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第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例
【课标要求】　
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.
2.通过几何直观,了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.能用坐标表示平面向量的数量积,会表示两个平面向量的夹角.
5.能用坐标表示平面向量垂直.
6.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用.
1.平面向量的数量积
(1)向量的夹角
①定义:已知两个非零向量a,b(如图),O是平面内任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作向量a与b的夹角.
②性质:当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
③向量垂直:如果a与b的夹角是,我们说a与b垂直,记作a⊥b.
(2)数量积的定义
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量　　　　　　叫作向量a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=　　　　　　.
规定:零向量与任一向量的数量积为　　,即0·a=0.
(3)投影向量
如图,在平面内任取一点O,作=a,=b,过点M作直线ON的垂线,垂足为M1,则　　　　就是向量a在向量b上的投影向量,且=|a|cos θ e(e为与b方向相同的单位向量).
2.平面向量数量积的性质
设a,b是非零向量,它们的夹角是θ,e是与b方向相同的单位向量.
①a·e=e·a=　　　　.
②a⊥b 　　　　.
③当a与b同向时,a·b=　　　　;当a与b反向时,a·b=　　　　.特别地,a·a=a2=　　　　或|a|=　　　　.
④|a·b|　　　|a||b|.
3.平面向量数量积的运算律
对于向量a,b,c和实数λ,有
①交换律:　　　　　　　　;
②数乘结合律:(λa)·b=　　　　　　=　　　　　(λ∈R);
③分配律:(a+b)·c=　　　　　　.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),为a与b的夹角.
向量表示 坐标表示
向量a的模 |a|= |a|=　　　
a,b的数 量积 a·b= |a||b|cos a·b=　　　
a与b垂直 a⊥b a·b=0 a⊥b 　　　
a与b的夹角 cos= cos= 　　　　　
常用结论
1.设a,b为两个平面向量,则有恒等式a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
2.S△ABC=||||sin A=
.
3.若两个向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,反之不成立(因为a与b的夹角为0时不成立).
4.若两个向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,反之不成立(因为a与b的夹角为π时不成立).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a,b,c为非零向量,则(a·b)c=a(b·c). (　 )
(2)若a·b=a·c,则b=c. (　 )
(3)若a·b=0,则a=0或b=0. (　 )
题组二　教材改编
1.若|a|=3,|b|=4,a,b的夹角为135°,则a·b=(　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-3 B.-6 C.6 D.2
2.已知向量a,b满足a·b=0,|a|=1,|b|=2,则|2a+b|= (　 )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.已知向量a=(2,1),b=(1,2),若c是a在b上的投影向量,则c= (　 )
A. B.
C. D.
4.已知a=(-,-1),b=(1,),那么a,b的夹角θ=　　　　.
　平面向量数量积的运算
例1 (1)[2026·河北张家口模拟] 在△ABC中,B=,AB=BC=2,则·=(　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.- C.-2 D.
(2)[2026·福建厦门质检] 在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4,AD=2,CD=1,∠DAB=60°,则·= (　 )
A.4 B.6 C.8 D.12
(3)已知点P在圆x2+y2=2上,A(4,0),B(-4,0),则·的值为　　　　.
总结反思
计算平面向量数量积的方法
(1)利用定义:a·b=|a||b|cos.
(2)利用坐标运算,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【对点演练1】 (1)[2025·重庆质检] 已知 e 为单位向量,向量 a=(,1) ,若 cos= ,则 a·(a-e)= (　 )
A.2 B.3 C.4 D.5
(2)[2025·湖南长沙模拟] 已知菱形ABCD的边长为1,∠DAB=60°,E是BC的中点,AE与BD相交于点F,则·= (　 )
A. B. C.1 D.
　平面向量数量积的应用
题型1　平面向量的模
例2 (1)[2025·湖北十堰调研] 已知单位向量a,b满足a·b=,则|a+b|= (　 )
A.0 B.1 C.2 D.
(2)[2025·全国二卷] 已知平面向量a=(x,1),b=(x-1,2x),若a⊥(a-b),则|a|=　　　　.
