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第24讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用
【课标要求】　1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响.
2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
振幅 最小正 周期 频率 相位 初相
y= Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) A T= 　　 f== 　　 　　 　　
2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,要找五个特征点,如下表所示:
x 　　 　　 　　 　　 　　
ωx+φ 　　 　　 　　 　　 　　
y= Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤
常用结论
1.“五点法”作图中,相邻两点的横向距离均为(T为函数的最小正周期).
2.若直线x=a为正(余)弦曲线的对称轴,则正(余)弦函数一定在x=a处取得最值.
3.若函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为M,最小值为m,则A=,k=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用“五点法”作函数y=2sin在一个周期上的简图时,可取第一个点为. (　 )
(2)把函数y=cos x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=cos 3x的图象. (　 )
(3)要得到y=cos的图象,只需将y=sinx的图象向左平移个单位长度.(　 )
题组二　教材改编
1.y=2sin的振幅、频率和初相依次为　　　　　　　　.
2.把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数的解析式是　　　　.
3.将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象,则ω的最小值是　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
例1 (1)函数y=sin的图象可以由(　 )
A.y=sin x的图象向右平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)得到
B.y=sin x的图象向左平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)得到
C.y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),再将曲线向右平移个单位长度得到
D.y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),再将曲线向左平移个单位长度得到
(2)[2026·江苏南通模拟] 将函数f(x)=sin(ω>0)的图象向左平移个单位长度后,所得图象与函数g(x)=cos的图象重合,则ω的最小值为 (　 )
A.2 B.3 C.6 D.9
总结反思
三角函数图象变换的解题策略
(1)定函数:一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.
(2)变同名:如果变换前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先利用诱导公式化为同名函数,ω为负值时应先变成正值.
(3)选方法:根据变换前后函数的特点,选择先平移后伸缩还是先伸缩后平移.
注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
【对点演练1】 (1)[2026·广东茂名质检] 已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象相邻的两条对称轴间的距离为,为得到y=f(x)的图象,可将y=cos x的图象(　 )
A.先向右平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
B.先向右平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变
C.先向右平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
D.先向右平移个单位长度,再把曲线上各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变
(2)[2026·河北秦皇岛模拟] 已知函数f(x)=sin,将f(x)的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,则φ的值为 (　 )
A.- B.- C. D.
　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与解析式
例2 (1)[2026·甘肃白银模拟] 如图,将函数f(x)=4sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移得到g(x)=4sin ωx的图象,其中点A是g(x)图象上的最高点,N,M分别是f(x),g(x)的图象与x轴的相邻交点,若MN=AM,△AMN的面积为10,则f(x)= (　 )
A.4sin
B.4sin
C.4sin
D.4sin
(2)[2025·黑龙江牡丹江模拟] 函数f(x)=2sin(0<ω<1)的图象如图所示,将f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到y=g(x)的图象,则下列说法中错误的是 (　 )
A.ω=
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数y=g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g在上单调递减
(3)(多选题)如图是函数f(x)=2cos(ωx+φ)的部分图象,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)=2cos
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在(-1,2)上单调递增
D.f(x)的图象向左平移个单位长度后,所得图象对应的函数为奇函数
总结反思
根据三角函数的图象求解析式,即求参数,确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω,确定函数的最小正周期T,则可得ω=.
(3)求φ,常用的方法有:
①代入法:把图象上的一个已知点的坐标代入(此时A,ω,b已知)或代入图象与直线y=b的交点的坐标求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②特殊点法:确定φ值时,往往以寻找“最值点”为突破口.具体如下:“最大值点”(即图象的“峰点”)时,ωx+φ=+2kπ(k∈Z);“最小值点”(即图象的“谷点”)时,ωx+φ=+2kπ(k∈Z).
提醒:如果已知图象上有“最值点”(即图象的“峰点”或“谷点”),最好代入“最值点”坐标求解.若将图象上除“最值点”外的点的坐标代入解析式求解,则需注意点在上升区间还是在下降区间上.
