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第28讲　平面向量基本定理及坐标表示
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)不共线　任一　有且只有一对
(2)不共线　所有
2.(1)(x1+x2,y1+y2)　(x1-x2,y1-y2)　(λx1,λy1)
(2)(x2-x1,y2-y1)　　
3.x1y2-x2y1=0
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
[解析] (1)当a=(1,0),b=(2,0)时,满足a与b共线,但不满足=,故错误.
(2)基底中一定不可以含有零向量,故错误.
(3)因为{a,b}是平面的一个基底,所以a与b不共线.又m=a+b,所以m与a不共线,所以{a,m}也是该平面的一个基底,故正确.
(4)因为a+b=(-1,1),所以|a+b|==,所以a+b不是单位向量,故错误.
题组二
1.C　[解析] 由P(-2,1),Q(1,2),得=(1+2,2-1)=(3,1).故选C.
2.A　[解析] =+=+=+(-)=+.故选A.
3.A　[解析] 因为向量a=(2,t),b=(1,-1),所以a-b=(1,t+1).因为(a-b)∥b,所以(t+1)×1=1×(-1),解得t=-2.故选A.
4.C　[解析] 由题可知=(+),∵F是线段BE的中点,∴=+=+×=+,∴x=.故选C.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)A　[解析] (1)因为e1,e2是平面内一组不共线的向量,所以e1与e1-e2不共线,则e1与e1-e2能作为平面内所有向量的一个基底,所以A不满足题意;设e1+2e2=λ(2e1+e2),则无解,故e1+2e2与2e1+e2不共线,能作为平面内所有向量的一个基底,所以B选项不满足题意;设e1-2e2=k(e1+2e2),则无解,故e1-2e2与e1+2e2不共线,能作为平面内所有向量的一个基底,所以C选项不满足题意;因为6e1-3e2=-3(e2-2e1),所以(6e1-3e2)∥(e2-2e1),6e1-3e2与e2-2e1不能作为平面内所有向量的一个基底,所以D选项满足题意.故选D.
(2)由题意作图可知,=-,=+=--,=-=-.因为=λ+μ,所以-=λ+μ=-(λ+μ),根据平面向量基本定理可得解得所以λ+μ=1,故选A.
对点演练1　(1)D　(2)AD　[解析] (1)因为在△ABC中,AD=AB,点E是CD的中点,所以=+=×+=+.故选D.
(2)对于A,B,D,向量e1,e2可视为平面α内所有向量的一个基底,则由平面向量基本定理可知A,D正确,B错误;对于C,当λ1=λ2=μ1=μ2=0时,满足题意的λ有无数个,故C错误.故选AD.
探究点二
例2　(1)C　(2)C　[解析] (1)因为=(-1,2),=(2,3),所以=-=(2,3)-(-1,2)=(3,1).故选C.
(2)因为p=(1,-1),q=(2,1),m=(-1,1),n=(1,2),所以p=-m,q=n-m.又因为向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=2m+2(n-m)=2n,所以a在基底{m=(-1,1),n=(1,2)}下的坐标为(0,2).故选C.
对点演练2　(1)A　(2)C　[解析] (1)因为=(3,-6),点B(2,-4),所以点A的坐标为(2,-4)-(3,-6)=(-1,2).故选A.
(2)如图,以O为坐标原点建立平面直角坐标系,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).因为c=λa+μb,所以(-1,-3)=λ(-1,1)+μ(6,2),则则则λ+μ=-2.5.故选C.
探究点三
例3　(1)D　(2)A　[解析] (1)由题意得=(4,-3),||==5,所以与同方向的单位向量为.故选D.
(2)当α=时,向量a=,b=,因为b=a,所以向量a,b共线,充分性成立;由向量a=(cos α,1),b=(sin α,)共线,得sin α=cos α,则tan α=,故 α=kπ+,k∈Z,必要性不成立.所以“α=”是“向量a,b共线”的充分不必要条件.故选A.
对点演练3　(1)C　(2)AD　[解析] (1)因为向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),所以2a-b=(2+4m,2m+1).由a∥(2a-b),得2×(2m+1)-(m+1)×(2+4m)=0,即m×(1+2m)=0,解得m=0或m=-.当m=0时,a=(2,1),b=(2,1),此时a=b,不符合题意;当m=-时,a=,b=(4,1),此时a≠b,符合题意.故选C.
(2)∵a∥b,a=(1,-2),∴存在λ∈R,使得b=λa=(λ,-2λ).∵|b|=4|a|,∴λ2+(-2λ)2=5λ2=16×[12+(-2)2]=80,即λ2=16,解得λ=±4,∴b=(4,-8)或b=(-4,8).故选AD.第28讲　平面向量基本定理及坐标表示
【课标要求】　
1.掌握平面向量基本定理.
2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.
4.能用坐标表示平面向量共线.
1.平面向量基本定理
(1)平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个　　　　　向量,那么对于这一平面内的　　　　向量a,　　　　　　　　实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底
若e1,e2　　　　　,我们把{e1,e2}叫作表示这一平面内　　　　向量的一个基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=　　　　　　　,a-b=　　　　　　　,λa=　　　　　　.
