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微专题6　 平面向量中的综合问题
微点一
例1　BC　[解析] 因为AB=7,AC=5,BC=3,所以cos A==,所以sin A==.对于A,若CD是高,则CD=AC·sin A=5×=,故A不正确.对于B,由题得cos C==-,因为CD是中线,所以=(+),所以==(++2·)=×=,所以CD=,故B正确.对于C,由B选项分析可得C=,若CD为角平分线,则∠ACD=∠BCD=.因为S△ACD+S△BCD=S△ACB,所以CA·CDsin+CB·CDsin=CA·CBsin,整理可得8CD=15,得CD=,故C正确.对于D,设=λ,λ∈(0,1),则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ,所以=(1-λ)2+λ2+2λ(1-λ)·.因为CD=3,AC=5,BC=3,·=3×5×=-,所以49λ2-65λ+16=0,解得λ=或λ=1(舍),所以D不是线段AB的三等分点,故D不正确.故选BC.
对点演练1　C　[解析] 方法一:设=λ,则=-.因为AD⊥CF,所以·=0,又D是CB边的中点,所以=(+),所以(+)·(-)=0,所以(+)·(λ-)=0,所以(λ-1)·+λ-=0.因为AC=BC=1,∠ACB=90°,所以AB==,∠BAC=45°,所以=1,=2,·=1××=1,则(λ-1)+2λ-1=0,解得λ=,所以=,所以BF=AB=.
方法二:因为∠ACB=90°,AC=BC=1,所以△ABC为等腰直角三角形,所以B=45°.因为D为CB边的中点,所以CD=BD=,所以AD===.因为CE⊥AD,所以∠CED=90°,所以AD·CE=AC·CD,则CE===,所以DE===.
如图,过点F作FH⊥CB,交CB于点H,则△FHB为等腰直角三角形,设FH=HB=x,则CH=1-x,因为tan∠FCB==,
所以=,解得x=,所以BF=.故选C.
微点二
例2　C　[解析] 由题可知=-=-.设=λ,则=+=+λ=+λ=λ+(1-λ)=+m,所以解得所以=+.因为S△ABC=||·||sin∠BAC=||·||=2,所以||·||=8.==++·=++||·||cos∠BAC≥2+||·||=||·||=,当且仅当||=||=2时,等号成立,所以||的最小值为.故选C.
例3　(1)D　(2)D　 [解析] (1)如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1).设N(m,n),0≤m≤2,0≤n≤2,则=(2,-1),=(m-2,n-2),所以·=(2,-1)·(m-2,n-2)=2m-4+2-n=2m-n-2,故当m=2,n=0时,·=2m-n-2取得最大值,最大值为4-0-2=2.故选D.
(2)点O为正八边形的中心,故∠AOB=360°÷8=45°.取AB的中点T,连接OT,则OT⊥AB,∠AOT=∠BOT=22.5°.又sin 22.5°==
,所以AT=OAsin 22.5°=,则AB=2AT=,故BC=CD=AB=.过点P作PS⊥AB,交AB的延长线于点S,由正八边形的性质知CD⊥AB,∠CBS=45°.当点P在CD上时,如图①,BS=BCsin 45°=×=,则AS=AB+BS=+,此时·=||·||=×=2-+=2-+(2-)=1,由图①可知,此时·取得最大值1;
当点P在BC上运动时,如图②,·=||·||,显然当P与B重合时,·取得最小值,最小值为==2-.所以·的取值范围是[2-,1],故选D.
例4　(1)B　(2)D [解析] (1)在平面直角坐标系xOy中,设=a=(a,2-a),=b=,则点P在直线y=2-x上运动,点Q在曲线y=上运动.作出直线y=2-x与曲线y=,如图所示,因为|a-b|=|-|=||,所以|a-b|的最小值即为||的最小值,即求直线y=2-x上的点P与函数y=图象上的点Q间的最小距离.
对于函数y=,令y'=-=-1,得x=±2,则y=±2,由图知,点Q到直线x+y-2=0的最小距离为=,即|PQ|min=.故选B.
(2)由题意知,点A,B,C分别在以O为圆心,4,3,1为半径的圆上.因为·=0,所以⊥,所以AB==5.设D为AB的中点,连接OD,则OD=AB=,所以点D在以O为圆心,为半径的圆上.因为D为AB的中点,所以+=2,则|+|=2||.又||-||≤||≤||+||,所以≤||≤,所以|+|的最小值为3.故选D.
