资源简介

第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例
【课标要求】　能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
术语 名称 术语意义 图形表示
仰角与 俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中,目标视线在水平视线　　　　的叫作仰角,目标视线在水平视线　　　　的叫作俯角
方位角 从某点的　　　　方向线起按　　　　方向转到目标方向线的水平角叫作方位角,方位角θ的范围是　　　　　　
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)α
坡角与 坡比 坡面与水平面的夹角叫坡角(θ为坡角);坡面的铅直高度与水平长度之比叫坡比(i为坡比,也叫坡度),即　　　　　　
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某点的方位角为45°,则该点的方向角为北偏东45°方向. (　 )
(2)北偏西10°指的是方位角. (　 )
(3)若从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α=β. (　 )
题组二　教材改编
1.在某次测量中,设A在B的南偏东34°27',则B在A的 (　 )
A.北偏西34°27' B.北偏东55°33'
C.北偏西55°32' D.南偏西55°33'
2.如图,A,B两点在河的两岸,在B同侧的河岸边选取点C,测得B,C间的距离为10 m,∠ABC=75°,∠ACB=60°,则A,B两点间的距离为 (　 )
A.5 m B.5 m
C.5 m D.5 m
3.某指挥中心A接到在其北偏东60°相距5海里的甲船抛锚等待救援的信号,指挥中心迅速通知在A北偏西60°相距3海里的乙船前去救援,若乙船速度的大小是20海里/时,则乙船最快到达甲船位置需要航行(　 )
A.小时 B.小时
C.小时 D.小时
　距离问题
例1 (1)[2026·安徽黄山二模] 如图①,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个平面内,其平面图形如图②所示.已知∠ABM=30°,∠BAN=45°,∠MAN=60°,∠MBN=90°,AB=2,则MN= (　 )
A.5(-1) B.5
C.5(+1) D.10
(2)[2025·广东惠州五校联考] 一艘船以20 km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在南偏东30°方向上,行驶x h后,船到达C处看到灯塔B在南偏西60°方向上,此时测得船与灯塔的距离为30 km,则x的值为 (　 )
A.2 B.3 C.4 D.5
总结反思
求解距离问题的关键:一是找三角形,即将所测量的距离与题中其他的点组成三角形;二是找或画出边或角,对所找的三角形,分析题中已知的边角或可求的边角,或是恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形, 将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角度;三是利用正弦定理或余弦定理求出边长,即求出两点间的距离.
【对点演练1】 (1)斜拉桥(如图①)是我国常见的桥型之一,是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面,斜拉索AD,AC与桥面所成角∠ADB=β,∠ACB=α(如图②),主塔AB的高度为h,则C,D间的距离为 (　 )
A. B.
C. D.
(2)[2026·湖南长沙模拟] 如图所示,已知A船在灯塔C北偏东80°的方向上,且A,C间的距离为2,B船在灯塔C北偏西40°的方向上,且A,B两船间的距离为3,则B,C间的距离为　　　　.
　高度问题
例2 (1)[2026·湖北武汉期中] 享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉,地处蛇山之巅,濒临万里长江,更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图,某同学为测量黄鹤楼的高度MN,在黄鹤楼的正东方向找到一座建筑物AB,高为26,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,黄鹤楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得黄鹤楼顶部M的仰角为15°,则黄鹤楼的高度为 (　 )
A.48 B.54
C.52 D.56
(2)小韭菜坪,位于贵州省六盘水市钟山区大湾镇,素有“贵州屋脊”之称.登上山顶放眼四周,乌蒙磅礴的气势尽收眼底,景区内的野韭菜、高山洞穴、天坑等地质奇观及自然景观极具观赏价值和科考价值,是贵州久负盛名的露营基地.某旅游爱好者为了测量小韭菜坪的海拔,操控无人机飞到海拔3000米的点A处,此时测得小韭菜坪的最高点P的俯角为45°,在点A的高度上,再操控无人机垂直提升200米的高度,使其到达点B处,此时测得点P的俯角为71.57°,AB与水平面垂直,则小韭菜坪的海拔约为(参考数据:tan 71.57°≈3)(　 )
A.2800米 B.2900米
C.2880米 D.2920米
总结反思
求解高度问题的注意点:(1)在处理有关高度的问题时,正确理解仰角、俯角、方向(位)角是关键;
(2)在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形(一个空间图形和一个平面图形),这样处理起来既清楚又不容易搞错;
(3)注意塔垂直于地面或海平面,这有助于把空间问题转化为平面问题.
