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第20讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
【课标要求】　
1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式.
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:　　　　　　　　.
(2)商数关系:　　　　　　　　　　　　.
2.诱导公式
公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六
角 α+2kπ (k∈Z) π+α -α π-α -α +α
终边 与角 α终 边的 关系 相同 关于原 点对称 关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于 直线 y=x 对称
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α 　
正切 tan α 　 -tan α -tan α
函数名不变,符号看象限 函数名改变, 符号看象限
记忆 规律 奇变偶不变,符号看象限
注意:诱导公式指的是角k·±α(k∈Z)与角α的三角函数关系,简记为:奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·±α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数;“变”与“不变”是指函数的名称的变化;“符号看象限”指的是在“k·±α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·±α(k∈Z)”的终边所在的象限.
常用结论
1.和(差)积互化变形:(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
2.弦切互化变形:sin2α==,cos2α==,sin αcos α==,其中α≠kπ+(k∈Z).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)sin=cos α成立的条件是α为锐角. (　 )
(2)sin=cos α或sin=-cos α,k∈Z.(　 )
(3)已知sin θ+cos θ=,θ∈,则sin θ-cos θ的值为±. (　 )
题组二　教材改编
1.若α是第四象限角,且cos α=,则sin(-α)= (　 )
A. B.- C. D.-
2.若tan(α-π)=3,则= (　 )
A. B.- C.- D.
3.若sin=,则cos=　　　　.
　同角三角函数的基本关系
题型1　知一求二、弦切互化
例1 (1)若α是第三象限角,且sin α-2cos α=1,则tan α= (　 )
A. B. C. D.
(2)(多选题)[2026·广东广州联考] 已知α∈(0,π),sin α+cos α=m,则 (　 )
A.若m=1,则cos α=0
B.若m=,则cos α=-
C.若m=,则sin α-cos α=
D.m的取值范围为(-,)
(3)[2026·江苏泰州调研] 已知α∈(0,π),且cos α+sin α=,则cos α=　　　　.
题型2　齐次式
例2 (1)[2025·广东惠州调研] 已知tan α=-2,则= (　 )
A.-3 B.- C. D.3
(2)[2025·云南昭通一模] 已知=,则sin4θ+cos4θ=　　　　.
总结反思
1.利用同角三角函数的基本关系式“知一求二”的方法
2.对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,知一可求二,若令sin α+cos α=t,则sin α·cos α=,sin α-cos α=±(注意根据α的范围选取正、负号),体现了方程思想的应用.
3. 利用“齐次化切”求齐次式值的方法
(1)若齐次式为分式,如(cos α≠0),可将分子与分母同除以cosnα,将分式的分子与分母化为关于tan α的式子,代入tan α的值即可求解;
(2)若齐次式为二次整式,如asin2α+bsin αcos α+ccos2α(cos α≠0),可将其视为分母为1的分式,然后将分母1用sin2α+cos2α替换,再将分子与分母同除以cos2α,化为只含有tan α的式子,代入tan α的值即可求解.
【对点演练1】 (1)[2025·四川绵阳诊断] 已知tan αsin α=3,则tan2α-sin2α的值为 (　 )
A. B.3 C.9 D.81
(2)已知角α的顶点为坐标原点,始边为x轴的非负半轴,终边经过点(2,-1),则=(　 )
　A.3 B. C.- D.-3
(3)[2026·河北衡水期中] 已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则sin α-cos α= (　 )
A. B.- C. D.-
　三角函数的诱导公式
例3 (1)[2026·福建莆田质检] 已知sin=,则cos= (　 )
A. B.- C. D.-
(2)(多选题)已知角α的终边经过点P(-3,4),则 (　 )
A.cos α=- B.tan α=-
C.cos(α+π)= D.sin=
总结反思
1.诱导公式的应用步骤
任意负角的三角函数任意正角的三角函数[0,2π)内的角的三角函数内的角的三角函数.
2.诱导公式的两个应用
(1)求值:负化正,大化小,化到锐角(或零角)为终了.
(2)化简:统一角,统一名,同角名少为终了.
使用诱导公式过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的正确使用,注意奇偶是指什么,符号是看谁的符号.
【对点演练2】 (1)[2025·山东烟台诊断] 已知tan α=-2,则=(　 )
A.- B. C.-2 D.2
(2)[2026·黑龙江哈尔滨模拟] 已知α是第一象限角,且cos=,则tan=　　　　.
