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第21讲　两角和、差及倍角公式
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.cos αcos β+sin αsin β　cos2α-sin2α
sin αcos β-cos αsin β　sin αcos β+cos αsin β　2sin αcos α　
　
3.sin(α+φ)
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)√　[解析] (1)两角和的正切公式的适用条件是α,β,α+β均不为kπ+(k∈Z)且tan αtan β≠1.
(2)二倍角的正弦公式对任意角都适用.
(3)当α=0,β∈R或β=0,α∈R时等式成立.
题组二
1.B　[解析] 因为α,β都是锐角,sin α=,cos β=,所以cos α===,sin β===,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×+×=.故选B.
2.A　[解析] 因为点P(4,3)是角α的终边上一点,所以sin α=,cos α=,所以sin 2α=2sin αcos α=.故选A.
3.2-2　[解析] ∵α,β均为锐角,且α+β=,∴0<α<,0<β<,∴00,∴2+tan α+tan β≥2,∴tan α+tan β≥2-2,即tan α+tan β的最小值为2-2.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)方法一:∵cos=,∴cos α=2cos2-1=-,又∵0<α<π,∴sin α=,则sin=(sin α-cos α)=×=.
方法二:由0<α<π可知0<<,∴sin==,∴sin α=2sincos=2××=,cos α=cos2-sin2=-=-,∴sin=sin αcos -cos αsin=×-×=.
(2)因为tan θ=2tan α,所以=,即sin θcos α=2sin αcos θ,又sin θcos α-cos θsin α=,所以sin αcos θ=,sin θcos α=,所以sin(θ+α)=sin θcos α+cos θsin α=,所以cos 2(θ+α)=1-2sin2(θ+α)=1-2×=-.故选B.
对点演练1　(1)D　(2)B　[解析] (1)因为sin α=,α∈,所以cos α==,故cos=cos αcos+sin αsin=(sin α+cos α)=.故选D.
(2)由(2-tan α)(2+tan β)=5,得4+2tan β-2tan α-tan αtan β=5,整理得2(tan β-tan α)=1+tan αtan β,则tan(α-β)==-.故选B.
探究点二
例2　(1)D　(2)A　(3)BD　[解析] (1)易知tan 35°+tan 100°=tan(100°+35°)(1-tan 35°tan 100°)=tan 135°(1-tan 35°tan 100°)=-1×(1-tan 35°tan 100°)=tan 35°tan 100°-1,由诱导公式得tan 80°=tan(180°-100°)=-tan 100°,则原式可化为tan 35°tan 100°-1-tan 35°tan 100°=-1.故选D.
(2)cos2+sincos-sin2=cos+sin=cos+sin=+=.故选A.
(3)对于A,易知cos 72°cos 12°-sin 72°sin 12°=cos(72°+12°)=cos 84°≠,A错误;对于B,易知sin 15°cos 15°=×2sin 15°cos 15°=sin 30°=,B正确;对于C,易知cos415°-sin415°=(cos215°+sin215°)(cos215°-sin215°)=cos215°-sin215°=cos 30°=,C错误;对于D,=×=tan =,D正确.故选BD.
对点演练2　(1)BCD　(2)-　(3)9
[解析] (1)对于A选项,sin 75°cos 75°=sin 150°=,A错误;对于B选项,因为tan 60°=tan(20°+40°)==,所以tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=,B正确;对于C选项,==tan(45°+15°)=tan 60°=,C正确;对于D选项,===tan 20°,D正确.故选BCD.
(2)因为sin αcos(α+β)-cos αsin(α+β)=sin[α-(α+β)]=,即sin(-β)=-sin β=,所以sin β=-.
(3)由题意知sin A-cos A=8sin Bsin C-8cos Bcos C=-8cos(B+C)=-8cos(π-A)=8cos A,所以sin A=9cos A,即tan A=9.
探究点三
例3　(1)A　(2)C　[解析] (1)因为α∈,所以<α+<,所以sin===,因此sin α=sin=sincos-cossin=×-×=.故选A.
