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第25讲　余弦定理、正弦定理
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.b2+c2-2bccos A　c2+a2-2accos B
a2+b2-2abcos C
　　　　
2Rsin B　2Rsin C　sin A∶sin B∶sin C
2.1　2　1　1
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
[解析] (1)在△ABC中,由sin A>sin B及正弦定理得a>b,所以A>B.故正确.
(2)根据余弦定理有cos C=,若a2+b2-c2<0,则cos C<0,即C为钝角,此时△ABC为钝角三角形.故正确.
(3)因为a=5,A=60°,b=4,=,所以=,解得sin B=<,因为b(4)若△ABC为锐角三角形,则 0题组二
1.D　[解析] 因为sin B=2sin C,所以由正弦定理可知b=2c,在△ABC中,由余弦定理可得cos A===-,解得c2=4,又c>0,所以c=2,故b=4.故选D.
2.A　[解析] 设R为△ABC外接圆的半径,则2R===2,解得R=1.故选A.
3.B　[解析] 由余弦定理得cos A===,所以sin A==,所以△ABC的面积为AB·AC·sin A=×2×3×=.故选B.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)A　(2)D　(3)ABC　[解析] (1)由余弦定理得cos A==
==,又0°(2)对于A,a=72,b=50,A=135°,A为钝角且a>b,所以三角形有一解,故A不符合题意;对于B,a=20,b=40,A=31°,A为锐角,bsin A=40×sin 31°>20,无解,故B不符合题意;对于C,a=30,b=20,A=120°,A为钝角且a(3)由cos 2A+cos 2B+2sin C=2,得2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B,则2sin C=2sin2A+2sin2B,所以sin C=sin2A+sin2B,故A正确;设BC=a,AC=b,AB=c,因为===2R且sin C=sin2A+sin2B,所以a2+b2=c·2R≥c2,若a2+b2>c2,则C为锐角,又cos Acos Bsin C=>0,所以△ABC为锐角三角形,则A+B>,故>A>-B>0,则sin A>sin,即sin A>cos B,则sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1,矛盾,故a2+b2=c2,则C=,故cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0,则cos Acos B=sin Asin B=,因为S△ABC=absin C=,所以ab=,所以=(2R)2=2,得2R=,故=2R=,则c=,故B正确;(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=1+=,则sin A+sin B=,故C正确;AC2+BC2=AB2=c2=2,故D错误.故选ABC.
对点演练1　(1)C　(2)C　(3)D
[解析] (1)因为B=π-A-C=,所以由正弦定理可得b==.故选C.
(2)由=,得=,整理得a2+b2-c2=ab,∴cos C===,又0(3)由正弦定理=,得sin B===,因为B∈,所以B=或B=,故A,B不一定正确.若B=,则C=π-A-B=π--=,此时c===
2=2×=1+<3,若B=,则C=π-A-B=π--=,此时C为三角形中最小的内角,故c探究点二
例2　(1)B　(2)②④　[解析] (1)由2sin2=1-cos B=,得cos B=1-=,所以=,可得a2=b2+c2,因为不能确定b=c是否成立,所以△ABC一定是直角三角形.故选B.
(2)对于①,若a2+b2>c2,则由余弦定理可知cos C=>0,即角C为锐角,但不能推出其他角均为锐角,故①不符合题意;对于②,因为==,所以sin A∶sin B∶sin C=5∶6∶7,则由正弦定理得a∶b∶c=5∶6∶7,设a=5k,b=6k,c=7k,k>0,则c为三角形最大边,C为三角形最大角,根据余弦定理得cos C===>0,则C为锐角,可得△ABC一定是锐角三角形,故②符合题意;对于③,因为cos2A+cos2B-cos2C=1,所以1-sin2A+1-sin2B-(1-sin2C)=1,整理可得sin2A+sin2B=sin2C,由正弦定理可得a2+b2=c2,可得C为直角,故③不符合题意;对于④,因为tan(A+B)==-tan C,所以tan A+tan B=-tan C+tan Atan Btan C,故tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,因为tan A+tan B+tan C>0,所以tan Atan Btan C>0,故A,B,C均为锐角,所以△ABC为锐角三角形,故④符合题意.故填②④.