【对点演练2】 (1)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,该图象与x轴的交点为M,与y轴的交点为N,最高点为P(1,A),且满足NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1个单位长度后,得到的图象对应的函数为g(x),则g(-2)=(　 )
A. B.0
C. D.-
(2)(多选题)如图,直线l:y=m(m>0)与函数f(x)=2sin(ω>0)的图象依次交于A,B,C三点,若BC=2AB,AC=6,则 (　 )
A.m=1
B.ω=π
C.直线x=-是f(x)图象的一条对称轴
D.f(x)的图象向右平移1个单位长度后,所得图象关于原点对称
　函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用
例3 (1)将函数y=sin的图象上的点沿x轴向左或向右平移s(s>0)个单位长度后,所得点正好位于函数y=sin 2x的图象上,则 (　 )
A.t=,s的最小值为
B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为
D.t=,s的最小值为
(2)(多选题)[2025·山东菏泽二模] 已知函数f(x)=sin 2x+cos 2x,函数g(x)=sin 2x-cos 2x,则下列结论正确的有 (　 )
A.f(x)的图象与g(x)的图象有相同的对称轴
B.f(x)与g(x)有相同的最小正周期
C.将f(x)的图象向右平移个单位长度,可得到g(x)的图象
D.f(x)与g(x)的图象在上只有一个交点
总结反思
1.三角函数图象与性质综合问题的求解思路:
(1)将函数解析式整理成y=Asin(ωx+φ)+B(ω>0)或y=Acos(ωx+φ)+B(ω>0)的形式;
(2)把ωx+φ看成一个整体;
(3)借助正弦函数y=sin x或余弦函数y=cos x的图象与性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题.
2.解决三角函数中的零点(方程根)问题的关键是根据条件作出对应函数的图象,然后再将函数零点(方程根)的问题转化为图象的交点问题,利用数形结合思想解决.
【对点演练3】 (1)(多选题)[2026·山东泰安模拟] 函数f(x)=2sin(ωx+φ)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C 为图象与x轴的交点,点B,且△ABC为正三角形,则下列说法正确的是 (　 )
A.ω=
B.当x∈(0,2)时,函数f(x)的取值范围为(,2]
C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称
D.若f(x0)=,且x0∈,则cos=-
(2)(多选题)[2025·辽宁盘锦三模] 已知函数f(x)=sin 2x,g(x)=cos(ωx+φ),f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x=对称,若h(x)=f(x)-g(x),则 (　 )
A.φ=-
B.直线x=为h(x)图象的一条对称轴
C.g(x)在上单调递减
D.函数h(x)在[-π,π]上有5个零点
　三角函数模型
例4 (1)某地区2024年全年月平均温度y(单位:℃)与月份t之间近似满足y=Asin+k(A>0,-π<φ<0).已知该地区2024年2月份的月平均温度为-1 ℃,全年月平均温度最高的月份为6月份,且6月份的平均温度为32 ℃,则该地区2024年12月份的平均温度为 (　 )
A.-12 ℃ B.-10 ℃
C.-9 ℃ D.-6 ℃
(2)(多选题)[2026·安徽池州质检] 某弹簧振子(简称振子)在完成一次简谐运动的过程中,时间x(单位:秒)与位移y(单位:毫米)满足y=2sin,x∈[0,+∞),则下列叙述中正确的是 (　 )
A.当x=π时,y=1
B.该简谐运动的初相为-
C.该函数的一个极值点为
D.该函数在上单调递增
总结反思
三角函数模型的实际应用问题的常见类型及解题关键:
(1)已知函数解析式(模型),利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
(2)当函数解析式未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.其关键是利用三角函数解析式中的相关参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型.
【对点演练4】 (1)已知摩天轮的半径为80米,摩天轮中心O到地面的距离为82米,摩天轮每30分钟按逆时针方向匀速转动1圈.若某座舱的初始位置P0距地面的高度为42米,以摩天轮的中心O为坐标原点,过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,如图所示.设座舱从点P0运动到点P时所经过的时间为t(单位:分钟),且此时点P距离地面的高度为h(t)(单位:米),则当t≥0时,h(t)= (　 )
A.80sin+82 B.160sin+82
C.80sin+82 D.80sin+82
(2)(多选题)如图①是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立如图②所示的平面直角坐标系,h(t)(单位:m)表示在时间t(单位:s)时,过山车(看作质点)离地平面的高度.轨道
最高点P距离地平面50 m,最低点Q距离地平面10 m.入口处M距离地平面20 m.当t=4 s时,过山车到达最高点P,当t=10 s时,过山车到达最低点Q.设h(t)=Asin(ωt+φ)+B,则下列结论正确的是 (　 )
A.函数h(t)的最小正周期为12
B.φ=
C.当t=26 s时,过山车距离地平面40 m
D.一个周期内过山车距离地平面高于20 m的时间是4 s第24讲　函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数的应用
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.　　ωx+φ　φ
2.　　　　 0　　π　　2π
3.|φ|　
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)令x+=0,得x=-,故用“五点法”作函数y=2sin在一个周期上的简图时,可取第一个点为,故正确.
(2)把函数y=cos x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变,得到函数y=cos的图象,故错误.
