数值,也可以通过解方程求出点P的坐标.
三角函数值的符号以及角所在象限的判断可结合图象和三角函数的定义直观分析,不必硬记符号法则.有参数时要注意分类讨论.
【对点演练3】 (1)[2025·黑龙江六校联合体模拟] 若sin θ=-且tan θ=1同时成立,则θ是 (　 )
A.第四象限角 B.第三象限角
C.第二象限角 D.第一象限角
(2)[2026·浙江金华三模] 点A(2,1)绕原点O按逆时针方向旋转90°到达点B,则点B的坐标为 (　 )
A.(1,2) B.(-1,2)
C.(-2,1) D.(-2,-1)
(3)若角θ满足sin 2θ>0,tan 2θ>0,则角θ为 (　 )
A.第一或第四象限角
B.第二或第三象限角
C.第三或第四象限角
D.第一或第三象限角
(4)(多选题)若角α的终边经过点P(t,-2t)(t<0),则下列结论正确的是 (　 )
A.α是钝角
B.α是第二象限角
C.tan α=-2
D.点(cos α,sin α)在第四象限第四单元　三角函数与解三角形
第19讲　任意角和弧度制与三角函数的概念
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.正角　负角　象限角　{β|β=α+2kπ,k∈Z}
4.半径长　°　|α|R2
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
[解析] (1)如0°和360°的终边相同,但这两个角不相等.
(2)将表的分针拨快5分钟,角的旋转方向为顺时针方向,所以分针转过的弧度是-.
(3)三角形的一个内角是时,该角不是第一、第二象限角.
(4)令β==+2π,显然β是第一象限角,但不是锐角.
题组二
1.D　[解析] 1920°=1920× rad= rad.
2.D　[解析] 与30°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°+30°,k∈Z},令k=2,得α=750°.
3.A　[解析] 终边在阴影部分内且在第一象限及y轴正半轴上的角的集合为;终边在阴影部分内且在第三象限及y轴负半轴上的角的集合为.所以所求角的集合为.
4.D　[解析] 由题意知弧所对的圆心角为,则由扇形的弧长公式可知,这个圆的半径r==3(cm).故选D.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2){α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z}　{β|-30°+k·360°<β<60°+k·360°,k∈Z}
[解析] (1)因为-1220°=-4×360°+220°,所以与-1220°终边相同的一个角为220°,又因为140°,-220°,-240°都不能写成360°·k+220°,k∈Z这种形式,所以140°,-220°,-240°与-1220°的终边不相同.故选A.
(2)角α的集合为{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+2k·180°≤α≤2k·180°,k∈Z}∪{α|-30°+(2k+1)·180°≤α≤(2k+1)·180°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z}.角β的集合为{β|-30°+k·360°<β<60°+k·360°,k∈Z}.
对点演练1　(1)D　(2)B　(3)一　 一或三　[解析] (1)因为115°角的终边与65°角的终边关于y轴对称,所以α=k·360°+115°(k∈Z).故选D.
(2)若x=kπ+,k∈Z,则x=,k∈Z,所以M=若x=+,k∈Z,则x=,k∈Z,所以N=.因为2k+1,k∈Z表示所有奇数,4k+1,k∈Z表示部分奇数,所以M N.故选B.
(3)若α是锐角,则0<α<,所以0<<,故是第一象限角;若α是第一象限角,则2kπ<α<+2kπ,k∈Z,所以kπ<<+kπ,k∈Z,故是第一或三象限角.
探究点二
例2　(1)D　(2)C　[解析] (1)设圆锥的母线长为l,可得底面圆的周长为2π×1=2π,由题意可得l×2π=4π,解得l=4,所以圆锥的侧面展开图的圆心角为=.故选D.
(2)设该扇形的半径为r,因为该扇形的圆心角为2 rad,面积为25,S扇=|α|r2,所以r2==25,所以S圆=πr2=25π.故选C.
对点演练2　(1)B　(2)128π　[解析] (1)由题意知,大扇形(上弧所在扇形)半径为18 cm,则小扇形(下弧所在扇形)半径为6 cm,所以上弧长为18×=15π(cm),下弧长为6×=5π(cm),所以扇面的面积为-=120π(cm2).故选B.
(2)由题意知,主动轮的转速为4转/秒,则被动轮圆周上一点每1秒转过的角度的大小为×4×2π=π,所以所求弧长为24×π=128π(cm).
探究点三
例3　(1)B　(2)C　(3)(答案不唯一)　(答案不唯一)　[解析] (1)由题意可得cos α=,则sin=cos α==-,可得t=-.故选B.
(2)角α的终边落在直线y=2x上,则当角α的终边在第一象限时,终边过点(1,2),此时sin α=,cos α=,tan α=2,sin 2α=2sin αcos α=2××=;当角α的终边在第三象限时,终边过点(-1,-2),此时sin α=-,cos α=-,tan α=2,sin 2α=2sin αcos α=2××=.故选C.
(3)因为sin(α+β)=sin(α-β),cos(α+β)≠cos(α-β),所以α+β,α-β的终边关于y轴对称,且不与y轴重合,故α+β+α-β=π+2kπ,k∈Z且α+β≠+nπ,n∈Z,即α=+kπ,k∈Z,故取α=,β=可满足题设要求.
例4　(1)C　(2)B　[解析] (1)由题意可知角x的终边不能落在坐标轴上.当角x的终边在第一象限时,y=++=1+1+1=3;当角x的终边在第二象限时,y=++=1-1-1=-1;当角x的终边在第三象限时,y=++=-1-1+1=-1;当角x的终边在第四象限时,y=++=-1+1-1=-1.因此函数的值域为{-1,3},故选C.
(2)当角θ为第二象限角时,sin θ>0,cos θ<0,则sin θcos θ<0;反之,当sin θcos θ<0时,sin θ>0,cos θ<0或sin θ<0,cos θ>0,则角θ为第二象限角或第四象限角.所以“sin θcos θ<0”是“角θ为第二象限角”的必要不充分条件.故选B.
对点演练3　(1)B　(2)B　(3)D　(4)BC
[解析] (1)因为sin θ=-<0,tan θ=1>0,所以cos θ<0,所以θ是第三象限角.故选B.
(2)以原点为角的顶点,x轴的非负半轴为角的始边,令角α的终边过点A,则α+90°的终边过点B(x,y),且OB=OA==,于是sin α=,cos α=,y=OB·sin(α+90°)=cos α=2,x=OBcos(α+90°)=-sin α=-1,所以点B的坐标为(-1,2).故选B.
(3)由sin 2θ>0,tan 2θ=>0可得cos 2θ>0,则2θ为第一象限角,则2kπ<2θ<+2kπ,k∈Z,可得kπ<θ<+kπ,k∈Z.当k=2n,n∈Z时,2nπ<θ<+2nπ,n∈Z,即θ为第一象限角;当k=2n+1,n∈Z时,π+2nπ<θ<+2nπ,n∈Z,即θ为第三象限角.综上,角θ为第一或第三象限角.故选D.
(4)因为t<0,所以点P(t,-2t)在第二象限,可得α是第二象限角,但不一定是钝角,B正确, A错误;tan α==-2,C正确;易知sin α>0,cos α<0,则点(cos α,sin α)在第二象限,D错误.故选BC.

展开更多......

收起↑