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微专题5　 “爪形”三角形问题
微点一　已知三角形一边上一点的等比分点问题
例1 [2026·山东青岛期末] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 acos B-c=asin B,a=3.
(1)求A;
(2)若D是边BC上靠近C的三等分点,且AB⊥AD,求AD的长.


总结反思
求解“爪形”三角形问题的思考途径一(如图):
1.角互补:∠ADB+∠ADC=π cos∠ADB=-cos∠ADC.
2.边与面积的比值:=.
3.向量关系式:设BD=m,CD=n,则=+.
当AD为中线时,可以考虑:
①中线长公式:AB2+AC2=2(AD2+BD2).
②向量关系式:=+.
【对点演练1】 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,(2acos B-b)cos A=acos B-2bcos2A.
(1)求A;
(2)若D是边AB上靠近点A的三等分点,AD=DC,△ABC的面积为3,求△ABC的周长.


微点二　已知三角形一个顶点对应的三个角问题
例2 (1)[2025·湖北武汉调研] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且C=,c=6,△ABC的面积为,D为边AB上一点,CD是∠ACB的平分线,则CD= (　 )
A. B.1 C. D.
(2)在△ABC中,已知AB=4,AC=7,BC边的中线AD=,那么BC=　　　　.
总结反思
求解“爪形”三角形问题的思考途径二(如图):
等面积法:AB×AC×sin∠BAC=AB×AD×sin∠BAD+AC×AD×sin∠CAD.
特别地,当AD为角平分线时,可以考虑:
①角平分线定理:=或=.
②等面积法:AB×AC×sin A=AB×AD×sin+AC×AD×sin.
【对点演练2】 (1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为 (　 )
A.6 B.7 C.8 D.9
(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=.
①证明:sin Bsin C≤;
②若BC边上的中线长为,求bc的最大值.
微专题5　 “爪形”三角形问题
● 课堂考点探究
微点一
例1　解:(1)由acos B-c=asin B,可得sin Acos B-sin C=sin Asin B,
则sin Acos B-sin(A+B)=sin Asin B,整理得-cos Asin B=sin Asin B,
∵B∈(0,π),∴sin B>0,∴-cos A=sin A,则tan A=-,又A∈(0,π),∴A=.
(2)∵D是边BC上靠近C的三等分点,且AB⊥AD,
∴BD=2DC=2,AD=2sin B,∠CAD=.
在△ABC中,由正弦定理得AC==6sin B=3AD,
在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos,
即1=9AD2+AD2-3AD2,即AD2=,故AD=.
对点演练1　解:(1)由题意及正弦定理得(2sin Acos B-sin B)cos A=sin Acos B-2sin Bcos2A,
整理得2cos A(sin Acos B+sin Bcos A)=(sin Acos B+sin Bcos A),
即2cos Asin(A+B)=sin(A+B),
因为A+B∈(0,π),所以sin(A+B)≠0,所以cos A=,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)设AD=DC=x,则AB=3x,
在△ACD中,由AD=DC,A=,得∠ADC=π-2A=,
由余弦定理得b2=AD2+CD2-2·AD·CD·cos∠ADC,
所以b2=x2+x2-2·x·x·cos,解得b=x,
在△BCD中,由余弦定理得a2=DC2+BD2-2·DC·BD·cos∠CDB,
所以a2=x2+4x2-2·x·2x·cos,解得a=x,
因为S△ABC=bcsin A=×x·3x·=3,所以x=2,则a+b+c=6+4,
所以△ABC的周长为6+4.
微点二
例2　(1)B　(2)9　[解析] (1)在△ABC中,由余弦定理可得c2=b2+a2-2bacos C,所以62=b2+a2-2bacos,所以36=b2+a2-ba,又△ABC的面积为,所以basin=,所以ba=4,所以36=b2+a2-ba=(a+b)2-3×4,所以a+b=4.因为CD是∠ACB的平分线,∠ACB=,所以∠ACD=∠DCB=,因为S△ACD+S△BCD=S△ABC,所以AC·CDsin∠ACD+BC·CDsin∠BCD=AC·CBsin∠ACB,所以b·CDsin+a·CDsin=basin=,所以b·CD+a·CD=4,所以(b+a)CD=4,所以CD=1.故选B.
(2)由=(+),得==(++2·),所以=(++2||||cos∠BAC),即=(42+72+2×4×7×cos∠BAC),则cos∠BAC=-.由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=42+72-2×4×7×=81,所以BC=9.
对点演练2　(1)D　[解析] 由题意得,S△ABC=S△ABD+S△CBD,即acsin 120°=asin 60°+csin 60°,所以ac=a+c,则+=1,由a>0,c>0,得4a+c=(4a+c)=4+++1≥5+2=9,当且仅当=,即c=3,a=时等号成立,故4a+c的最小值为9.故选D.
(2)解:①证明:由余弦定理得cos A==≥=1-,
当且仅当b=c时等号成立,所以≥1,
由正弦定理可得≥1,
又A=,所以·≥1,即sin Bsin C≤.
②设D为BC边的中点,则有=(+),
两边平方得=(+2||||cos∠BAC+),
即=(b2+c2+bc)=3,
故12=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,即bc≤4,当且仅当b=c=2时等号成立,
所以bc的最大值为4.

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