对点演练2　(1)C　(2)B　(3)B
[解析] (1)方法一:以A为原点,AB,AD所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),D(0,4),O(2,2),
点P在圆(x-2)2+(y-2)2=32上.设点P(2+4cos θ,2+4sin θ),则=(2+4cos θ,2+4sin θ),=(4,0),=(0,4).因为=λ+μ,所以(2+4cos θ,2+4sin θ)=λ(4,0)+μ(0,4)=(4λ,4μ),所以4λ=2+4cos θ,4μ=2+4sin θ,所以λ+μ=sin θ+cos θ+1=2sin+1≤3,即λ+μ的最大值为3.
方法二:如图,连接BD,过点P作平行于BD的直线,分别交直线AB,AD于点M,N,设直线AP交直线BD于点Q,取线段MN的中点E,延长AO与圆O交于点F.因为D,Q,B三点共线,所以存在p∈R,使得=p,所以-=p(-),则=p+(1-p).
因为A,Q,P三点共线,所以存在k∈R,使得=k=kp+k(1-p).因为=λ+μ,且,不共线,所以λ=kp,μ=k(1-p),所以λ+μ=kp+k(1-p)=k.因为AB=AD,且∠ABD=45°,MN∥BD,所以∠AMN=45°,所以△AMN为等腰直角三角形,所以AE⊥MN.易知AO⊥BD,所以AO⊥MN,故A,O,E三点共线.要使得λ+μ取得最大值,则k>0,且k==≤==3,当且仅当E为射线AO与圆O的交点F时,λ+μ取得最大值3,故选C.
(2)方法一:因为圆O的半径为2,AB=2,所以△OAB为等边三角形,建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(2,0),B(1,),设D(2cos θ,2sin θ),则=(2cos θ-2,2sin θ),=(-1,),所以·=2sin θ-2cos θ+2=4sin +2.当sin=-1时,·取得最小值-2.故选B.
方法二:如图,作圆的直径EF∥AB,过E作EC垂直于BA的延长线,垂足为C,连接AE.
·可以看作在上的投影向量与的数量积.由圆的性质知,当D与E重合时,·取得最小值.因为AB=OA=2,所以∠BAO=∠OAE=∠EAC=60°,则AE=2,所以AC=×2=1,所以·的最小值为·=1×2cos 180°=-2.故选B.
(3)方法一:因为|a|=1,|b|=,a·b=0,所以|b-a|==2.又|a-c|=|b-c|,所以|a-c|2=|b-c|2,即a2-2a·c+c2=b2-2b·c+c2,即1-2a·c=3-2b·c,所以b·c-a·c=1,即(b-a)·c=1.设b-a与c的夹角为θ,则(b-a)·c=|b-a|·|c|·cos θ=1,|c|=.当cos θ=1时,|c|取得最小值.故选B.
方法二:因为a·b=0,所以a⊥b,
设=a,=b,则△OAB是以1,为直角边,∠BOA为直角的直角三角形,则||=2.设=c,D为AB的中点,如图,由|a-c|=|b-c|知,C点在线段AB的垂直平分线EF上.易知∠OAB=60°=∠ADO,∠ODF=30°,OD=1,则|c|的最小值为点O到直线DE的距离.故选B.
方法三:设=a,=b,因为a·b=0,所以OA⊥OB.以O为原点,OB,OA所在直线分别为x,y轴,
建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,1),B(,0).设c=(x,y),由|a-c|=|b-c|知,=,可得y=x-1,则|c|===
,所以当x=时,|c|取得最小值.故选B.
微点三
例5　3　[解析] 因为G是△OAB的重心,所以=,易知=+,所以==+.又因为P,G,Q三点共线,所以存在实数λ,μ满足=λ+μ,且λ+μ=1.又=x,=y,所以=λx+μy,可得即
所以+=3(λ+μ)=3.
对点演练3　①④　[解析] 设=λ+μ(λ,μ∈R),由题图可知λ>0,μ>0,且λ+μ>1,则①④正确.故填①④.
微点四
例6　D　[解析] 因为a+b+c=0,所以=--.因为G为△ABC的重心,所以++=0,所以=--.由平面向量基本定理可得==1,则a=b=c,所以a∶b∶c=1∶1∶,所以a2+b2=c2,a=b,故三角形ABC是等腰直角三角形.故选D.
例7　外心　[解析] 取AB的中点D,连接CD,如图所示,
因为·(+)=2·=2·,所以·(-)=0,所以·=0,所以⊥,即点P在线段AB的中垂线上.又因为=,所以点P在线段AC的中垂线上,所以P为△ABC的外心.
例8　　[解析] 如图,取BC的中点D,依题意,5=
-4(+)=-8,所以A,I,D三点共线,AB=AC,所以AD⊥BC.由r=ID=10,得IA=16,AD=IA+ID=26.作IE⊥AB于点E,则IE=ID=10,所以sin∠BAD==,cos∠BAD=,tan∠BAD=,所以BC=2BD=2AD·tan∠BAD=2×26×=.又sin∠BAC=sin 2∠BAD=2××=,所以2R==×=,则R=.