对点演练2　(1)A　(2)B　[解析] (1)由余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=a2+9a2-3a2=7a2,因为b2+a2-c2=8a2-9a2=-a2<0,所以cos C=<0,即C为钝角,则△ABC是钝角三角形,故选A.
(2)由=,得acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B,所以sin 2A=sin 2B,因为A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,故A=B或A+B=,所以“=”是“A=B”的必要不充分条件.故选B.
探究点三
例3　(1)A　[解析] 因为A∈(0,π),所以cos A≠-1,则+==
=
=
=3,即5-4cos A=3sin A,又sin2A+cos2A=1,所以可得sin A=,cos A=.因为a=2,所以由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得4=b2+c2-bc,由b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),可得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc(当且仅当b=c时取等号),则bc≤10,所以S△ABC=bcsin A=bc≤×10=3,当且仅当b=c时等号成立,故选A.
(2)解:①因为2a(sin A-sin B)cos C=asin A+bsin B-csin C,
所以2a(a-b)cos C=a2+b2-c2,
即2a(a-b)×=a2+b2-c2,
因为△ABC为斜三角形,所以a2+b2-c2≠0,故a=2b,
则由正弦定理可得==.
②由①知,a=2b,所以S△ABC=absin C=b2sin C=b2cos C,
所以sin C=cos C,即sin2C+cos2C=+cos2C=16cos2C=1,
因为00,故sin C=cos C>0,即cos C>0,所以cos C=,
所以c2=a2+b2-2abcos C=(2b)2+b2-2×2b×b×=4b2,则c=2b,
所以c+=2b+=2b+≥2=4,
当且仅当2b=,即b=1时等号成立,此时c+取得最小值4.
例4　(1)B　(2)C　[解析] (1)由余弦定理得cos B===,则AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos B=9+-2×3××=,则AD=,故选B.
(2)设∠ABC=θ,θ∈,则∠ACB=-θ,在△ABD中,由正弦定理得=,在△ADC中,由正弦定理得=,
易知sin∠ADC=sin∠ADB,所以可得=,所以BD==,所以BC=AB+,由正弦定理得=,所以=,所以=+·=,又由正弦定理得=,所以=,所以=,所以2sinsin θ+2sin2=sin θ,化简得4sin2θ+sin θ-3=0,所以sin θ=或sin θ=-(舍去),又θ∈,所以θ=,所以tan∠ABC=tan θ=1.故选C.
例5　解:(1)因为cos A=-,A∈(0,π),所以sin A==,
由正弦定理得asin C=csin A=c=4,解得c=6.
(2)如图所示,若△ABC存在,则设其BC边上的高为AD.
若选①,因为a=6,c=6,所以C=∠BAC,又因为cos∠BAC=-<0,所以△ABC有两个钝角,
而这是不可能的,所以△ABC不存在,故不能选①.
若选②,由正弦定理得bsin C=csin B=6sin B=,解得sin B=,
所以cos B==,AD=csin B=,
而cos∠DAB=sin B,sin∠DAB=cos B,cos∠BAC=-,sin∠BAC=,
所以cos∠CAD=cos(∠BAC-∠DAB),
sin∠CAD=,可以唯一确定,
所以CA,CD也可以唯一确定,
这表明△ABC是存在的,且BC边上的高AD=.
若选③,因为△ABC的面积是10,所以S△ABC=bcsin∠BAC=b×6×=10,
解得b=5,由余弦定理可得a==
=9,可以唯一确定,
这表明△ABC是存在的,且BC边上的高满足S△ABC=a·AD=AD=10,即AD=.