(3)y=cos=sin=sin,故要得到y=cos的图象,只需将函数y=sinx的图象向左平移个单位长度,故错误.
题组二
1.2,,-　[解析] 由题意知振幅A=2,频率f===,初相φ=-.
2.y=sin　[解析] 把函数y=sin的图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin=sin的图象,故所求的函数解析式为y=sin.
3.　[解析] 由题意得g(x)=cos=cos,因为g(x)为偶函数,所以ω+=kπ,k∈Z,解得ω=-+4k,k∈Z,又ω>0,所以当k=1时,ω取得最小值.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)B　[解析] (1)对于A,将y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将y=sin图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故A错误;对于B,将y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到y=sin的图象,再将y=sin图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图象,故B错误;对于C,将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到y=sin 2x的图象,再将y=sin 2x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin 2=sin的图象,故C正确;对于D,将y=sin x的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sinx的图象,再将y=sinx的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,故D错误.故选C.
(2)将f(x)=sin的图象向左平移个单位长度,得到y=sin=sin的图象,因为所得图象与g(x)的图象重合,所以=+2kπ,k∈Z,所以ω=3+12k,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为3.故选B.
对点演练1　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题意可知f(x)的最小正周期T=×2=π,因为=T=π,所以ω=2,所以f(x)=sin=cos=cos,所以可将y=cos x的图象先向右平移个单位长度,得到y=cos的图象,再将所得图象上各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变,得到y=cos的图象,即f(x)=sin的图象.故选A.
(2)依题意得,g(x)=f(x-φ)=sin,由g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,得g(x)=f(-x)对任意的x∈R恒成立,即sin=sin对任意的x∈R恒成立.当3x-3φ+=-3x++2kπ,k∈Z时,x=+,k∈Z,此式不恒成立,舍去.当3x-3φ+-3x+=π+2kπ,k∈Z时,φ=--,k∈Z,因为|φ|<,所以k=0,φ=-.故选B.
探究点二
例2　(1)A　(2)C　(3)AC　[解析] (1)由点A向x轴作垂线,垂足为P,易知AP=4,则S△AMN=MN·AP=2MN=10,解得MN=5,∵MN=AM,∴AM=5.在Rt△AMP中,AM===5,∴PM=3,又PM=(其中T为f(x)的最小正周期),∴T=12,∴ω=.由题图可知,平移后的图象过原点,平移后的图象所对应的函数解析式为g(x)=4sinx,∵MN=5,∴将g(x)的图象向右平移5个单位长度,可得f(x)的图象,故f(x)=4sin=4sin.故选A.
(2)对于A选项,由题图可知,函数f(x)的图象过点,∴f=2sin=2,∴sin=1,∴+=+2kπ,k∈Z,解得ω=+6k,k∈Z,∵0<ω<1,∴ω=,故A中说法正确;对于B选项,f(x)=2sin,令x+=kπ,k∈Z,得x=-+kπ,k∈Z,∴f(x)的图象关于点(k∈Z)对称,当k=0时,函数f(x)的图象关于点对称,故B中说法正确;对于C选项,将f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)=2sin=2sin=2cos x的图象,则g(x)的图象的对称轴为直线x=kπ,k∈Z,故C中说法错误;对于D选项,函数y=g=2cos,当x∈时,2x+∈ [0,π],∴函数y=g在上单调递减,故D中说法正确.故选C.
(3)对于A,由f(0)=1,得cos φ=,由-<φ<0,得φ=-,由f=0,得cos=0,故-(ω+1)=+kπ(k∈Z,且k≤-1),化简得ω=--3k(k∈Z,且k≤-1),由题图可知该函数的最小正周期T=>×4,故0<ω<,综上可得ω=,所以f(x)=2cos,故A正确;对于B,由f=2cos≠0,得f(x)的图象不关于点对称,故B错误;对于C,由-1对点演练2　(1)D　(2)AC　[解析] (1)由题知,函数f(x)的最小正周期T满足=xM-xP=-1=,解得T=6,所以ω==,则f(x)=Asin.由点M在f(x)的图象上,得×+φ=π+2kπ(k∈Z),则φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以φ=,即f(x)=Asin,则f(0)=Asin=A,所以f(x)的图象与y轴的交点为N,则=,=.因为NM⊥NP,所以·=-=0,解得A=-(舍去)或A=,所以f(x)=sin.若将f(x)的图象向左平移1个单位长度后,得到的图象对应的函数为g(x),则g(x)=sin=cosx,所以g(-2)=cos=-.故选D.
