资源简介

第22讲　简单的三角恒等变换
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
2.(1)2sin2　2cos2　(2)　(3)　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)当α=π+2kπ,k∈Z时,半角的正切公式不适用.
(2)sin 8α=2sin 4αcos 4α,使用二倍角公式时要注意“二倍”的含义.
(3)sin α-cos α==sin=-cos,使用辅助角公式解决问题时要熟练掌握两角和、差的正弦、余弦公式的逆用.
题组二
1.D　[解析] cos x+cos=cos x+cos x+sin x=cos=×=1,故选D.
2.D　[解析] 2cos2+1=cos+2=2+.故选D.
3.±　[解析] 由α是第四象限角,得是第二或第四象限角,则cos=±=±.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)B　[解析] (1)+=+=
+ =+,因为x∈,所以∈,故sin<0,cos>0,>,故sin-cos<0,sin+cos<0,进而+=-=-2sin,故选D.
(2)因为β≠,所以cos β-sin β≠0,则tan α===
===tan,因为α∈,β∈,β≠,所以α=+β,即α-β=,故选B.
对点演练1　(1)B　(2)BC　[解析] (1)原式=·==
==tan α,故选B.
(2)∵tan α=5tan β,∴=,∴sin αcos β=5cos αsin β,∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=4cos αsin β=,∴cos αsin β=,B选项正确;∴sin αcos β=,A选项错误;∴sin 2αsin 2β=2sin αcos α×2sin βcos β=4sin αcos βsin βcos α=4××=,C选项正确;sin(α+β)=sin αcos β+sin βcos α=+=,∵0<β<α<,∴0<β+α<,∴α+β=,D选项错误.故选BC.
探究点二
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)由题意可得cos 2α=cos=sin 2=
===-.故选C.
(2)因为sin=-,所以sin=,因为α∈,所以α-∈,所以cos==,所以cos=cos=coscos-sinsin=×-×=.故选C.
例3　(1)　(2)　[解析] (1)cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°=(cos 10°·cos 50°)·cos 70°
=cos 70°=cos 70°+cos 40°·cos 70°
=cos 70°+(cos 110°+cos 30°)=cos 70°+cos 110°+
=cos 70°+cos(180°-70°)+=.
(2)tan 10°+=+==
====
==.
例4　(1)C　(2)B　[解析] (1)由题意得则tan(α+β)===1,因为α,β∈,所以π<α+β<2π,故α+β=.故选C.
(2)由α∈,可得2α∈,因为cos 2α=-,所以sin 2α==.又β∈,所以β-α∈,因为sin(β-α)=,所以cos(β-α)=-=-,故cos(α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin(β-α)=-×-×=,因为≤α+β≤2π,所以α+β=.故选B.
对点演练2　(1)B　(2)D　(3)A　(4)
[解析] (1)sin 2α-2cos2α==,因为tan α=3,所以sin 2α-2cos2α===,故选B.
(2)cos 50°=cos(90°-40°)=sin 40°,同理可得cos 70°=sin 20°,则sin240°+sin220°+cos 50°cos 70°=sin240°+sin220°+sin 40°sin 20°=sin2(60°-20°)+sin220°+sin(60°-20°)sin 20°=+sin220°+sin 20°=cos220°+sin220°-sin 20°cos 20°+sin220°+sin 20°cos 20°-sin220°=(cos220°+sin220°)=.故选D.
(3)因为α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,所以α,β∈,所以sin α=,cos α=,sin β=,所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=,因为α+β∈(0,π),所以α+β=,故选A.
(4)因为tan==2,所以tan α=,所以sin=(sin 2α+cos 2α)=
×=×=×=.
探究点三
例5　(1)B　(2)[5,+∞)　[解析] (1)因为=(10,0),=(8,6),所以||==10,||====10. 因为cos∠AOB=,·=10×8+0×6=80,所以cos∠AOB==,则sin∠AOB==. 根据半角公式得,cos===,sin===. 由题可知||=||=10,设C(m,n),则m=||cos=10×=3,n=||sin=10×=,所以=(3,). 故选B.
(2)因为f(x)=sincos x+sin-=cos x+sin-=+sin-=+sin-=+sin=sin+sin=sin,所以af-f=asin x-cos 2x≥2对任意的x∈恒成立,因为x∈,所以sin x>0,所以a≥对任意的x∈恒成立,则只需要a≥
即可.设y===-2sin x,令t=sin x,t∈,因为y=-2t在上单调递减,所以当t=时,y取得最大值5,所以a≥5,所以a的取值范围是[5,+∞).
对点演练3　(1)D　(2)3　[解析] (1)对于A,因为∠POC=, OC=1,所以AD=CB=OCsin∠POC=, OB=OCcos∠POC=,则OA===,则AB=OB-OA=-=≠,故A错误;对于B,当∠POC=α时, BC=sin α,OB=cos α,OA===sin α,则AB=OB-OA=cos α-sin α,故B错误;对于C,由B选项知BC=sin α,OB=cos α,则S△OBC=sin α·cos α=sin 2α,因为0<α<,所以0<2α<,故当2α=,即α=时,S△OBC取得最大值,故C错误;对于D,由B选项知AB=cos α-sin α,BC=sin α,则S矩形ABCD=sin α=sin 2α-×=sin 2α+cos 2α-=sin-,因为0<α<,所以<2α+<,故当2α+=,即α=时,S矩形ABCD取得最大值,故D正确.故选D.