【对点演练2】 (1)[2026·江苏南通模拟] 如图①是某长方体建筑,图②中长方体ABCD-A1B1C1D1是该建筑物的直观图,点N在AB的延长线上,MN是垂直于地面的测量标杆,高为h.现测得BC的长为a,在M处测得B1点的仰角为α,C1点的仰角为β,则建筑物的高BB1为 (　 )
A.h+
B.h+
C.h+a
D.h+
(2)如图,已知某建筑物AA1附近有两座建筑BB1,CC1,A1,B1,C1在同一水平面上,A,B,C为三座建筑物的顶点,经测量得A1B1=80,CC1=86,∠C1A1B1=48.60°,∠A1C1B1=30°,在C点测得B点的仰角为33.69°,在B点测得A点的仰角为51.34°,则建筑物AA1的高约为(参考数据:tan 33.69°≈0.667,tan 51.34°≈1.250,sin 48.60°≈0.750,结果保留整数) (　 )
A.268 B.265 C.266 D.267
　角度问题
例3 (1)[2025·浙江温州联考] 一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向上,距离为6,灯塔C在A的北偏东60°方向上,距离为6,该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向,则此时灯塔C位于渔船的 (　 )
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
(2)某同学查阅资料得知,书法中的一些特殊笔画都有固定的角度,比如在弯折位置通常采用30°,45°,60°,90°,120°,150°等特殊角度.为了判断某字的弯折角度是否符合书法中的美学要求,该同学取端点绘制了△ABD,测得AB=5,BD=6,AC=4,AD=3,点C恰好在边BD上,则sin∠ACD的值为 (　 )
A. B. C. D.
总结反思
求一个角的大小,解题的一般步骤是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.
【对点演练3】 [2025·安徽安庆期中] 为丰富学生课余活动,体育组陈老师和学生们一起做游戏:陈老师站在A处,让甲同学站在A处北偏东45°方向,距离A处(-1) km的B处,并让站在A处北偏西75°的方向,距离A处2 km的C处的乙同学以10 km/h的速度去追甲同学.此时,甲同学正以10 km/h的速度从B处向北偏东30°方向奔跑,问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学


第26讲　余弦定理、正弦定理应用举例
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.上方　下方　正北　顺时针　0°≤θ<360°　i==tan θ
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)方位角为45°对应方向角为北偏东45°,故正确.
(2)北偏西10°指的是方向角,故错误.
(3)因为两直线平行,内错角相等,且从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,所以α=β,故正确.
题组二
1.A　[解析] 如图,根据方向角的概念可知A正确.故选A.
2.D　[解析] 因为∠ABC=75°,∠ACB=60°,所以∠BAC=180°-75°-60°=45°.由正弦定理得=,得AB==5(m).故选D.
3.C　[解析] 如图,设甲船在B处,乙船在C处,由题可得AB=5海里,AC=3海里,∠BAC=120°.在△ABC中,由余弦定理得BC2=52+32-2×5×3×=49,所以BC=7海里,所以乙船最快到达甲船位置需要航行小时.故选C.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)B　[解析] (1)在△ABM中,由题知∠BAM=105°,∠ABM=30°,则∠AMB=45°.因为AB=2,且=,所以AM===.在△ABN中,由题知∠ABN=120°,∠BAN=45°,则∠ANB=15°.又=,且sin 15°=sin(45°-30°)=×-×=,所以AN===3+.在△AMN中,MN=
===5(+1).故选C.
(2)如图,由题意知,在三角形ABC中,∠BAC=90°-30°=60°,∠ACB=90°-60°=30°,则∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=90°,所以三角形ABC为直角三角形.又BC=30 km,所以AC===60(km),则x==3.故选B.