例9　-　[解析] 由=+,得4=(+)+2(+),化简得=+2,则-=·+2·=·(+)+2·(+)==3·=-1,故·=-.
对点演练4　(1)C　(2)C　(3)B　(4) [解析] (1)如图,取BC的中点D,连接AD.因为G为△ABC的重心,所以G在AD上,且=.又=(+),所以=+.设=λ(0<λ<1),则=+.又=3,所以=λ+.又C,M,N三点共线,所以λ+=1,可得λ=,所以=.故选C.
(2)如图,延长BO,交AC于点E.因为O为△ABC的内心,所以BE为∠ABC的平分线,由角平分线的性质可得==,同理可得=,又AC=2,所以AE=AC=,且=,又==,所以=,则=.因为=-,=-,所以-=(-),则=+,则==(5+3),故·=(5+3)·(-)=(5-3-2·)==×(-52)==-2(4-)=2-8.故选C.
(3)在△ABC中,由H为△ABC的垂心,得⊥,由+=,得(+)·(-)=·(-)=·=0,则=,即||=||.又=++=++(+)=+,⊥,所以同理可得||=||,因此点O为△ABC的外心,B正确,A错误.由题意无法得到C,D,故C,D错误.故选B.
(4)由=λ+(1-λ),可得-=λ(-),即=λ,所以与共线,所以O,B,C三点共线. 因为点O为△ABC的外心,所以OA=OB=OC,
所以∠BAC=90°,即△ABC是直角三角形. 因为在向量上的投影向量为,所以||cos B·=,可得cos B=.
又因为cos B=,所以cos2B=.因为0微点一　平面向量在几何中的应用
例1 (多选题)在△ABC中,AB=7,AC=5,BC=3,点D在线段AB上(不包括端点),下列结论正确的是 (　 )
A.若CD是高,则CD=
B.若CD是中线,则CD=
C.若CD是角平分线,则CD=
D.若CD=3,则D是线段AB的三等分点
总结反思
破解向量在几何问题中的应用的步骤:
(1)设出向量或将某些向量用其他向量进行表示,将几何问题转化为向量问题;
(2)利用向量之间的计算解决几何图形上的长度、夹角等问题.
【对点演练1】 [2026·江西南昌模拟] 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,D是CB边的中点,过点C作CE⊥AD于点E,延长CE交AB于点F,则BF= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
微点二　与向量有关的最值(范围)问题
题型1　与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 [2025·安徽合肥模拟] 如图,在△ABC中,∠BAC=,=,P为CD上一点,且满足=m+,若S△ABC=2,则||的最小值是 (　 )
A.2 B.4
C. D.
题型2　与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (1)[2025·江西新余模拟] 已知在正方形ABCD中,AB=2,M为BC的中点,N为正方形ABCD内部或边界上一点,则·的最大值为 (　 )
A.1 B. C. D.2
(2)[2025·重庆沙坪坝区模拟] 如图所示,点O为正八边形ABCDEFGH的中心,已知||=1,点P为BC或CD上的一个动点,则·的取值范围是 (　 )
A.[1,2]
B.[2-,]
C.[,1]
D.[2-,1]
题型3　与模有关的最值(范围)问题
例4 (1)[2026·云南昆明模拟] 已知向量a=(a,2-a),b=,则|a-b|的最小值为(　 )
A.1 B. C.2 D.4
(2)[2026·四川泸州一模] 已知平面向量||=4,||=3,||=1,·=0,则|+|的最小值是 (　 )
A.1 B.2 C. D.3
总结反思
1.破解与平面向量基本定理有关的含参最值或范围问题的关键:
一是会用定理,即会利用平面向量基本定理,把二维平面中的任一向量用不共线的两个向量来表示;
二是求目标代数式,通过对所引入的参数的判断,利用函数的单调性、配方法、基本不等式等求出参数的最值或范围.
2.破解向量数量积的最值或范围问题的关键:
一是会计算向量的数量积,有关向量数量积的计算通常有两种方法,数量积的定义、坐标运算;
二是求目标代数式,通过引入参数求出向量数量积,转化为关于参数的函数,此时,常利用函数的单调性、配方法、基本不等式等求出向量数量积的最值或范围.
3.破解与平面向量的模有关的最值或范围问题的方法:
一种是借助函数,可以建系借助坐标法求解;另一种是借助向量的几何意义,常用三角形法则与数形结合求解.
