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第六单元　数列
第31讲　数列的概念与简单表示法
【课标要求】　1.通过日常生活和数学中的实例,了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是一种特殊函数.
1.数列的有关概念
有关概念 定义
数列 按照　　　　　　排列的一列数
数列的项 数列中的　　　　
数列的通项 数列{an}的第n项an
通项公式 数列{an}的第n项an与它的序号　　　之间的关系式
前n项和 数列{an}中,Sn =　　　　　　　
2.数列的表示法
表示法 定义
列表法 通过表格表示n与an的对应关系
图象法 用平面直角坐标系内y轴 　　　　一系列孤立的点表示
公式法 通项公式 an= 　　　
递推公式 an+1= f(an);an+1= g(an,an-1)(n≥2)
3.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数　　　
无穷数列 项数　　　
项与项间 的大小 关系 递增数列 an+1　　　　an 其中n∈N*
递减数列 an+1　　　　an
常数列 an+1　　　　an
4. an 与Sn的关系
已知数列{an}的前n项和为Sn,则an=
5. 数列与函数的关系
数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是序号n,对应的函数值是数列的第 n项an,记为 an=f(n).
常用结论
1.对于无穷数列{an},若an>0(an<0)恒成立,则Sn无最大(小)值;若{an}为递增(减)数列,且存在amam+1<0,m∈N*,则Sn有最小(大)值.
2.在数列{an}中,若an最大,则若an最小,则
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)任何一个数列都有唯一的通项公式. (　 )
(2)若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2-3n,则当n=时,Sn取得最小值. (　 )
(3)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2n2-3n+1,则an=Sn-Sn-1=4n-5(n∈N*).(　 )
题组二　教材改编
1.已知数列{an}满足anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),且a1=1,则= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C. D.
2.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,依此归纳数列{an}的通项公式可能是 (　 )
A.an=(-1)n-1+1
B.an=
C.an=2sin
D.an=cos (n-1)π+1
3.已知数列1,,,,3,,…,,…,则3是这个数列的第　　　　项.
　由Sn与an的关系求通项公式
例1 (1)[2026·贵州贵阳联考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点(n,Sn)在函数f(x)=x2+2x的图象上,求数列{an}的通项公式.


(2)[2025·山西大同联考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-2(n∈N*),求{an}的通项公式.



总结反思
1.已知Sn求an的一般步骤:
(1)当n=1时,由a1=S1,求出a1的值;
(2)当n≥2时,由an=Sn-Sn-1求得an的表达式.
提醒:利用an=Sn-Sn-1求通项公式时,应注意n≥2这一前提条件,易忽视验证n=1而出错.
2.当题中包含Sn的任一形式时均可考虑应用Sn与an的关系进行求解,Sn的常见形式有三种:(1)Sn=f(n)型;(2)Sn=f(an)型;(3)Sn与Sn-1型.
3.已知Sn与an关系问题的求解思路
角度1:已知Sn与an的关系;或Sn与n的关系求an 用Sn-Sn-1,得到an
角度2:已知Sn与an的关系求Sn Sn-Sn-1替换题目中的an
【对点演练1】 (1)[2026·江苏扬州期末] 已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn=nan+1-2n(n+1)(n∈N*),则Sn=　　　　.
(2)数列{an}满足a1=1,a1a2+a2a3+…+anan+1=n(n+1)(n+2),求数列{an}的通项公式.



