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微专题4　三角函数中与ω范围有关的问题
● 课堂考点探究
微点一
例1　B　[解析] 由题可知,g(x)=cos=cos,当x∈时,ωx-+∈.因为g(x)在区间上单调递减,所以+≤π,解得ω≤5,又ω>0,所以0<ω≤5,即ω的最大值为5.故选B.
例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)将函数g(x)=sin(ω∈N*)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,则f(x)=sin(ω∈N*),当0(2)f(x)=sin ωx-cos ωx-2=2-2=2sin-2,因为sin∈[-1,1],所以f(x)∈[-4,0],因为对任意的λ∈R,f(x)在区间上的取值范围均为[-4,0],所以必须大于f(x)的最小正周期,即>(ω>0),解得ω>6,即ω的取值范围为(6,+∞).故选A.
例3　(1)A　(2)A　[解析] (1)函数y=cos的图象向左平移个单位长度后,得到f(x)=cos=cos的图象,因为f(x)为奇函数,所以ω+=kπ+,k∈Z,即ω=+,k∈Z,又ω>0,所以ω的最小值为,故选A.
(2)由题知函数y=sin=sin为偶函数,所以-=+kπ,k∈Z,解得ω=15+12k,k∈Z,因为|ω|取得最小值,所以k=-1,此时ω=3,故选A.
对点演练1　(1)B　(2)6　[解析] (1)因为f(x)的图象关于点对称,所以f=0,即sin=0,所以ω-=kπ(k∈Z),解得ω=+(k∈Z).因为x∈,ω>0,所以ωx-∈,因为f(x)在上单调递增,所以-≤,可得0<ω≤.综上,ω=.故选B.
(2)由题可得g(x)=sin,因为f(x)的图象与g(x)的图象关于点对称,所以sin=-sin,化简得sin=sin,即sin=sin,故=2kπ,k∈Z,即ω=6k,k∈Z,因为ω>0,所以ω的最小值为6.
微点二
例4　(1)C　(2)D　[解析] (1)函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0).设函数f(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*),所以T==(k∈N*),即ω=2k(k∈N*).因为函数f(x)在上存在零点,且当x∈时,ωx+∈,所以+≥π,即ω≥3.综上可得,ω的最小值为4.故选C.
(2)f(x)=sin ωx-cos ωx+=2sin+,令f(x)=0,即2sin+=0,则sin=-.令t=ωx-,则当x∈,ω>0时,t∈.要使函数f(x)在区间上有且仅有3个零点,则需满足≤-<,解得4≤ω<,所以实数ω的取值范围是.故选D.
对点演练2　(1)D　(2)A　(3)
[解析] (1)f(x)=sin ωx-cos ωx=2=2sin,令f(x)=-1,得sin=-,令t=ωx-,由x∈(0,π),得t∈.若要使集合{x|f(x)=-1,x∈(0,π)}恰有3个元素,则需满足<ωπ-≤,解得<ω≤4.故选D.
(2)由题可知,g(x)=sin,当x∈时,ωx-∈,因为函数g(x)在上有两个零点,所以π≤-<2π,解得≤ω<,故选A.
(3)当x∈(-π,π),ω>0时,ωx-∈,由函数f(x)在区间(-π,π)上有且仅有1个零点,f(x)的图象在(-π,π)上有且仅有1条对称轴,>,得或
解得或则<ω≤,所以实数ω的取值范围是.微专题4　三角函数中与ω范围有关的问题
微点一　三角函数的性质与ω的关系
题型1　三角函数的单调性与ω的关系
例1 将函数f(x)=cos(ω>0)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)在区间上单调递减,则ω的最大值为 (　 )
A.6 B.5 C.3 D.2
题型2　三角函数的最值(极值)与ω的关系
例2 (1)将函数g(x)=sin(ω∈N*)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数f(x)的图象,若f(x)在上只有一个极大值点,则ω的最大值为(　 )
A.5 B.4 C.3 D.2
(2)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx-2(ω>0),若对任意的λ∈R,f(x)在区间上的取值范围均为[-4,0],则ω的取值范围为 (　 )
A.(6,+∞) B.
C.(0,6) D.
题型3　三角函数的对称性、奇偶性与ω的关系
例3 (1)[2026·福建龙岩质检] 若函数y=cos(ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到一个奇函数的图象,则ω的最小值为 (　 )
A. B.1 C. D.3
(2)已知函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后,得到的图象关于y轴对称,则满足上述条件且|ω|取得最小值的ω的值为 (　 )
A.3 B.-3 C.15 D.2
总结反思
(1)解决已知三角函数的单调区间求参数ω的取值范围问题时,可求出所给函数的相应单调区间,根据已知区间是相应单调区间的子集列不等式(组)求解,也可由所给区间求出整体角的范围,根据该范围是正(余)弦函数的相应单调区间的子集列不等式(组)求解.
(2)最小正周期T=,往往通过求T来确定ω.
(3)解决三角函数的奇偶性问题时,要结合五点作图法,根据正弦(型)、余弦(型)函数图象的对称性求解ω.
【对点演练1】 (1)[2025·安徽A10联盟期中] 已知函数f(x)=sin(ω>0)的图象关于点对称,且在上单调递增,则ω的值为 (　 )
A. B. C.1 D.2
(2)函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,且f(x)的图象与g(x)的图象关于点对称,那么ω的最小值为　　　　.
微点二　三角函数的零点与ω的关系
例4 (1)[2025·北京卷] 设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f(x+π)=f(x)恒成立,且f(x)在上存在零点,则ω的最小值为 (　 )
A.8 B.6 C.4 D.3
(2)[2025·山东济宁模拟] 已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx+(ω>0)在区间上有且仅有3个零点,则实数ω的取值范围是 (　 )
A.　　　　　　 B.
C. D.
总结反思
(1)研究函数的零点个数问题时,往往采取整体换元的思想,即通过ωx+φ的取值情况确定函数零点的情况,得到关于ωx+φ的方程或不等式,进而得到ω的值或取值范围.
(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
【对点演练2】 (1)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0),若集合{x|f(x)=-1,x∈(0,π)}恰有3个元素,则实数ω的取值范围是 (　 )
A. B.
C. D.
(2)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度,再把所得函数图象上的每个点的纵坐标不变,横坐标都变为原来的(ω>0),得到函数g(x)的图象.已知函数g(x)在上有两个零点,则ω的取值范围为 (　 )
A. B.
C. D.
(3)[2026·湖南常德模拟] 已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间(-π,π)上有且仅有1个零点,f(x)的图象在(-π,π)上有且仅有1条对称轴,则实数ω的取值范围是　　　　.

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