(2)由a=(cos x,1),b=(sin x,2),cos x≠0,及a∥b,可得sin x=2cos x,
所以tan x=2,所以==3.第22讲　简单的三角恒等变换
【课标要求】　能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
1.半角公式
(1)sin =±.
(2)cos =±.
(3)tan =±.
符号由的终边所在象限决定.
2.常用的三角公式
(1)1-cos α=　　　　,1+cos α=　　　　.(升幂公式)
(2)1±sin α=　　　　　　.(升幂公式)
(3)sin α=,cos α=　　　　,tan α=　　　　.(万能公式)
(4)半角正切公式的有理化
tan==.
3.三角恒等变换的基本技巧
(1)变换函数名称:使用诱导公式.
(2)升幂、降幂:使用倍角(半角)公式.
(3)常数代换:如1=sin2α+cos2α=tan .
(4)变换角:使用角的代数变换、各类三角函数公式.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)半角公式对任意角都适用. (　 )
(2)sin 8α=2sin 6αcos 2α. (　 )
(3)sin α-cos α=sin. (　 )
题组二　教材改编
1.已知cos=,则cos x+cos= (　 )
A.-　B.±　C.-1　D.1
2.2cos2+1的值是 (　 )
A.　B.　C.　D.2+
3.已知 cos α=,且α是第四象限角,则cos= 　　　　.
　三角函数式的化简
例1 (1)若x∈,则化简+的结果是 (　 )
A.2cos B.2sin
C.-2cos D.-2sin
(2)[2026·湖南衡阳期末] 已知α∈,β∈,β≠,tan α=,则 (　 )
A.α+β= B.α-β=
C.α+β= D.α+2β=
总结反思
三角函数式化简的常见方法有弦切互化、异名化同名、异角化同角、降幂与升幂.化简结果要求函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等.
【对点演练1】 (1)化简·的结果为 (　 )
A.tan B.tan α
C.tan 2α D.cos 2α
(2)(多选题)已知0<β<α<,且sin(α-β)=,tan α=5tan β,则 (　 )
A.sin αcos β= B.sin βcos α=
C.sin 2αsin 2β= D.α+β=
　三角函数式的求值
题型1　给值求值
例2 (1)[2026·陕西咸阳模拟] 已知tan=-3,则cos 2α= (　 )
A.- B.- C.- D.-
(2)若α∈,sin=-,则cos的值为 (　 )
A. B.
C. D.
题型2　给角求值
例3 (1)化简求值:cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°=　　　　.
(2)tan 10°+=　　　　.
题型3　给值求角
例4 (1)[2026·江苏连云港期中] 已知tan α,tan β是方程x2-4x-3=0的两个根,且α,β∈,则α+β的值为 (　 )
A. B. C. D.
(2)若cos 2α=-,sin(β-α)=,且α∈,β∈,则α+β= (　 )
A. B. C. D.
总结反思
1.给值求值
是指已知某个角的三角函数值(或三角函数式的值),求与该角相关的其他三角函数值(或三角函数式的值)的问题,解题关键是观察已知角与待求角的特征,合理“变角”,使角相同或具有某种关系,即可利用和、差、倍角公式进行求解.
2.给角求值
该类问题中给出的角一般都不是特殊角,需要通过三角恒等变换将其变为特殊角,或者能够正负相消,或者能够约分相消,最后得到具体的值.
3.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,有以下原则:
(1)已知正切函数值,则选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,则选正弦或余弦函数.若角的范围是,则选正弦、余弦函数皆可;若角的范围是(0,π),则选余弦函数较好;若角的范围是,则选正弦函数较好.这样选,主要是避免出现多值对应.
【对点演练2】 (1)[2026·山东烟台期中] 若tan α=3,则sin 2α-2cos2α= (　 )
A.- B. C.- D.
(2)[2025·河北石家庄期末] sin240°+sin220°+cos 50°cos 70°= (　 )
A.1 B.2 C. D.
(3)已知α,β∈(0,π),且tan α=,cos β=,则α+β= (　 )
A. B. C. D.
(4)已知tan=2,则sin的值为　　　　.
　三角恒等变换的综合应用
例5 (1)[2025·云南曲靖质检] 在扇形AOB中,以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,若=(10,0),=(8,6),C为的中点,则= (　 )
A.(9,3)
B.(3,)
C.(5,5)
D.(4,2)
(2)[2026·江西南昌模拟] 已知f(x)=sincos x+sin-,若af-f≥2对任意的x∈恒成立,则a的取值范围是　　　　　　.
总结反思
(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.
(2)形如y=asin x+bcos x的式子可化为y=·
sin(x+φ),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与其图象对称性.
【对点演练3】 (1)如图,在扇形OPQ中,OP=1,∠POQ=,C是弧PQ上的动点,矩形ABCD内接于扇形,则下列说法正确的是 (　 )
A.当∠POC=时,矩形ABCD为正方形
B.当∠POC=α时,AB=cos α-sin α
C.△OBC面积的最大值为
D.矩形ABCD面积的最大值为
(2)[2025·山东淄博联考] 已知向量a=(cos x,1),b=(sin x,2),cos x≠0,且a∥b,则=　　　　.

展开更多......

收起↑