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第23讲　三角函数的图象与性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)　　(2)　
2.[-1,1]　[-1,1]　R　奇函数　偶函数　　[2kπ-π,2kπ]　x=kπ　(kπ,0)
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)正切函数y=tan x在每一个区间,k∈Z上都单调递增,但在定义域内不是增函数,故错误.
(2)y=sin|x|是偶函数,不是周期函数,故错误.
(3)由正弦函数的单调性可知正确.
题组二
1.　[解析] f(x)的最小正周期T==.
2.(答案不唯一)　[解析] 由题知,ω+=+kπ,k∈Z,解得ω=+kπ,k∈N,又ω>0,所以ω的一个可能的值为.
3.(k∈Z)
[解析] 因为f(x)=sin=-sin,所以要求f(x)=sin的单调递增区间,只需求y=sin的单调递减区间.令+2kπ≤x-≤+2kπ(k∈Z),可得+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z),所以y=sin的单调递减区间为(k∈Z),即为函数f(x)=sin的单调递增区间.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)B　(3)2　　[解析] (1)由题知2x-≠+kπ,k∈Z,解得x≠+,k∈Z.故选C.
(2)对于A,B选项,当x∈[a,a+1]时,x-∈,易知a+-=,f(x)的最小正周期为=4,
显然m的最小值为-2,只需内有-+2k1π,k1∈Z即可.作出y=sin x的部分图象,如图所示,
易得当时,m取得最大值,最大值为,故-2≤m≤,A错误,B正确.对于C,D选项,同理可得M的最大值为2,只需内有+2k3π,k3∈Z即可.
当时,M取得最小值,最小值为-,故-≤M≤2,C,D错误.故选B.
(3)f(x)=sin x-cos x=2sin,当x∈[0,π]时,x-∈,故当x-=,即x=时,f(x)max=2.
对点演练1　(1)B　(2)　(3)　(4)
[解析] (1)当x∈时,2x∈,由正弦函数的性质可知,当2x=时,函数f(x)取得最小值-,即m=-;当2x=时,函数f(x)取得最大值1,即M=1,所以M-m=.故选B.
(2)对于函数f(x)=lg(2sin x-1),由2sin x-1>0,可得sin x>,解得2kπ+(3)f(x)=sin x-2cos x=,令cos φ=,sin φ=-,则f(x)=(sin xcos φ+sin φcos x)=sin(x+φ),易知当x+φ=2kπ+,k∈Z,即x=2kπ+-φ,k∈Z时,f(x)取得最大值,则θ=2kπ+-φ,k∈Z,所以sin θ=sin=sin=cos φ=,k∈Z.
(4)由x∈,可得2ωx-∈,令t=2ωx-,t∈,由题意可知y=cos t在上可取到-1,结合余弦函数的性质可知需满足-≥π,解得ω≥,所以ω的最小值为.
探究点二
例2　(1)D　(2)C　(3)B　[解析] (1)令3x-=kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z.当k=0时,x=,所以函数f(x)=10cos的图象的一条对称轴方程为x=.故选D.
(2)f(x)=2sin2+cos 2x=1-cos+cos 2x=1-sin 2x+cos 2x=2+1=2sin+1,∴ω=2,∴T=π,故选C.
(3)因为y=tan x的图象的对称中心为点,k∈Z,所以y=2tan的图象的对称中心为点,k∈Z,所以a=+,k∈Z,又a>0,所以a的最小值为.故选B.
对点演练2　(1)B　(2)A　(3)B
[解析] (1)易知函数y=|tan x|的最小正周期与y=tan x的最小正周期一致,均为π,所以函数f(x)的最小正周期为π.故选B.
(2)由题知g(x)=f=sin+3=sin+3.令2x+=kπ,k∈Z,解得x=-+,k∈Z,所以函数g(x)图象的对称中心为,k∈Z,所以当k=0时,为函数g(x)图象的一个对称中心.故选A.
(3)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度,可得g(x)=sin=sin的图象.因为g(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)是偶函数,所以当x=0时,2x++φ=kπ+(k∈Z),即+φ=kπ+(k∈Z),可得φ=kπ+-=kπ-(k∈Z).当k=0时,φ=-,此时|φ|min==.故选B.