【对点演练2】 (1)铜钱, 古代铜质钱币,指秦汉以后的各类方孔圆钱,其形状如图所示.若图中正方形ABCD的边长为4,圆O的半径为4,正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合,动点P在圆O上,且=λ+μ,则λ+μ的最大值为(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)已知圆O的半径为2,弦AB=2,D为圆O上的一个动点,则·的最小值为 (　 )
A.-1 B.-2
C.-4 D.-6
(3)[2025·河北保定模拟] 平面向量a,b满足|a|=1,|b|=,a·b=0,若|a-c|=|b-c|,则|c|的最小值为 (　 )
A.1 B. C. D.
微点三　等和线定理
例5 [2025·辽宁沈阳模拟] 如图,M为AB中点,G是△OAB的重心,P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.设=x,=y,则+=　　　　.
总结反思
1.等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,l∥l',由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1,由△OAB与△OA'B'相似,可知必存在一个常数k,k∈R,使得=k,
则=k=kλ+kμ,又=x+y(x,y∈R),所以x+y=kλ+kμ=k;反之也成立.
(2)平面内一个基底{,}及任一向量','=λ+μ(λ,μ∈R),若点P'在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
①当等和线恰为直线AB时,k=1;
②当等和线在点O与直线AB之间时,k∈(0,1);
③当直线AB在点O与等和线之间时,k∈(1,+∞);
④当等和线过点O时,k=0;
⑤若两等和线关于点O对称,则定值k1,k2互为相反数;
⑥定值k的变化与点O到等和线的距离成正比.
【对点演练3】 如图所示, 点P在由线段AB,AC的延长线及线段BC围成的阴影区域内(不含边界),则下列说法中正确的是　　　　.(填写所有正确说法的序号)
①存在点P,使得=+2;
②存在点P,使得=-AB+2;
③存在点P,使得=-2;
④存在点P,使得=+.
微点四　平面向量与三角形“四心”
题型1　平面向量与三角形的重心
例6 已知三角形ABC的重心为G,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+c=0,则三角形ABC的形状是 (　 )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
题型2　平面向量与三角形的外心
例7 设P是△ABC所在平面内的一点,若·(+)=2·,且||=||,则点P是△ABC的　　　　.(填“外心”“内心”“重心”“垂心”)
题型3　平面向量与三角形的内心
例8 [2026·福建福州九校联考] 已知I为△ABC的内心,且5=4(+),记R,r分别为△ABC的外接圆、内切圆半径,若r=10,则R=　　　　.
题型4　平面向量与三角形的垂心
例9 [2025·福建福州期中] 已知H是△ABC的垂心,满足=+,且||=1,则·=　　　　.
总结反思
1.重心:三角形三条中线的交点,重心将中线分成长度之比为2∶1的两部分.
三角形重心的相关结论:若O为△ABC的重心,则
(1)S△BOC∶S△COA∶S△AOB=1∶1∶1;
(2)++=0;
(3)若动点P满足=+λ(+),λ∈(0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的重心;
(4)若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的重心;
(5)已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心坐标为.
2.外心:三角形三条中垂线的交点(外接圆的圆心),外心到三角形各顶点的距离相等.
三角形外心的相关结论:若O为△ABC的外心,则
(1)==;
(2)若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心;
(3)若(+)·=(+)·=(+)·=0,则O是△ABC的外心;
(4)S△BOC∶S△COA∶S△AOB=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C;
(5)sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0.
3.内心:三角形三条角平分线的交点(内切圆的圆心),内心到三角形各边的距离相等.
三角形内心的相关结论:设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边,若O为△ABC的内心,则
(1)S△BOC∶S△COA∶S△AOB=a∶b∶c;
(2)a·+b·+c·=0;
(3)若动点P满足=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的内心;
(4)·=·=·=0.
4.垂心:三角形三条高线的交点,高线与对应边垂直.
三角形垂心的相关结论:若O为△ABC的垂心,则
(1)·=·=·;
(2)||2+||2=||2+||2=||2+||2;
(3)若动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心;
(4)S△BOC∶S△COA∶S△AOB=tan A∶tan B∶tan C;
(5)tan A·+tan B·+tan C·=0.
【对点演练4】 (1)已知G为△ABC的重心,线段AB上一点N满足=3,CN与AG相交于点M,则= (　 )
A. B. C. D.
(2)[2026·山东菏泽期中] 已知O为△ABC的内心,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且a=3,b=2,c=5,则·= (　 )
A.-7 B.-2
C.2-8 D.3-9
(3)已知在△ABC中,H为△ABC的垂心,O是△ABC所在平面内一点,且+=,则以下说法中正确的是 (　 )
A.点O为△ABC的内心
B.点O为△ABC的外心
C.∠ACB=90°
D.△ABC为等边三角形
(4)已知点O为△ABC的外心,且向量=λ+(1-λ),λ∈R,若向量在向量上的投影向量为,则cos B的值为　　　　.

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