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第30讲　复数
【课标要求】　
1.通过方程的解,认识复数.
2.理解复数的代数表示及其几何意义,理解两个复数相等的含义.
3.掌握复数代数表示式的四则运算,了解复数加、减运算的几何意义.
1.复数的有关概念
(1)复数的概念
形如a+bi(a,b∈R)的数叫作复数,其中i叫作虚数单位,a叫作复数的　　　　,b叫作复数的　　　　.
对于复数z=a+bi(a,b∈R)
特别的,当且仅当　　　　时,它是实数0.
(2)复数相等:a+bi=c+di 　　　　　　(a,b,c,d∈R).
(3)共轭复数:a+bi与c+di共轭 　　　　(a,b,c,d∈R).
(4)复数的模:向量=(a,b)的模叫作复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),记作　　　　　或　　　　　,即|z|=|a+bi|=　　　　　.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||.
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R)复平面内的点Z(a,b).
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量　　　　　　(O为坐标原点).
3.复数的运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则
①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　　　　;
②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　　　　;
③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=　　　　　　　　　　;
④除法:===　　　　　　　　　.
(2)复数加法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=　　　　　,(z1+z2)+z3=　　　　　　　.
复数加、减法几何意义:复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义,即=　　　　　　,=　　　　　　.
(3)复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有z1z2=z2z1,(z1z2)z3=z1(z2z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
常用结论
1.(1±i)2=±2i,=i,=-i,=1.
2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
3.|z|2=||2=z·.
4.||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
5.|z1·z2|=|z1|·|z2|,=,|zn|=|z|n(n∈N*).
6.复平面内的中点坐标公式:在复平面内,若点C为线段AB的中点,A,B,C对应的复数分别为zA,zB,zC,则zC=.特别地,在复平面内,△ABC的重心G对应的复数zG=.
7.(1)若在复平面内z对应的点为Z,a≤|z|≤b,则点Z的集合是以原点O为圆心,分别以a和b为半径的两圆所夹的圆环.
(2)若在复平面内z对应的点为Z,|z-(a+bi)|=r(r>0),则点Z在以(a,b)为圆心,r为半径的圆上.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)3+4i的实部是3,虚部是4i. (　 )
(2)对于复数z=a+bi(a,b∈R),若b=0,则z是实数;若b≠0,则z是纯虚数. (　 )
(3)若复数z满足z∈R,则∈R. (　 )
(4)若复数z满足z2∈R,则z∈R. (　 )
(5)复数可以比较大小. (　 )
题组二　教材改编
1.若复数z=(a+1)+2i为纯虚数,则实数a= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.-1 B.0 C.1 D.i
2.= (　 )
A. B.
C. D.
3.在复平面内,若向量与对应的复数分别是3+2i,-1+4i,则向量对应的复数为 (　 )
A.2+6i B.4-2i
C.-4+2i D.4+6i
4.若复数z满足1≤|z|≤2,则在复平面内,z所对应的点组成的图形的面积为　　　　.
　复数的概念及运算
例1 (1)[2025·全国一卷] (1+5i)i的虚部为 (　 )
A.-1 B.0 C.1 D.6
(2)设复数z满足=1+i,则|z|= (　 )
A. B. C. D.
(3)已知z=+a(a∈R),若z∈R,则a的值是 (　 )
A.1 B.0 C.-3 D.-4
总结反思
复数运算的双关
一是“运算关”,即熟练掌握复数的四则运算.复数的乘法:类似于多项式的乘法运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可.复数的除法:进行复数除法运算的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,解题时要注意把i的幂写成最简形式.
二是“概念关”,复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等,在解题时要注意辨析概念,灵活使用条件得出符合要求的答案.
【对点演练1】 (1)[2026·吉林长春模拟] 已知复数z=m2-1+(m+1)i为纯虚数,则实数m的值为 (　 )　　　　　　 　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.-1　　B.1　　C.-1或1　　D.2
(2)[2025·湖南长沙模拟] 若复数为实数,则实数a等于 (　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
(3)(多选题)[2026·浙江金华模拟] 已知复数z1,z2互为共轭复数,则 (　 )
A.|z1|=|z2|
B.z1·z2=|z1|·|z2|
C.=-
D.=
　复数的几何意义
例2 (1)[2025·湖北黄冈模拟] 复数的共轭复数在复平面内对应的点位于 (　 )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
(2)[2026·湖南师大附中模拟] 在复平面内,O为坐标原点,复数1-i,-1+2i对应的向量分别是,,则对应的复数为 (　 )
A.-2+3i B.i
C.2-3i D.-i
(3)(多选题)[2025·辽宁沈阳模拟] 设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列选项正确的有 (　 )
A.若|z-1|=1,则|z+3+3i|的最大值为6
B.若|z-1|+|z+1|=2,则点Z的轨迹为椭圆
C.若|z-1|+|z+1|=4,则点Z的轨迹为椭圆
D.若(|z-1|-1)(|z+2|-2)=0,则点Z的轨迹长度为6π
总结反思
(1)复数z在复平面内对应的点Z和向量一一对应.
(2)复数的几何意义:复数z在复平面内对应的点的坐标就是向量的坐标.对于复数z=a+bi(a,b∈R),其在复平面内对应的点的坐标是(a,b),复数的模即其对应向量的模.