探究点三
例3　(1)C　(2)D　(3)C　[解析] (1)由2kπ<2x-<2kπ+π,k∈Z,得kπ+(2)对于A,该函数的最小正周期为=π,由x∈,得2x∈,此时y=sin 2x单调递减,故A不符合题意;对于B,该函数的最小正周期为=π,由x∈,得2x∈,此时y=cos 2x单调递减,故B不符合题意;对于C,该函数的最小正周期为π,当x∈时,y=|cos x|=cos x单调递减,故C不符合题意;对于D,该函数的最小正周期为π,当x∈时,y=|sin x|=sin x单调递增,故D符合题意.故选D.
(3)由-+kπ<2x-<+kπ,k∈Z,可得-+例4　(1)D　(2)　[解析] (1)由题可知f(x)的最小正周期T=,因为f(x)在区间上单调,所以T≥-=π,则≥π,解得0<ω≤1.当x∈时,ωx+∈,且+∈,+∈,由已知得<+≤π,解得0<ω≤,结合0<ω≤1,得ω的取值范围为.故选D.
(2)令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,则f(x)的单调递增区间为因为f(x)在区间[-a,a](a>0)上单调递增,所以-a≥-+kπ,a≤+kπ,k∈Z,即a≤-kπ且a≤+kπ,a>0,k∈Z,若k>0,则不等式组的解集为空集;若k=0,则0例5　(1)D　(2)D　[解析] (1)a=cos=cos,b=cos=cos=-cos<0,c=sin=cos=cos,因为0<<<,且y=cos x在上单调递减,所以cos>cos>0,即c>a>0>b,所以c>a>b.故选D.
(2)a=cos 7°-sin 7°=cos 60°cos 7°-sin 60°sin 7°=cos 67°=cos(90°-23°)=sin 23°,b=====
2sin 12°cos 12°=sin 24°,c===sin 25°,
由正弦函数的性质知sin 23°对点演练3　(1)B　(2)C　(3)C　(4)D
[解析] (1)y=cos x的最小正周期为2π,y=sin的最小正周期为4π,故A,D不符合题意;y=tan x在上单调递增,故C不符合题意;y=|sin x|的最小正周期为π,且在区间上单调递减,故B符合题意.故选B.
(2)因为f(x)=tan x在(-1,1)内单调递增,并且f(x)是奇函数,所以tan a+tan b>0 tan a>-tan b tan a>tan(-b) a>-b a+b>0,所以“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的充要条件,故选C.
(3)由函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,得≥2=π,解得0<ω≤2.由f(x)的图象关于点对称,得ω-=kπ,k∈N,解得ω=3k+,k∈N.综上,k=0,ω=,则f(x)=sin,所以f=sin=sin=.故选C.
(4)因为f=f,所以f(x)的图象关于直线x==对称,又f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=-f(2+x)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.对于A,若f(x)=sin,则其最小正周期T==4,又f=sin=sin=,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故A不符合题意;对于B,若f(x)=cos,则其最小正周期T==4,又f=cos=cos=,所以f(x)的图象不关于直线x=对称,故B不符合题意;对于C,若f(x)=4sin,则其最小正周期T==2,则f(x+2)=f(x),又f(x)=-f(x)不恒成立,所以f(2+x)=-f(x)不恒成立,故C不符合题意;对于D,若f(x)=2cos,则其最小正周期T==4,又f=2cos=2cos π=-2,满足f(x)的图象关于直线x=对称,故D符合题意.故选D.第23讲　三角函数的图象与性质
【课标要求】　1.能画出三角函数的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值.
2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在上的性质.
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,0),　　　　,(π,0),　　　　,(2π,0).
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:(0,1),　　　　,(π,-1),　　　　,(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义 域 R R
值域 　　　 　　　 　　　
周期 2π 2π π
奇偶性 　　　 　　　 奇函数
在上单调递增;在　　　 　　　　上单调递减 在[2kπ,2kπ+π]上单调递减;在　　　 　　　　上单调递增 在上单调递增
零点 kπ +kπ kπ
对称轴 x=kπ+ 　　　 无
对称中心 　　
常用结论
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是个最小正周期,相邻对称中心与对称轴之间的距离是个最小正周期;
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是个最小正周期.
2.奇偶性
设f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)正切函数y=tan x在定义域内是增函数. (　 )
(2)y=sin|x|是偶函数也是周期函数. (　 )
(3)正弦函数在内单调递增. (　 )
题组二　教材改编
1.函数f(x)=3sin的最小正周期是　　　　.
2.若直线x=1是函数f(x)=sin(ω>0)图象的一条对称轴,则ω的一个可能的值为　　　　.
3.函数f(x)=sin的单调递增区间为　　　　　　　　.
　三角函数的定义域与值域(最值)
例1 (1)函数f(x)=tan的定义域为 (　 )
A.
B.
C.