题型2　平面向量的夹角
例3 (1)已知向量m,n满足|m|=2|n|=2,且m+n=(-,1),则m,n的夹角为 (　 )
A.45° B.60° C.90° D.120°
(2)[2025·黑龙江大庆质检] 已知向量a=(-1,),|b|=2,a·(a-2b)=16,则向量a与b的夹角为 (　 )
A. B. C. D.
题型3　投影向量
例4 (1)[2026·江西赣州二模] 若向量a,b满足|b|=2,a·b=-6,则a在b上的投影向量为 (　 )
A.-3a B.-a C.-3b D.-b
(2)已知向量a=(3,4),b=(-3,0),则a在b上的投影向量为 (　 )
A.(3,0) B.(-3,0)
C. D.
总结反思
1.求平面向量的模的方法:
(1)公式法:①a2=a·a=|a|2或|a|=;
②|a±b|==;
③若a=(x,y),则|a|=.
(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.
2.求平面向量夹角的方法:
(1)定义法:利用向量数量积的定义,得cos=,其中向量a,b夹角的取值范围为[0,π].
(2)坐标法:已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos=.
3.求投影向量的方法:
(1)b在a上的投影向量为|b|cos θ·(θ为a,b的夹角),a在b上的投影向量为|a|cos θ·.
(2)b在a上的投影向量为·a,a在b上的投影向量为·b.
【对点演练2】 (1)[2025·陕西商洛模拟] 已知|a+b|=|a-b|,则a+b在b上的投影向量为 (　 )
A.b　 　B.-b　 　C.a　 　D.-a
(2)[2025·辽宁沈阳三模] 已知向量a,b满足|a|=2,(a+b)·b=2,则|a+2b|等于 (　 )
A.12 B.10
C.2 D.
　平面向量在物理中的应用
例5 (1)[2025·全国一卷] 帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小和方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图(线段长度代表速度大小,单位m/s),则真风为 (　 )
级数 名称 风速大小
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
　　　　　　　　　　　　　　　
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
(2)[2026·山西长治质检] 平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.若|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为45°,则F3与F1夹角的余弦值为 (　 )
A.- B.
C.- D.
总结反思
用向量方法解决实际问题的步骤
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
【对点演练3】 (1)[2026·宁夏银川质检] 如图所示,质点P从点A出发,沿AB,BC,CD运动至点D, 已知AB∥CD,AB=4,BC=2,CD=3,·=-2,则质点P位移的大小是 (　 )
A.9 B.2
C.2 D.
(2)(多选题)如图,一条河两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从河岸边的A地出发,向河对岸航行,已知船的速度v1的大小|v1|=10 km/h,水流速度v2的大小|v2|=2 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0<θ<π),则下列说法正确的为 (　 )
A.当船的航行时间最短时,θ=
B.当船的航行距离最短时,cos θ=
C.当θ=时,船的航行时间为6分钟
D.当θ=时,船的航行距离为 km第29讲　平面向量的数量积与平面向量应用举例
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(2)|a||b|cos θ　|a||b|cos θ　0　(3)
2.①|a|cos θ　②a·b=0　③|a||b|
-|a||b|　|a|2　　④≤
3.①a·b=b·a　②λ(a·b)　a·(λb)　③a·c+b·c
4.　x1x2+y1y2　x1x2+y1y2=0　　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)因为(a·b)c表示的是与c共线的向量,a(b·c)表示的是与a共线的向量,所以(a·b)c=a(b·c)不一定成立,故错误.
(2)当a=0时,满足a·b=a·c=0,但b=c不一定成立,故错误.
(3)当a·b=0时,a与b可能均为非零向量且a⊥b,故错误.
题组二
1.B　[解析] a·b=|a|·|b|cos 135°=3×4×=-6.故选B.
2.A　[解析] |2a+b|2=(2a+b)2=4|a|2+4a·b+|b|2=4+0+4=8,则|2a+b|=2.故选A.
3.C　[解析] 由题意可得a·b=2×1+1×2=4,|b|==,所以c=·b=b=.故选C.
4.150°　[解析] ∵a=(-,-1),b=(1,),∴|a|=2,|b|=2,a·b=-×1-1×=-2,∴cos θ===-.又0°≤θ≤180°,∴θ=150°.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)C　(3)-14
[解析] (1)依题意得,·=||||cos(π-B)=2××=-2.故选C.
(2)如图,由题可知=,所以=+=+.因为·=2×4cos 60°=4,所以·=·=·+||2=4+×16=8,故选C.
(3)圆x2+y2=2的半径为.
设P(cos θ,sin θ),则=(4-cos θ,-sin θ),=(-4-cos θ,-sin θ),
故·=(4-cos θ)(-4-cos θ)+(-sin θ)(-sin θ)=-16+2cos 2θ+2sin 2θ=-14.