(2)向量的坐标求法
已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=　　　　　,||=　　　　　　　　　.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b a=λb(λ∈R) 　　　　　　　.
常用结论
1.线段定比分点的定义
如图所示,设点P(x,y)是线段P1P2上不同于P1,P2的点,且满足=λ,即=λ,λ叫作点P分有向线段所成的比,点P叫作有向线段的以λ为定比的定比分点.
2.定比分点的坐标表示
设点P(x,y)是直线P1P2上不同于P1,P2的点,P1(x1,y1),P2(x2,y2),若=λ,则(x-x1,y-y1)=λ(x2-x,y2-y),即
当λ≠-1时,则点P的坐标为.
特别地,①当λ=1时,点P的坐标为,这就是线段P1P2的中点坐标公式;
②若λ<0,则点P在P1P2的延长线上或其反向延长线上,由向量共线的坐标表示及向量的共线定理同样可得点P的坐标为.
3.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且a与b共线,则=. (　 )
(2)基底中可以含有零向量,但至多一个. (　 )
(3)已知{a,b}是平面的一个基底,若m=a+b,则{a,m}也是该平面的一个基底. (　 )
(4)若向量a=(-2,3),b=(1,-2),则a+b是单位向量. (　 )
题组二　教材改编
1.已知P(-2,1),Q(1,2),则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-1,1) B.(-2,2)
C.(3,1) D.(-4,1)
2.在△OAB中,点P满足=3,则(　 )
A.=+
B.=+
C.=-
D.=-
3.已知向量a=(2,t),b=(1,-1),若(a-b)∥b,则实数t= (　 )
A.-2 B.-4
C.2 D.4
4.如图,在 ABCD中,E是对角线AC上靠近点C的三等分点,F是线段BE的中点,若=x+,则x= (　 )
A. B.
C. D.
　平面向量基本定理及其应用
例1 (1)[2026·湖北武汉联考] 若e1,e2是平面内一组不共线的向量,则下列各组向量中,不能作为平面内所有向量的一个基底的是 (　 )
A.e1与e1-e2
B.e1+2e2与2e1+e2
C.e1-2e2与e1+2e2
D.6e1-3e2与e2-2e1
(2)在直角梯形ABCD中,AB∥CD,CD=2AB,AB⊥AD,E是CD的中点,若=λ+μ,则λ+μ= (　 )
A.1 B. C. D.
总结反思
1. (1)基底的两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择不是唯一的.平面内的两个向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件.
(2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底.
2.(1)应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决问题.
【对点演练1】 (1)如图,在△ABC中,AD=AB,点E是CD的中点,则= (　 )
A.+
B.+
C.+
D.+
(2)(多选题)[2025·湖北咸宁联考] 若e1,e2是平面α内两个不共线的向量,则下列说法正确的是 (　 )
A.λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B.对于平面α内的任一向量a,使a=λe1+μe2的实数λ,μ有无数多对
C.若λ1,μ1,λ2,μ2均为实数,且向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2)
D.若存在实数λ,μ,使λe1+μe2=0,则λ=μ=0
　平面向量的坐标运算
例2 (1)[2026·广东广州期中] 已知向量=(-1,2),=(2,3),则= (　 )
A.(1,1) B.(1,5)
C.(3,1) D.(-3,-1)
(2)[2025·安徽A10联盟期中] 若{α,β}是一个基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底{α,β}下的坐标.现已知向量a在基底{p=(1,-1),q=(2,1)}下的坐标为(-2,2),则a在另一个基底{m=(-1,1),n=(1,2)}下的坐标为 (　 )
A.(2,0) B.(0,-2)
C.(0,2) D.(-2,0)
总结反思
向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算.
【对点演练2】 (1)已知向量=(3,-6),且点B(2,-4),则点A的坐标为 (　 )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(5,-10) D.(-5,10)
(2)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则 λ+μ 的值为 (　 )
A.2.5
B.3
C.-2.5
D.-3
　平面向量共线的坐标表示
例3 (1)已知M(2,-4),N(6,-7),则与同方向的单位向量为 (　 )
A.(4,-3) B.(-4,3)
C. D.
(2)[2026·四川成都联考] 已知向量a=(cos α,1),b=(sin α,),则“α=”是“向量a,b共线”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
总结反思
(1)注意两个平面向量共线的充要条件.
(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两个向量平行,也可以由向量平行求参数.当两个向量的坐标均为非零实数时,也可以利用坐标对应成比例来求解.
【对点演练3】 (1)[2025·河南洛阳模拟] 已知两个不相等的向量a=(2,m+1),b=(2-4m,1),若a∥(2a-b),则m= (　 )
A. B.0 C.- D.-
(2)(多选题)已知向量a=(1,-2),|b|=4|a|,a∥b,则b= (　 )
A.(4,-8) B.(2,-4)
C.(-4,-8) D.(-4,8)

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