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第五单元　平面向量、复数
第27讲　平面向量的概念及其线性运算
【课标要求】　
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.
4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
1.向量的有关概念及表示
名称 定义 表示
向量 既有　　　又有　　　　的量叫作向量 用a,b,c,…或,,…表示
向量的 长度 向量的　　　　称为向量的长度(或称模) 　　　　或　　　　
零向量 　　　　　的向量叫作零向量,零向量的方向是不确定的 记作　　　
单位向量 长度等于　　　　　的向量,叫作单位向量 用e表示,|e|=　　　
相等向量 　　　　相等且　　　　相同的向量叫作相等向量 向量a和b相等,记作　　　
平行(或共 线)向量 方向　　　　或　　　　的非零向量叫作平行向量,平行向量也叫作共线向量 两个向量a和b平行,记作　　　　,零向量与任意向量　　　　
2.向量的线性运算
向量 运算 定义 法则(或 几何意义) 运算律
加法 求两个向量　　　的运算,叫作向量的加法 　　　　法则 　　　　法则 (1)加法交换律:a+b=　　　. (2)加法结合律:(a+b)+c=　　　　
减法 求两个向量差的运算叫作向量的减法.减去一个向量相当于加上这个向量的　　　 　　　　法则 a-b=　　　　
数乘 规定实数λ与向量a的　　　　是一个向量,这种运算叫作向量的数乘 (1)当λ≠0且a≠0时,|λa|=　　　　. (2)当λ>0时,λa与a的方向　　　;当λ<0时,λa与a的方向　　　　;当λ=0或a=0时,λa=　　　　 λ(μa)=　　　　, (λ+μ)a=　　　　, λ(a+b)=　　　
3.向量的共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=　　　　.
常用结论
1.一般地,首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,即+++…+=.特别地,当第一个向量的起点与最后一个向量的终点重合时,和为零向量.
2.在△ABC中,三角形三边上的中线交于点G,G为△ABC的重心,D为BC的中点,则有如下结论:
(1)++=0;
(2)=(+);
(3)=(+)=(+).
3.在△ABC中,三角形的三条角平分线交于点O,O为△ABC的内心,则有如下结论:
(1)点O是△ABC内心的充要条件是:a+b+c=0,其中BC=a,AC=b,AB=c;
(2)若=+,则点P的轨迹一定过△ABC的内心.
4.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,点O不在直线BC上,则λ+μ=1.
5.对于任意两个向量a,b,都有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
6.若平行四边形ABCD满足|+|=|-|,则该平行四边形为矩形.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若|a+b|=|a-b|成立,则a·b=0.(　 )
(2)平行向量的方向相同. (　 )
(3)若a∥b,b∥c,则a∥c. (　 )
(4)若a≠b,则|a|≠|b|. (　 )
题组二　教材改编
1.已知:①+;②-;③-;④-.其中表示的是　　　(填序号).
2.已知a与b是两个不共线的向量,且向量a+λb与b-3a共线,则λ的值为　　　　.
3.如图,在四边形ABCD中,DA=DB=DC,且+=,则∠ABC=　　　　.
　平面向量的基本概念
例1 (1)关于非零向量a, b,下列说法正确的是 (　 )
A.若|a|>|b|,则a>b
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,则a∥b
D.若a≠b,则a,b不是共线向量
(2)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点.
①写出与向量共线的向量;
②求证:=.



总结反思
(1)解决平面向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,还要考虑向量的方向;二是注意零向量的特殊性.
(2)由两个向量相等可得出这两个向量互相平行,反之不成立.