【对点演练2】 (1)已知复数在复平面内对应的点为(1,-1),则z= (　 )
A.-+i B.--i
C.--i D.-+i
(2)已知z1=2+i,z2=3-i,复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|Z1Z2|=(　 )
A.5 B. C.2 D.
(3)(多选题)[2025·福建龙岩质检] 已知复数z=1-i,则 (　 )
A.复数的模为2
B.复数z在复平面内对应的点位于第二象限
C.复数z是方程x2-2x+4=0在复数集内的解
D.若复数ω满足|ω-z|=1,则|ω|max =3第30讲　复数
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)实部　虚部　b=0　b≠0　a=0且b≠0　a≠0且b≠0　a=b=0
(2)a=c且b=d　(3)a=c且b=-d
(4)|z|　|a+bi|　
2.(2)=(a,b)　
3.(1)①(a+c)+(b+d)i　②(a-c)+(b-d)i　③(ac-bd)+(ad+bc)i
④+i　(2)z2+z1　z1+(z2+z3)　+　-
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
[解析] (1)3+4i的虚部是4,故错误.
(2)当a=0且b≠0时,z是纯虚数,故错误.
(3)若z∈R,可设z=a(a∈R),则=a∈R,故正确.
(4)若z=i,则z2=-1∈R,但z R,故错误.
(5)复数不一定可以比较大小,故错误.
题组二
1.A　[解析] 因为复数z=(a+1)+2i为纯虚数,所以a+1=0,解得a=-1.故选A.
2.D　[解析] ===.故选D.
3.B　[解析] 依题意得=(3,2),=(-1,4),所以=-=(4,-2),故向量对应的复数为4-2i.故选B.
4.3π　[解析] 由复数模的几何意义可知,复数z在复平面内对应的点在如图所示的圆环内(包括边界),小圆的半径r=1,大圆的半径R=2,所以圆环的面积S=π(R2-r2)=3π,即所求面积为3π.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)A　(3)B　[解析] (1)(1+5i)i=-5+i,其虚部为1,故选C.
(2)因为=1+i,所以z=(1+i)z-(1+i),可得iz=1+i,所以z===1-i,故|z|==.故选A.
(3)z=+a=+a=3+a-ai,又z∈R,所以-a=0,解得a=0.故选B.
对点演练1　(1)B　(2)C　(3)ABC
[解析] (1)由题可得所以m=1.故选B.
(2)==+i,因为为实数,所以=0,解得a=1.故选C.
(3)设z1=a+bi,a1b∈R,则z2=a-bi.对于A,|z1|=|z2|=,所以A正确.对于B,z1z2=a2+b2,|z1|·|z2|=a2+b2,所以B正确.对于C,z1-z2=2bi,=(2b)2=4b2,-=-(2bi)2=4b2,所以C正确.对于D,取z1=1+i,z2=1-i,则===i,则=|i|2=1,=i2=-1,所以D错误.故选ABC.
探究点二
例2　(1)B　(2)A　(3)ACD
[解析] (1)===-2-i,其共轭复数为-2+i,-2+i在复平面内对应的点为(-2,1),位于第二象限.故选B.
(2)因为复数1-i,-1+2i在复平面内对应的向量分别为,,所以=(1,-1),=(-1,2),所以=-=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3),则对应的复数为-2+3i.故选A.
(3)在复平面内,设点A(1,0),B(-1,0),C(-3,-3),D(-2,0),复数z=x+yi(x,y∈R)对应的点为Z(x,y).对于A,A,C两点间的距离d==5,由|z-1|=1,得点Z的轨迹是以A为圆心,1为半径的圆,又|z+3+3i|表示C,Z两点间的距离,所以|z+3+3i|的最大值为d+1=6,故A正确;对于B,|z-1|表示A,Z两点间的距离,|z+1|表示B,Z两点间的距离,由|z-1|+|z+1|=2=|AB|,得点Z的轨迹为线段AB,故B错误;对于C,|z-1|+|z+1|=4>|AB|,则点Z的轨迹是以B,
A为焦点,长轴长为4的椭圆,故C正确;对于D,(|z-1|-1)(|z+2|-2)=0,即|z-1|=1或|z+2|=2,易知|z-1|=1表示以A为圆心,1为半径的圆,|z+2|=2表示以D为圆心,2为半径的圆,则点Z的轨迹长度为2π×1+2π×2=6π,故D正确.故选ACD.
对点演练2　(1)B　(2)B　(3)ACD
[解析] (1)由题意可知,=1-i,则z===-+i,所以复数z的共轭复数=--i.故选B.
(2)方法一:因为z1=2+i,z2=3-i,所以Z1(2,1),Z2(3,-1),所以=(3,-1)-(2,1)=(1,-2),则||==,即|Z1Z2|=.
方法二:如图,在复平面内作出复数z1,z2对应的点,分别为Z1(2,1),Z2(3,-1),由勾股定理得|Z1Z2|=
=.故选B.
(3)对于A,||=|z|==2,故A正确;对于B,复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-),位于第四象限,故B错误;对于C,将z=1-i代入方程,得-2(1-i)+4=-2-2i-2+2i+4=0,故C正确;对于D,在复平面内,设复数ω对应的向量为=(x,y),复数z对应的向量为=(1,-),其中O为坐标原点,由|ω-z|=1,得||=1,则复数ω对应的点W在圆心为(1,-),半径为1的圆上,所以=||+||=2+1=3,即|ω|max=3,故D正确.故选ACD.

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