对点演练1　(1)A　(2)-1 [解析] (1)在Rt△ABC中,tan∠ACB=,即tan α=,则BC=.在Rt△ABD中,tan∠ADB=,即tan β=,则BD=.所以CD=BD-BC=-===,故选A.
(2)由题意可知AC=2,AB=3,∠ACB=120°,
在△ABC中,由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos∠ACB,
故9=4+BC2-2×2××BC,解得BC=-1-(舍)或BC=-1.
探究点二
例2　(1)C　(2)B　[解析] (1)由题意得∠ACB=30°,∠ABC=90°,∠MCN=45°,∠MNC=90°,∠MAC=30°+15°=45°,AB=26.在Rt△ABC中,AC==2AB=52.
在△AMC中,∠MCA=180°-∠MCN-∠ACB=180°-45°-30°=105°,
则∠AMC=180°-∠ACM-∠MAC=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理得=,即=,得MC=52.
在Rt△MNC中,MN=MCsin∠MCN=52×=52.故选C.
(2)由题意作出示意图如图所示,过P向AB所在直线作垂线,垂足为M.因为在点A处测得点P的俯角为45°,所以∠APM=45°,所以AM=MP.因为在点B处测得点P的俯角为71.57°,所以∠BPM=71.57°.又tan 71.57°≈3,所以BM≈3MP,所以AB=BM-AM≈2MP.又因为AB=200米,所以2MP≈200米,所以MP≈100米,故AM≈100米,所以点M的海拔高度约为3000-100=2900(米),所以小韭菜坪的海拔约为2900米.故选B.
对点演练2　(1)B　(2)C　[解析] (1) 设建筑物的高为H,
如图,在BB1上取点S,使BS=MN,连接SM,则四边形BSMN为矩形,
在CC1上取点T,使CT=MN,连接ST,TM,则四边形TCNM、四边形SBCT均为矩形.
在直角三角形C1TM中,C1T=H-h,故TM=.同理在直角三角形B1SM中,可得SM=.
在直角三角形TSM中,ST=BC=a,
故a2+SM2=TM2,即a2+=,
得H=+h=+h=+h.故选B.
(2)如图,分别过B,C作BF⊥AA1,CD⊥BB1,垂足分别为F,D,过D作DE⊥AA1,垂足为E,根据题意易得∠ABF=51.34°,∠BCD=33.69°.在△A1B1C1中,由正弦定理得B1C1==
≈=120.在Rt△BCD中,DC=B1C1≈120,则BD≈120tan 33.69°≈120×0.667=80.04.
在Rt△ABF中,BF=A1B1=80,则AF=80tan 51.34°≈80×1.250=100.又A1E=CC1=86,EF=BD≈80.04,所以AA1=A1E+EF+AF≈86+80.04+100≈266.故选C.
探究点三
例3　(1)D　(2)D　[解析] (1)如图,由题意,在△ABD中,∠DAB=60°,AB=6,∠ADB=60°,则△ABD为正三角形,则AD=6.在△ACD中,
因为AC=6,∠CAD=30°,所以由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6)2+62-2×6×6×=36,所以CD=6,因为AD=CD,所以∠CDA=30°,所以∠CDA=120°,此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.故选D.
(2)由题意,在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB===.因为∠ADB∈(0,π),所以sin ∠ADB===.在△ACD中,由正弦定理得=,所以=,解得sin∠ACD=.故选D.
对点演练3　解:如图,设乙同学需要用时t h在D处追上甲同学,则CD=10t,BD=10t.
在△ABC中,AB=-1,AC=2,∠BAC=45°+75°=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(-1)2+22-2×(-1)×2×cos 120°=6,
∴BC=,由正弦定理可得sin∠ABC=·sin∠BAC=×=,∴∠ABC=45°,则点B在点C的正东方向.
在△BCD中,∠CBD=90°+30°=120°,由正弦定理得sin∠BCD===,
∴∠BCD=30°,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学.

展开更多......

收起↑