D.
(2)[2026·福建宁德三模] 若函数f(x)=2sin在区间[a,a+1]上的最小值为m,最大值为M,则 (　 )
A.-2≤m≤- B.-2≤m≤
C.≤M≤2 D.-≤M≤2
(3)[2024·全国甲卷] 函数f(x)=sin x-cos x在[0,π]上的最大值是　　　　.
总结反思
1.求三角函数的定义域,实际上是解简单的三角函数不等式(组),常借助三角函数线或三角函数的图象来求解.
2.求解三角函数的值域(最值)的几种方法:
(1)形如y=asin x+bcos x+c的三角函数,化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求值域(最值);
(2)形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可设t=sin x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值);
(3)形如y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c(a≠0)的三角函数,可设t=sin x±cos x,化为关于t的二次函数,再求值域(最值).
【对点演练1】 (1)设函数f(x)=sin 2x在区间上的最小值和最大值分别为m和M,则M-m= (　 )
A.2 B. C. D.
(2)[2025·黑龙江哈尔滨期末] 函数f(x)=lg(2sin x-1)的定义域为　　　　.
(3)[2026·湖北十堰教联体期中] 设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则sin θ=　　　　.
(4)已知函数f(x)=2cos-1(ω>0)在上的最小值为-3,则ω的最小值为　　　　.
　三角函数的周期性与对称性
例2 (1)[2026·河南驻马店模拟] 函数f(x)=10cos的图象的一条对称轴方程为 (　 )
A.x=- B.x=-
C.x=0 D.x=
(2)函数f(x)=2sin2+cos 2x的最小正周期为 (　 )
A.2π B. C.π D.
(3)[2025·全国一卷] 已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan图象的一个对称中心,则a的最小值为 (　 )
A. B. C. D.
总结反思
已知ω>0,A≠0,则函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
对于函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0),其图象的对称轴一定经过函数图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时,可通过计算f(x0)的值进行判断.
【对点演练2】 (1)函数f(x)=2025·|tan x|的最小正周期是 (　 )
A.2π B.π
C. D.
(2)[2026·河北石家庄质检] 将函数f(x)=sin+3的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的一个对称中心是 (　 )
A. B.
C. D.
(3)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则|φ|的最小值为 (　 )
A. B.
C. D.
　三角函数的单调性
题型1　求三角函数的单调区间
例3 (1)函数f(x)=cos的一个单调递减区间为 (　 )
A. B.(0,π)
C. D.
(2)下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递增的是 (　 )
A.y=sin 2x B.y=cos 2x
C.y=|cos x| D.y=|sin x|
(3)[2025·陕西榆林模拟] 函数f(x)=tan的单调递增区间是 (　 )
A.R
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
题型2　根据单调性求参数
例4 (1)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上单调,则ω的取值范围为(　 )
A. B.
C. D.
(2)[2026·陕西汉中二模] 已知函数f(x)=sin,若f(x)在区间[-a,a](a>0)上单调递增,则a的最大值为　　　　.
题型3　比较函数值的大小
例5 (1)[2026·山东聊城期中] 已知a=cos,b=cos,c=sin,则 (　 )
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>a>b
(2)设a=cos 7°-sin 7°,b=,c=,则 (　 )
A.cC.b总结反思
1.求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法:将比较复杂的三角函数解析式中含自变量的代数式(如ωx+φ)整体当作一个角,利用基本三角函数(y=sin x,y=cos x,y=tan x)的单调性列不等式求解.
(2)图象法:画出三角函数的图象,利用图象求函数的单调区间.
提醒:要注意求函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的单调区间时ω的符号,若ω<0,那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数,同时切莫忘记考虑函数自身的定义域.
2.已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解.
3.比较三角函数值大小的方法
先统一为同名的三角函数,然后利用诱导公式把角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调性比较.
【对点演练3】 (1)[2026·浙江宁波模拟] 下列四个函数中,以π为最小正周期,且在区间上单调递减的是 (　 )
A.y=cos x B.y=|sin x|
C.y=tan x D.y=sin
(2)[2026·山东临沂模拟] 已知f(x)=tan x,a∈(-1,1),b∈(-1,1),则“a+b>0”是“f(a)+f(b)>0”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增,且其图象关于点对称,则f= (　 )
A.- B.- C. D.
(4)若函数f(x)满足对任意的x∈R,都有f=f,f(2+x)=-f(x),则f(x)的解析式可能为 (　 )
A.f(x)=sin
B.f(x)=cos
C.f(x)=4sin
D.f(x)=2cos

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