对点演练1　(1)B　(2)B　[解析] (1)∵|e|=1,|a|=2,∴a·(a-e)=|a|2-a·e=|a|2-|a||e|cos=4-2×1×=3.故选B.
(2)如图,由题可知AD∥BE,所以∠DAF=∠BEF,∠ADF=∠EBF,所以△FEB∽△FAD,所以==2,所以===+,故·=·=+·=×12+×1×1×=.故选B.
探究点二
例2　(1)D　(2)　[解析] (1)(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,则|a+b|=.故选D.
(2)因为a=(x,1),a-b=(x,1)-(x-1,2x)=(1,1-2x),a⊥(a-b),所以a·(a-b)=x+1-2x=1-x=0,解得x=1,所以|a|==.
例3　 (1)B　(2)C　[解析] (1)由题知|n|=1,由m+n=(-,1),得(m+n)2=-×(-)+1×1=7,即m2+n2+2m·n=7,所以4+1+2m·n=7,则m·n=1,所以cos==.又0°≤≤180°,所以m,n的夹角为60°,故选B.
(2)因为向量a=(-1,),所以|a|==2.又a·(a-2b)=a2-2a·b=4-2a·b=16,所以a·b=-6.设向量a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则cos θ===-,所以θ=.故选C.
例4　 (1)D　(2)A　[解析] (1)由投影向量的定义知,a在b上的投影向量为·=·b=-b.故选D.
(2)由题知|b|=3,a·b=3×(-3)+4×0=-9.a在b上的投影向量为·=·=(3,0).故选A.
对点演练2　(1)A　(2)C　　[解析] (1)由|a+b|=|a-b|,可得|a+b|2=|a-b|2,即(a+b)2=(a-b)2,即a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,所以a·b=0,即a⊥b.如图所示,设=a,=b,则四边形ABCD为矩形,=a+b,所以a+b在b上的投影向量为·b=·b=b.故选A.
(2)由(a+b)·b=2,得a·b+b2=2,即a·b+|b|2=2,又|a|=2,所以|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=|a|2+4(a·b+|b|2)=4+4×2=12,所以|a+2b|=2,故选C.
探究点三
例5　(1)A　(2)A　[解析] (1)设视风风速对应的向量为n,真风风速对应的向量为n1,船速对应的向量为n2,由题图得n=(0,2)-(3,3)=(-3,-1),n2=(3,3)-(2,0)=(1,3).因为船速对应的向量和船行风风速对应的向量大小相等、方向相反,所以船行风风速对应的向量为-n2.因为视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,所以n=n1-n2,则n1=n+n2=(-3,-1)+(1,3)=(-2,2),所以|n1|==2≈2.828,由题表得真风为轻风,故选A.
(2)由题意可知F1+F2+F3=0,则|F3|=|F1+F2|==
=.设F3与F1的夹角为θ,则|F2|=|F1+F3|=
,即=
,解得cos θ=-,故选A.
对点演练3　(1)D　(2)AC　[解析] (1)因为AB=4,CD=3,AB∥CD,所以·=12.设与的夹角为θ,则·=||||cos θ=-2,得cos θ=-.因为AB∥CD,所以·=||||cos θ=2×3×=-.因为点P的位移为=++,所以||2==+++2·+2·+2·=46,所以||=.故选D.
(2)由题意知船垂直河岸方向的分速度v的大小|v|=|v1|sin θ,河宽d=500 m=0.5 km,则航行时间t=== .对于A,当sin θ=1,即θ=时,t取得最小值,所以当船的航行时间最短时,θ=,故A正确;对于B,当船的航行距离最短时,船的实际航行速度的方向垂直于河岸,如图,
则cos(π-θ)==,所以cos θ=-,故B错误;对于C,当θ=时,船垂直河岸方向的分速度v的大小|v|=|v1|sin θ=10×=5 (km/h),
船的航行时间t===(h),即6分钟,故C正确;对于D,设船的实际速度为v0,则v0=v1+v2,当θ=时,v1·v2=|v1||v2|cos =10×2×=-10,所以|v0|====2,因为船垂直河岸方向的分速度v的大小|v|=|v1|·sin θ=10×=5(km/h),所以船的航行时间t===(h),所以船的航行距离为|v0|·t=2×=(km),故D错误.故选AC.

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