例6　ACD　[解析] 在△ACD中,由余弦定理得AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos ∠ADC,即=AD2+-2AD××cos,即AD2-2AD-3=0,解得AD=3或AD=-1(舍去),∴AD=3,故A正确;在△ADC中,由正弦定理得=,即=,解得sin∠CAD=,故B不正确;∵CD例7　解:(1)∵bcos C+csin B=a+2c,
∴sin Bcos C+sin Csin B=sin A+2sin C,
∵sin(B+C)=sin(180°-A)=sin A,
∴sin Bcos C+sin Csin B=sin(B+C)+2sin C=sin Bcos C+cos Bsin C+2sin C,
即sin Csin B-cos Bsin C=2sin C,
∵0°又∵0°(2)∵AC=AD,∴令∠DCA=∠D=α,∴∠CAD=180°-2α,
在△ACD中,由正弦定理得=,∵CD=,∴AC==,
在△ABC中,由正弦定理得=,
∵∠BAC=180°-120°-(120°-α)=α-60°,BC=1,
∴AC=,∴sin(α-60°)=cos α=sin(90°-α),可得α=75°,即D=75°.
对点演练3　(1)B　(2)B　[解析] (1)∵三棱锥P-ABC是正三棱锥,∴∠APB=∠BPC=∠CPA=30°,将三棱锥的侧面沿AP所在直线剪开,使其在同一个平面上,
如图,则∠APA1=90°,易知△AMN周长的最小值为AA1=2,此时∠PAM=45°,∠PMA=105°,
∴=,∴PM=2(-1),则S△PMN=PM2·sin 30°=(-1)2=4-2.故选B.
(2)∵B=,a=2,b=2,∴由余弦定理得cos B=,即=,解得c=6或c=-2(舍去),又B=,∴sin B=,由三角形的面积公式可得bh=acsin B,则h==.故选B.
(3)解:①方法一(正余弦定理综合法):
在△ABC中,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=16+2-2×4××=10,所以b=.
由正弦定理得=,则sin C==.
方法二(几何法):
过点A作AE⊥BC,垂足为E.
在Rt△ABE中,由c=,B=,可得AE=BE=1,
又a=4,所以EC=3.
在Rt△AEC中,AC==,因此sin C==.
②方法一(两角和的正弦公式法):
因为cos ∠ADC=-,∠ADC∈,
所以sin∠ADC==.
因为∠ADC∈,所以C∈,所以cos C==,
所以sin∠DAC=sin(π-∠DAC)=sin(∠ADC+C)=sin∠ADC·cos C+cos ∠ADC·sin C=×+×=.
因为∠DAC∈,所以cos ∠DAC==,
所以tan∠DAC==.
方法二(几何法+两角差的正切公式法):
在①的方法二中,由cos∠ADC=-,
可得cos∠ADE=cos(π-∠ADC)=-cos∠ADC=,
从而sin∠DAE=cos ∠ADE=.易知∠ADC∈,则cos∠DAE=sin∠ADE=sin(π-∠ADC)=sin∠ADC=,则tan∠DAE==2.
又由①可得tan∠EAC==3,
所以tan∠DAC=tan(∠EAC-∠EAD)===.
方法三(几何法+正弦定理法):
在①的方法二中可得AE=1,CE=3,AC=.
由cos∠ADC=-,可得cos∠ADE=cos(π-∠ADC)=-cos∠ADC=,
因为∠ADE∈,所以sin∠ADE=.
在Rt△ADE中,AD==,ED=ADcos∠ADE=2,
所以CD=CE-DE=1.
在△ACD中,由正弦定理可得sin∠DAC=·sin C=,
因为∠DAC∈,所以cos∠DAC==,
所以tan∠DAC==.
方法四(构造直角三角形法):
在①的方法二中,作DG⊥AC,垂足为点G.如图,
可得AE=1,CE=3,AC=.
由cos∠ADC=-,可得cos∠ADE=,
则sin∠ADE==.