(2)tan 2β=tan [(α+β)-(α-β)]===.故选C.
对点演练3　(1)A　(2)D　[解析] (1)因为x∈,所以x-∈,又因为sin=,所以cos==,所以cos x=cos=coscos-sinsin=×-×=.故选A.
(2)依题意得,cos α-=cos α-sin α=cos=,所以sin=sin=-cos 2=1-2cos2=1-2×=.故选D.第21讲　两角和、差及倍角公式
【课标要求】　
1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义.
2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,两角和与差的正弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
1.两角和、差及二倍角公式
2.两角和与差的正切公式的常用变形
tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
3.辅助角公式
asin α+bcos α=　　　　　　,其中sin φ=,cos φ=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对任意的α,β∈R,tan(α+β)=都成立. (　 )
(2)对任意的θ∈R,sin θ=2sincos. (　 )
(3)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立. (　 )
题组二　教材改编
1.已知α,β都是锐角,sin α=,cos β=,则cos(α-β)= (　 )
A. B. C. D.
2.已知点P(4,3)是角α的终边上一点,则sin 2α= (　 )
A. B. C.- D.-
3.若α,β均为锐角,且α+β=,则tan α+tan β的最小值为　　　　.
　三角函数公式的直接应用
例1 (1)[2025·全国二卷] 已知0<α<π,cos=,则sin= (　 )
A. B. C. D.
(2)[2025·湖北T8联盟模拟] 若tan θ=2tan α,sin(θ-α)=,则cos 2(θ+α)= (　 )
A.- B.- C. D.
总结反思
在使用和、差、倍角的三角函数公式时,要记住公式的结构特征和符号变化规律,特别要注意角与角之间的关系,达到统一角和角与角转换的目的.
【对点演练1】 (1)已知sin α=,α∈,则cos= (　 )
A. B.- C.- D.
(2)[2026·河北沧州联考] 已知角α,β满足(2-tan α)(2+tan β)=5,则tan(α-β)=(　 )
A.- B.- C.-2 D.-3
　三角函数公式的逆用及变形
例2 (1)[2025·江西宜春模拟] 化简tan 35°+tan 100°+tan 35°tan 80°= (　 )
A.tan 65° B.-tan 65°
C.1 D.-1
(2)[2026·河北沧州模拟] cos2+sincos-sin2的值为 (　 )
A. B.
C. D.
(3)(多选题)下列化简结果正确的是 (　 )
A.cos 72°cos 12°-sin 72°sin 12°=
B.sin 15°cos 15°=
C.cos415°-sin415°=
D.=
总结反思
在利用和、差、倍角的三角函数公式进行恒等变形时,要熟悉公式的逆用及变形,增强从正向思维向逆向思维转化的能力.
【对点演练2】 (1)(多选题)下列式子中成立的有 (　 )
A.sin 75°cos 75°=
B.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=
C.=
D.=tan 20°
(2)已知sin αcos(α+β)-cos αsin(α+β)=,则sin β=　　　　.
(3)[2026·浙江宁波模拟] 在△ABC中,sin A=8sin Bsin C,cos A=8cos Bcos C,则tan A=　　　　.
　角的变换问题
例3 (1)[2025·广东深圳二模] 若cos=,α∈,则sin α= (　 )
A. B. C. D.
(2)[2025·四川雅安联考] 已知tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则tan 2β= (　 )
A. B.7 C. D.
总结反思
1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.
(1)当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)当“已知角”有两个时,“所求角”一般可表示为两个“已知角”的和或差的形式,再用和角或差角公式求解.
2.破解此类题的关键是会观察已知角与所求角的特征,并熟悉常见的角的变换:±2α=2,2α=(α+β)+(α-β),α=+,+α=-,α=(α+β)-β=(α-β)+β,+=等.
【对点演练3】 (1)[2025·安徽蚌埠联考] 已知x∈,sin=,则cos x=(　 )
A. B.
C. D.
(2)已知cos α-sin=,则sin= (　 )
A.- B. C.- D.

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