【对点演练1】 (1)[2026·江苏宿迁期中] 下列说法正确的是 (　 )
A.单位向量均相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.模为零的向量与任意向量平行
D.模相等的两个共线向量是相等向量
(2)(多选题)如图所示,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定正确的是 (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.||=||
B.与共线
C.与共线
D.=
　平面向量的线性运算
题型1　平面向量的线性运算及其几何意义
例2 (1)[2025·福建莆田期中] 如图所示,D,E为△ABC边BC上的三等分点,且||=||,则下列各式中正确的是 (　 )
A.=
B.=
C.+=+
D.+=+
(2)如图,在正六边形ABCDEF中,点M满足=2,则= (　 )
A.2+ B.-+2
C.+ D.+
题型2　利用向量的线性运算求参数
例3 (1)[2026·湖北咸宁模拟] 在平行四边形ABCD中,点E是BC边上的点,=8,点F是线段DE的中点,若=λ+μ,则μ= (　 )
A. B.1 C. D.
(2)[2025·湖南长沙九校联考] 如图, 在△ABC中,点O是线段BC上靠近点B的三等分点,过点O的直线分别交直线AB,AC于点M,N.设=m,=n,则2m+n的值为 (　 )
A.1 B.2 C.3 D.4
总结反思
解决线性运算问题通常有两种思路:
(1)根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形(或三角形),再结合其他知识求解相关问题;
(2)对于平面几何中出现平行四边形或可能构造出平行四边形(或三角形)的问题,可考虑利用向量知识来求解.
【对点演练2】 (1)在△ABC中,点D为BC边上一点,且=2,点E为AC边上的中点. 若=m,=n,则= (　 )
A.n-m B.n-2m
C.n+m D.n-2m
(2)(多选题)正五角星与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且=,则 (　 )
A.-=
B.+=
C.-=
D.+=
　平面向量的共线定理
例4 (1)已知e1与e2是两个不共线的向量,=3e1+2e2,=ke1+2e2,=3e1-ke2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为 (　 )
A.-4 B.-12 C.4 D.5
(2)在平行四边形ABCD中,=,=,CE与BF交于点O.设=a,=b,=　　　　(用a,b表示);若=λa+μb,则λ+μ=　　　　.
总结反思
利用向量共线定理解题的策略
(1)a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.
(3)已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R),则A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1.
【对点演练3】 (1)如图,△BCD与△ABC的面积之比为2∶1,点P是△BCD内任意一点(含边界),且=λ+μ,则λ+μ的取值范围为 (　)
A.[1,3] B.[1,2] C.[2,3] D.[1,4]
(2)在△ABC中,E为AC上一点,=4,P为BE上一点,且满足=m+n(m>0,n>0),则+的最小值为　　　　. 第五单元　平面向量、复数
第27讲　平面向量的概念及其线性运算
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.大小　方向　大小　|a|　||　长度为0　0　1个单位长度　1　长度　方向　a=b　相同　相反　a∥b　平行
2.和　三角形　平行四边形　b+a
a+(b+c)　相反向量　三角形　a+(-b)　积　|λ||a|　相同　相反　0
(λμ)a　λa+μa　λa+λb
3.λa
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)× 　(4)×
[解析] (1)当a与b中至少有一个为0时,满足题意;当a与b均不为0时,若|a+b|=|a-b|成立,则以a,b为邻边的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,此时a·b=0成立.故正确.
(2)根据平行向量的定义可知,方向相同或相反的非零向量叫作平行向量,零向量与任意向量平行,故错误.
(3)若b为零向量,则a∥b,b∥c不一定能推出a∥c,故错误.
(4)当a=-b时,满足a≠b,但|a|=|b|,故错误.
题组二
1.①④　[解析] ①+=;
②-=+≠;③-=≠;④-=.故填①④.
2.-　[解析] 由向量的共线定理可得,存在唯一一个实数k,使a+λb=k(b-3a),即a+λb=kb-3ka,则解得
3.120°　[解析] 因为+=,所以由向量加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形,所以DC=BA.又因为DA=DB=DC,所以四边形ABCD是菱形,且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　[解析] 对于A,向量不能比较大小,故A错误;对于B,向量的模相等,但是向量的方向可能不同,故B错误;对于C,若a=b,由向量相等的条件可得a∥b,故C正确;对于D,不相等的向量也可能是共线向量,故D错误.故选C.
(2)解:①因为在平行四边形ABCD中,E,F分别是CD,AB的中点,所以CE∥AF,CE=AF,所以四边形AFCE为平行四边形,所以CF∥AE.所以与向量共线的向量为,,.