在Rt△ADE中,AD==,DE==2,CD=CE-DE=1.
由①知sin C=,所以在Rt△CDG中,DG=CD·sin C=,CG==,从而AG=AC-CG=.
在Rt△ADG中,tan∠DAG==,所以tan∠DAC=.第25讲　余弦定理、正弦定理
【课标要求】　掌握余弦定理、正弦定理.
1.正弦定理和余弦定理
定理 余弦定理 正弦定理
公式 a2=　　　 　　　　　　, b2=　　　 　　　　　　, c2=　　　 　　　　　 =　　　　= 　　　　=2R(其中R是△ABC的外接圆半径)
定理 的变 形 cos A=　　　　, cos B=　　　　, cos C=　　　 a=2Rsin A,b=　　　　,c=　　　　; a∶b∶c=　　　　　　　　　　　　; sin A=,sin B=,sin C=; asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
图形 关系式 解的个数
A为 锐角 a=bsin A 　　　
bsin Aa≥b 　　　
A为钝角 或直角 a>b 　　　
3.三角形面积公式
(1)S=ah(h表示边a上的高);
(2)S=bcsin A=acsin B=absin C;
(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).
常用结论
1.三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=π;
变形:=-.
2.三角形中的三角函数关系:在△ABC中,
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin =cos ;(4)cos =sin .
3.角平分线定理:如图,在△ABC中,∠BAC的平分线交BC于点D,则=.
4.三角形中的射影定理:
在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
5.在圆所有的内接三角形中,正三角形的面积最大.
6.a>b A>B sin A>sin B,cos A7. 三角形的面积S=.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　 )
(2)在△ABC中,若a2+b2-c2<0,则△ABC为钝角三角形. (　 )
(3)在△ABC中,a=5,A=60°,b=4,则该三角形有两解. (　 )
(4)若△ABC为锐角三角形且A=,则角B的取值范围是. (　 )
题组二　教材改编
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos A=-,sin B=2sin C,则b= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.在△ABC中,A=30°,BC=1,则△ABC外接圆的半径为 (　 )
A.1 B.
C.2 D.3
3.在△ABC中,AC=3,BC=,AB=2,则△ABC的面积为 (　 )
A.2 B.
C. D.
　利用余弦、正弦定理解三角形
例1 (1)[2025·全国二卷] 在△ABC中,BC=2,AC=1+,AB=,则A= (　 )
A.45° B.60°
C.120° D.135°
(2)在△ABC中,分别根据下列条件解三角形,其中有两解的是 (　 )
A.a=72,b=50,A=135°
B.a=20,b=40,A=31°
C.a=30,b=20,A=120°
D.a=8,b=14,A=30°
(3)(多选题)[2025·全国一卷] 已知△ABC的面积为,cos 2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=,则 (　 )
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=
C.sin A+sin B=
D.AC2+BC2=3
总结反思
(1)利用正、余弦定理解三角形时,若在一个式子中三角形三个内角的三角函数值同时出现,则要考虑利用sin C=sin(A+B)或cos C=-cos(A+B)对其中某个角的三角函数值进行代换,从而达到“消元”的目的.
(2)求解三角形个数时,可借助正、余弦定理求解,通过解的个数判断三角形的个数,也可结合图形进行判断.
【对点演练1】 (1)[2026·江西景德镇模拟] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,C=,a=1,则b= (　 )
A. B.-1
C. D.+1
(2)[2025·福建福州质检] 已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,若=,则C= (　 )
A. B. C. D.
(3)[2025·浙江金华义乌三模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=,a=,b=2,则下列结论一定正确的是(　 )
A.B< B.B> C.c>2 D.c<3
　利用余弦、正弦定理判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2sin2=,则该三角形一定是 (　 )
A.正三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
(2)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列条件能推导出△ABC一定为锐角三角形的是　　　　.
①a2+b2>c2;②==;③cos2A+cos2B-cos2C=1;④tan A+tan B+tan C>0.