(2)因为BC=2AB,AC=6,所以BC=4,AB=2,所以函数f(x)的最小正周期为6=,所以ω=,故选项B错误;函数f(x)=2sin,当函数f(x)取得最大值时,x-=2kπ+,k∈Z,解得x=6k+,k∈Z,故函数f(x)位于y轴右侧的第一个最大值点的横坐标为,又AB=2,所以xA=-1=,所以m=2sin=2sin=1,故选项A正确;当x=-时,f=2sin=-2,故直线x=-是f(x)图象的一条对称轴,故选项C正确;f(x)的图象向右平移1个单位长度后,得到y=2sin=2sin的图象,显然所得图象不关于原点对称,故选项D错误.故选AC.
探究点三
例3　(1)D　(2)BCD　[解析] (1)依题意得,t=sin=sin=.若点沿x轴向左平移s(s>0)个单位长度,则可得到点,此时sin 2=cos 2s=;若点沿x轴向右平移s(s>0)个单位长度,则可得到点,此时sin 2=cos 2s=.由cos 2s=,得2s=+2kπ,k∈N或2s=-+2kπ,k∈N*,解得s=+kπ,k∈N或s=-+kπ,k∈N*,所以smin=.故选D.
(2)由f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,可得f(x)的最小正周期为π,由g(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,可得g(x)的最小正周期为π,故B正确;由2x+=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,则f(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z,由2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,则g(x)图象的对称轴为直线x=+,k∈Z,故A错误;将f(x)的图象向右平移个单位长度,可得f=2sin=2sin=g(x)的图象,故C正确;由f(x)=g(x)可得sin=sin,因为2x+≠2x-+2kπ,k∈Z,所以2x++2x-=π+2kπ,k∈Z,解得x=+,k∈Z,因为x∈,所以x=,故D正确.故选BCD.
对点演练3　(1)ABD　(2)BC
[解析] (1)由题知△ABC的高为2,所以BC=4,所以函数f(x)的最小正周期T=8,则ω=,故A正确.因为f(x)的图象过点B,所以-×+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin,当x∈(0,2)时,(2)在函数g(x)的图象上任取一点(x,y),则此点关于直线x=的对称点在f(x)的图象上,故y=sin 2=sin=cos,所以g(x)=cos,故ω=2,φ=-,故A错误;由题知h(x)=sin 2x-sin 2x-cos 2x=sin,则h=1,所以直线x=为h(x)图象的一条对称轴,故B正确;当x∈时,2x-∈,故g(x)在上单调递减,故C正确;h(x)=f(x)-g(x)=sin,令sin=0,得2x-=kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,令-π≤+≤π,解得-≤k≤,又k∈Z,所以k=-2,-1,0,1,所以函数h(x)在[-π,π]上有4个零点,故D错误.故选BC.
探究点四
例4　(1)A　(2)ABD　[解析] (1)由题意可知,直线t=6是曲线y=Asin+k的一条对称轴,所以6×+φ=2kπ+,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z.又-π<φ<0,所以φ=-,所以y=Asin+k=-Acost+k.因为该地区2024年全年月平均温度的最大值为32 ℃,所以A+k=32①.又当t=2时,y=-1,所以-Acos+k=-1,所以A-2k=2②.由①②解得A=22,k=10,所以y=-22cost+10,则当t=12时,y=-22cos+10=-12 ℃.故选A.
(2)当x=π时,y=2sin=2sin=2sin=2sin=2×=1,选项A正确.在函数y=2sin中,φ=-,所以该简谐运动的初相为-,选项B正确.由y=2sin,可得y'=6cos,当x=时,y'=6cos=6cos=6cos 0=6≠0,所以不是该函数的极值点,选项C错误.令2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得-≤x≤+,k∈Z,当k=0时,该函数的单调递增区间为,因为 ,所以该函数在上单调递增,选项D正确. 故选ABD.
对点演练4　(1)A　(2)AC　[解析] (1)由题意得∠xOP0=,而-是以Ox为始边,OP0为终边的角,经过时间t,OP转过的角为t=t,可知以Ox为始边,OP为终边的角为t-,则点P的纵坐标为80sin,所以点P距地面的高度h(t)=80sin+82.故选A.
(2)由题意可知,最小正周期T满足=10-4=6,得T=12,故A正确;所以=12,得ω=,由解得所以h(t)=20sin+30,又h(0)=20,所以20sin φ+30=20,得sin φ=-,因为|φ|<,所以φ=-,故B错误;所以h(t)=20sin+30,则h(26)=20sin+30=40(m),故C正确;由h(t)>20,得20sin+30>20,即sin>-,则-+2kπ

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