②证明:在平行四边形ABCD中,AB∥DC,AB=DC.
因为E,F分别是DC,AB的中点,
所以ED∥BF且ED=BF,
所以四边形BFDE是平行四边形,
所以BE=FD,BE∥FD,
故=.
对点演练1　(1)C　(2)ABD
[解析] (1)对于A,单位向量的模相等都是1,但方向不一定相同,故单位向量不一定相等,故A错误;对于B,零向量与它的相反向量相等,故B错误.对于C,模为0的向量为零向量,零向量与任意向量平行,故C正确;对于D,模相等的两个共线向量可能是相等向量,也可能是相反向量,故D错误.故选C.
(2)由四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,可知||=||,故A正确;由题图可知与的方向相反,与方向相同且长度相等,即与共线,=,故B,D正确;与不一定共线,故C不一定正确.故选ABD.
探究点二
例2　 (1)D　(2)B　[解析] (1)因为D,E为边BC上的三等分点,所以=,所以-=-,+=+,故D正确;假设+=+,则-=-,即=,显然不成立,故假设不成立,故C错误;与的方向不同,不能相等,故A错误;与的方向相反,不能相等,故B错误.故选D.
(2)由题意及正六边形的结构特征知=,=,且=++,=+.又=2,所以=,则=+2+=-+2+=-+2.故选B.
例3　 (1)C　(2)C　[解析] (1)因为点F是线段DE的中点,所以=(+).又=8,所以=,则=+=+=+,所以=+=+=+,所以μ=,故选C.
(2)如图,连接AO.因为点O是线段BC上靠近点B的三等分点,所以=2,所以-=2(-),所以=+.又因为=m,=n,所以=m+n.因为M,N,O三点共线,所以m+n=1,所以2m+n=3.故选C.
对点演练2　(1)D　(2)AC　[解析] (1)如图,因为=2,所以D为BC的中点,即=2.又因为点E为AC边上的中点,所以=-,则=+=2-=2(-)-=-2.
又=m,=n,所以=n-2m,故选D.
(2)因为=,所以==.对于A,-=-==,故A正确;对于B,+=+==,故B错误;对于C,-=-==,故C正确;对于D,+=+,==-,假设+=,则=0,不符合题意,故假设不成立,故D错误.故选AC.
探究点三
例4　 (1)B　(2)b-a　 　[解析] (1)因为=ke1+2e2,=3e1-ke2,所以=-=3e1-ke2-(ke1+2e2)=(3-k)e1-(2+k)e2.因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ,所以3e1+2e2=λ[(3-k)e1-(2+k)e2].又e1,e2不共线,所以解得k=-12.故选B.
(2)=-=-=b-a.
如图,B,O,F三点共线,设=x+y,则x+y=1,
所以=x+y=x+=xa+b.
因为C,O,E三点共线,
所以可设=m+n,m,n∈R,m+n=1,
所以=m+n(+)=+n+n=+n=a+nb,
所以解得
又=λa+μb,所以λ+μ=+n+n=++=.
对点演练3　(1)A　(2)9　[解析] (1)因为=λ+μ,所以当点P在线段BC上时(如图①),λ+μ=1,此时λ+μ取得最小值.
过点D作BC的平行线分别交AB的延长线、AC的延长线于B',C',如图②所示.
因为B'C'∥BC,所以△ABC与△AB'C'相似.
因为△BCD与△ABC的面积的比为2∶1,所以△BCD与△ABC在BC边上的高之比为2∶1,即△ABC在BC边上的高与△AB'C'在B'C'边上的高之比为1∶3,所以==3.
当点P位于D点时,=λ+μ=+,B',P,C'三点共线,所以+=1,即λ+μ=3,此时λ+μ取得最大值.所以λ+μ的取值范围为[1,3].故选A.
(2)因为=4,所以=m+n=m+4n(m>0,n>0).又B,P,E三点共线,所以m+4n=1,所以+=(m+4n)=1+4++≥5+2=9,
当且仅当=,即m=,n=时,等号成立,所以+的最小值为9.

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