总结反思
判断三角形形状的技巧总结:
(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边或等腰三角形;
(2)通过三角恒等变换,得出内角之间的关系,从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形.
求解三角形形状问题时,既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑,以免漏解.
【对点演练2】 (1)[2026·四川雅安期中] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若B=60°,c=3a,则△ABC是 (　 )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等腰三角形
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“=”是“A=B”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　利用余弦、正弦定理解决平面几何问题
题型1　三角形中最值(范围)问题
例3 (1)[2025·江西萍乡二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,+=3,则△ABC面积的最大值为 (　 )
A.3 B. C. D.2
(2)已知a,b,c分别为斜三角形ABC的内角A,B,C的对边,且2a(sin A-sin B)cos C=asin A+bsin B-csin C.
①求的值;
②已知△ABC的面积为b2cos C,求c+的最小值.



题型2　三角形中角平分线、中线、高线问题
例4 (1)在△ABC中,已知AC=5,AB=3,BC=7,AD是BC边上的中线,则AD= (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2026·四川成都诊断] 在△ABC中,∠BAC=,∠BAC的平分线AD交BC于点D,若CD=AB,则tan∠ABC= (　 )
A. B.
C.1 D.
例5 [2025·北京卷] 在△ABC中,cos A=-,asin C=4.
(1)求c;
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知,使得△ABC存在,求BC边上的高.
①a=6;②bsin C=;③△ABC的面积为10.



题型3　多个三角形为背景的问题
例6 (多选题)[2025·河南许昌三模] 如图,在平面四边形ABCD中,∠BAD=,∠ADC=,AC=,CD=,则下列结论正确的是 (　 )
A.AD=3
B.sin∠CAD=
C.sin∠BAC=
D.若AB=2,则△ABC中BC边上高的长度为
例7 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=1且bcos C+csin B=a+2c.
(1)求B;
(2)如图所示,D为△ABC外一点,∠DCB=∠B,CD=,AC=AD,求D.



总结反思
1.求解有关三角形的最值(范围)问题时,先用正弦定理、余弦定理、面积公式等进行化简整理,构造出关于某个角或某条边的函数或不等式,再利用三角函数值域的有界性、函数的单调性或不等式性质求解.
2.求解三角形的中线、角平分线、高线问题的常用方法.
(1)向量法:已知D为△ABC的边BC上一点,若AD为△ABC的中线,则=(+),||2=(b2+c2+2bccos∠BAC);若AD为∠BAC的平分线,则==,=+.
(2)在△ABC中,取BC边上的一点D,连接AD,得到△ADB,△ADC,且∠ADB+∠ADC=π,则cos∠ADB=-cos∠ADC,因此可利用余弦定理分别在两个三角形中去求解这两个角的余弦值,再根据两角余弦值间的关系建立等式.
(3)若D为△ABC的边BC上一点,AD为∠BAC的平分线,则S△ABC=S△ABD+S△ACD,即AB·ACsin∠BAC=AB·ADsin+AC·ADsin.
3.多三角形背景问题的求解策略.
(1)寻找各三角形中已知条件较多、边角关系较明显的三角形,以这样的三角形为主运用正弦、余弦定理解决问题.
(2)注意发现不同三角形内角之间的关系,尤其是具有互余、互补关系的角,通过这些关系结合诱导公式进行三角函数值之间的转化并求解.
【对点演练3】 (1)[2026·河北邯郸调研] 在正三棱锥P-ABC中,∠APB=30°,PA=2,M,N分别在PB,PC上,当△AMN的周长最小时,△PMN的面积等于 (　 )
A.- B.4-2
C.- D.-1
(2)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,a=2,b=2,则AC边上的高h= (　 )
A. B. C. D.
(3)[2025·湖北黄冈中学模拟] 如图,在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,c=,B=.
①求sin C的值;
②在边BC上取一点D,使得cos∠ADC=-,求tan∠DAC的值.

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