　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用
例4 [2025·山东济宁质检] 已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第三象限角,且cos=,求f(α).

总结反思
破解诱导公式与同角三角函数基本关系的综合应用问题的关键:一是熟记诱导公式,正确对三角函数进行化简;二是注意“切化弦、弦化切”的应用;三是“知正弦求余弦”或“知余弦求正弦”时需注意角的取值范围,明确“负号”的取舍.
【对点演练3】 [2025·贵州遵义联考] 如图,在平面直角坐标系xOy中,以原点O为顶点,x轴的非负半轴为始边作角α与β,它们的终边分别与以O为圆心的单位圆相交于点M,N,且点M的坐标为,单位圆与x轴的非负半轴交于点A,△OAN的面积是△OAM面积的.
(1)求sin α,cos α的值;
(2)求的值.第20讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)sin2α+cos2α=1
(2)tan α=,α≠kπ+(k∈Z)
2.-sin α　tan α
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)当α为任意角时,sin=cos α均成立,故错误.
(2)当k为偶数时sin=sin α或sin=-sin α,故错误.
(3)∵sin θ+cos θ=,∴sin θcos θ=,∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=,又θ∈,∴sin θ题组二
1.C　[解析] 因为 α是第四象限角,所以sin α<0,又sin2α+cos2α=1,cos α=,所以sin α=-,所以sin(-α)=-sin α=.故选C.
2.D　[解析] 由tan(α-π)=3,可得tan α=3,故===,故选D.
3.　[解析] cos=cos=cos=sin=.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)ABC　(3)-
[解析] (1)由已知可得sin α=2cos α+1,代入sin2α+cos2α=1可得5cos2α+4cos α=0,解得cos α=-或cos α=0,∵α是第三象限角,∴cos α=-,则sin α=2×+1=-,∴tan α==,故选B.
(2)sin α+cos α=m,两边平方整理可得sin αcos α=,由α∈(0,π),得sin α>0.对于选项A,若m=1,则sin αcos α=0,所以cos α=0,故A正确;对于选项B,若m=,则sin α+cos α=,sin αcos α=-,可知sin α,cos α分别为方程x2-x-=0的正根和负根,又因为x2-x-=0的根为,-,所以sin α=,cos α=-,故B正确;对于选项C,若m=,则sin αcos α=-,可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=,且sin α>0,cos α<0,可知sin α-cos α>0,所以sin α-cos α=,故C正确;对于选项D,取α=,则m=sin α+cos α=,故D错误.故选ABC.
(3)将cos α+sin α=两边平方,可得1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-<0,又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,故sin α,cos α分别为方程x2-x-=0的正根和负根,由x2-x-==0,解得x=或x=-,则cos α=-.
例2　(1)A　(2)　[解析] (1)由tan α=-2,得===-3.故选A.
(2)由=,得tan θ=-,则sin θcos θ====-,所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=.
对点演练1　(1)C　(2)C　(3)A
[解析] (1)tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α=sin2α·=sin2α·=sin2αtan2α=32=9,故选C.
(2)由三角函数的定义可得tan α=-,所以===-.故选C.
(3)由题意得(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,则2sin αcos α=-,所以(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,又sin αcos α<0且α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,故sin α-cos α=.故选A.
探究点二
例3　(1)C　(2)AD　[解析] (1)cos=cos=sin=.故选C.
(2)由题意得cos α==-,sin α==,tan α==-,从而cos(α+π)=-cos α=,sin=-sin=-cos α=.故选AD.
对点演练2　(1)C　(2)-
[解析] (1)原式=====-2.故选C.
(2)由题意可得cos=cos=-sin=,则sin=-.因为α是第一象限角,所以2kπ<α<+2kπ,k∈Z,则-+2kπ<α-<+2kπ,k∈Z,所以cos>0,则cos==,所以tan==-.
探究点三
例4　解:(1)由题意得f(α)===-cos α.
(2)因为cos=cos=-sin α=,所以sin α=-.
又α为第三象限角,所以cos α=-=-,所以f(α)=-cos α=.
对点演练3　解:(1)因为M在单位圆上,且M位于第一象限,
所以y>0且y2+=1,解得y=,所以M,
所以sin α=,cos α=.
(2)因为△OAN的面积是△OAM的面积的,
所以|yN|=|yM|=,
又-<β<0,所以yN=-,即sin β=-,又sin2β+cos2β=1,所以+cos2β=1,
解得cos β=或cos β=-(舍去).
所以====-=-.

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