　 数列的函数性质
题型1　数列的单调性
例2 [2025·湖南长沙期末] 数列{an}的通项公式为an=n2-kn(n∈N*),且{an}为递增数列,则k的取值范围是 (　 )
A.(-∞,2]　　　　 B.(-∞,3)
C.(-∞,2) D.(-∞,3]
题型2　数列的周期性
例3 [2026·河北邢台质检] 在数列{an}中,若a1=3,an+1=,则{an}中的项是 (　 )
A.4 B.-4
C. D.-3
题型3　数列的最值
例4 (多选题)[2025·陕西汉中联考] 已知数列{an}的通项公式为an=(n+2)·(n∈N*),则下列说法正确的是 (　 )
A.a1是数列{an}的最小项
B.a4是数列{an}的最大项
C.a5是数列{an}的最大项
D.当n≥5时,数列{an}递减
总结反思
1.判断数列的单调性常用以下两种方法:(1)定义法:已知n∈N*,若满足an+1-an>0,则数列{an}为递增数列;若满足an+1-an<0,则数列{an}为递减数列.(2)函数法:根据数列通项公式的形式将通项公式对应到相应的函数中,利用相应函数的性质求解数列的有关问题,要注意n∈N*.数列单调性的判断更多的是应用定义判断,进而求解数列的最值问题等.
2.数列的周期性主要体现在项数较大的求值问题中.一般要通过递推关系进行列项求值,发现规律,进而解决求值问题.
3.求解数列最值问题常用的方法:
(1)将数列视为当x∈N*时函数f(x)所对应的一系列函数值,先求出f(x)的单调性,利用单调性求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项.
(2)通过通项公式an研究数列的单调性或各项的正负情况,利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项.
【对点演练2】 (1)已知数列{an},满足an+2+an+1+an=1,a1=2,a2=1,则a300= (　 )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
(2)数列{an}的通项公式为an=n2-10n+21,则当该数列的前n项和取得最小值时,n的值为 (　 )
A.5 B.7
C.7或8 D.6或7
(3)已知数列{an}的通项公式为an=t>0,若数列{an}是递增数列,则实数t的取值范围是　　　　. 第六单元　数列
第31讲　数列的概念与简单表示法
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.确定的顺序　每一个数　n　a1+a2+a3+…+an
2.右侧　f(n)
3.有限　无限　>　<　=
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×
[解析] (1)存在一个数列有不同的通项公式,如数列-1,1,-1,1,…,其通项公式可以为an=(-1)n,也可以为an=cos nπ.
(2)在数列{an}中,n∈N*,所以n不可能取.
(3)当n=1时,a1=S1=0,不满足an=4n-5.
题组二
1.B　[解析] 由题意得a2a1=a1+(-1)2.又a1=1,所以a2=2.因为a3a2=a2+(-1)3,所以a3=.同理可得a4=3,a5=,故=.故选B.
2.ABD　[解析] 对于A,当n为奇数时,an=2,当n为偶数时,an=0,故A中通项公式正确;对于B,显然正确;对于C,当n=3时,a3=-2,不符合题意,故C中通项公式不正确;对于D,当n为奇数时,an=2,当n为偶数时,an=0,故D中通项公式正确.故选ABD.
3.23　[解析] 因为题中数列的第n项为,且3==,所以3是题中数列的第23项.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　解:(1)由题可知Sn=n2+2n.
当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.
经验证,a1=3满足an=2n+1,
故an=2n+1(n∈N*).
(2)当n=1时,S1=a1=2a1-2,可得a1=2.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
因为Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,
所以an=2an-2-(2an-1-2),
化简得an=2an-2an-1,即an=2an-1,所以=2,
所以数列{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,
则an=2×2n-1=2n,n∈N*.
对点演练1　(1)2n2　[解析] 由Sn=nan+1-2n(n+1)(n∈N*),an+1=Sn+1-Sn,可得Sn=n(Sn+1-Sn)-2n(n+1)(n∈N*),
故(n+1)Sn=nSn+1-2n(n+1),两边同时除以n(n+1),得2=-,
故为等差数列,其公差为2,首项为==2,
则的通项公式为=2n,所以Sn=2n2.
(2)解:由a1a2+a2a3+…+anan+1=n(n+1)(n+2),
得a1a2+a2a3+…+an-1an=(n-1)n(n+1)(n≥2),
两式相减得anan+1=n(n+1)(n≥2).
当n=1时,a1a2=×1×2×3=1×2满足上式,
所以anan+1=n(n+1),n∈N*,则an+1an+2=(n+1)(n+2),
两式相除得=,则=.
当n为奇数时,==…==1,则an=n;
由题易知a2=2,当n为偶数时,==…==1,则an=n.
综上,对任意n∈N*,an=n,所以数列{an}的通项公式为an=n.
探究点二
例2　B　[解析] 由数列{an}是递增数列得,an+1>an对n∈N*恒成立,即(n+1)2-k(n+1)>n2-kn,整理可得k<2n+1对n∈N*恒成立.因为函数f(x)=2x+1在R上单调递增,所以k例3　B　[解析] 由a1=3,an+1=,得a2==-4,a3==,a4==3,a5=-4,…,所以{an}是以3为周期的数列.又a1=3,a2=-4,a3=,所以A,C,D均不是{an}中的项.故选B.
例4　BCD　[解析] 设第n项为{an}的最大项, 则即
所以又n∈N*,所以n=4或n=5,故数列{an}中a4与a5均为最大项,且a4=a5=.当n≥5时,数列{an}递减,故B,C,D正确.当n趋向正无穷大时,an=(n+2)·无限趋向于0且大于0,又a1=>0,所以a1不是数列{an}的最小项,且数列{an}无最小项,故A错误.故选BCD.
对点演练2　(1)A　(2)D　(3)(2,+∞)
[解析] (1)方法一:因为an+2+an+1+an=1,a1=2,a2=1,所以a3=-2,a4=2,a5=1,a6=-2,…,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a300=a3×99+3=a3=-2.
方法二:因为an+2+an+1+an=1,所以an+3+an+2+an+1=1,两式相减得an+3=an,所以{an}是以3为周期的周期数列,所以a300=a3×99+3=a3=-2.故选A.
(2) 由an=n2-10n+21,得当n<5时,an+1an.由an≤0,得3≤n≤7,因此a1>a2>a3=0>a4>a5S4>S5>S6=S7=7,当n>7时,Sn>S7,所以当该数列的前n项和取得最小值时,n的值为6或7.故选D.
(3) 当n>2时,an=tn,因为数列{an}是递增数列,所以t>1.
当n≤2时,由题得a12.
又a3>a2,所以t3>4t-2+,解得t>或-综上,实数t的取值范围是(2,+∞).

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