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第32讲　等差数列
【课标要求】　
1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题.
4.体会等差数列与一元一次函数的关系.
1.等差数列中的有关公式
已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则
等差数列定义式 　　　　　　(d为常数)
等差中项 A=　　　　(A是a与b的等差中项)
通项公式 　　　　　　　　或　　　　　　　　　　　 　　　　　
前n项和公式 Sn=　　　　　　=　　　　　　　　　
2.等差数列的性质
已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和.
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an=　　　　　=　　　　.
拓展:若x1+x2+x3+…+xn=y1+y2+y3+…+yn=nk,则+++…+=+++…+=nak.
(2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成　　　　数列.
3.等差数列与函数的关系
(1)等差数列{an}的通项公式可写成an=　　　　　　,当d≠0时,它是关于n的　　　　,它的图象是直线y=dx+(a1-d)上横坐标为正整数的一群　　　　的点.
注:当d>0时,{an}是　　　　数列;当d<0时,{an}是　　　　数列;当d=0时,{an}是　　　　数列.
(2)前n项和公式可变形为Sn=　　　　　　　　,当d≠0时,它是关于n的常数项为0的　　　　　,它的图象是抛物线y=x2+x上横坐标为正整数的一群　　　　的点.
注:若a1>0,d<0,则Sn存在最　　　　值;若a1<0,d>0,则Sn存在最　　　　值.
常用结论
等差数列的性质
1.已知{an},{bn}是公差分别为d1,d2的等差数列,Sn是{an}的前n项和,则有以下结论:
(1){a2n}是等差数列,公差为2d1.
(2){pan+qbn}(p,q都是常数)是等差数列,且公差为pd1+qd2.
(3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md1的等差数列.
(4)是等差数列,其首项与{an}的首项相同,公差是d1.
(5)数列{pan},{an+q}(p,q都是常数)都是等差数列,且公差分别为pd1,d1.
2.关于等差数列奇数项与偶数项的性质:
(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
(2)若项数为2n-1(n≥2),则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
3.两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则它们之间的关系为=(可由S2n-1=(2n-1)an推导).
4.数列{an}是等差数列,公差为p 数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中q为常数);数列{an}是等差数列,a1=A+B,公差d=2A {an}的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数).
　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　 )
(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2. (　 )
(3)等差数列{an}中,必有a10=a1+a9. (　 )
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. (　 )
题组二　教材改编
1.等差数列-5,-9,-13,…的第100项是 (　 )
A.-393 B.-397
C.-401 D.-405
2.在等差数列{an}中,a5=7,则a3+a7=(　 )
A.7　　B.14　　C.21　　D.28
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=4,S6=30,则a2= (　 )
A.-2 B.2 C.4 D.6
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S2=6,S4=20,则S6= (　 )
A.34 B.42 C.46 D.58
5.在等差数列{an}中,若S15=5(a5+a9+ak),且a1≠a2,则k=　　　　.
　等差数列的基本量运算
例1 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2+a5=12,S5=25,则a7的值为 (　 )
A.11 B.13
C.15 D.17
(2)[2026·山东潍坊期末] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0,a4=6,则{an}的公差等于 (　 )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
总结反思
等差数列的基本量运算一般是指关于a1和d以及n的通项公式和前n项和公式的应用,即通过解方程组的形式求解出基本量a1,d,n,进而解决问题.
【对点演练1】 (1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和,若S4=12,S8=40,则S10= (　 )
A.56 B.60 C.64 D.68
(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=S10,a3+a10=2,则{an}的公差为 (　 )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
　等差数列的判定与证明
例2 [2026·河南开封期末] 已知{an}满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=3n2+3n.
(1)求a2,a3;
(2)证明:数列是等差数列,并求{an}的通项公式.



总结反思
判断和证明等差数列常用的方法有定义法、等差中项法以及函数法.
(1)定义法:若数列{an}满足an+1-an=d(n∈N*,d为常数),则该数列为等差数列.
(2)等差中项法:若数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),则该数列为等差数列.
(3)函数法:若数列{an}满足an=An+B或前n项和Sn=An2+Bn(A,B∈R),则该数列为等差数列.
在求解解答题时常常应用定义法进行证明和判断.
【对点演练2】 已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,且数列{}是等差数列,a2=3a1.求证{an}是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.


　等差数列及其前n项和的性质
题型1　等差数列项的性质
例3 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a39为定值,则 (　 )
A.S23为定值 B.S27为定值
C.S29为定值 D.S42为定值
(2)[2025·山东滨州期末] 已知两个等差数列{an},{bn}的首项分别为1和2,且a10+b10=30,则数列{an+bn}的前20项的和为 (　 )
A.165 B.630 C.60 D.330
题型2　等差数列前n项和的性质
例4 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=8,S8=40,则S12= (　 )
A.52 B.96 C.106 D.120
(2)[2026·湖北黄冈模拟] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm=-3,Sm+1=0,Sm+2=4,则m= (　 )
A.8 B.7 C.6 D.5
题型3　等差数列中最值问题
例5 (1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,an+1-an>0且a1<0,则 (　 )
A.Sn不可能为0 B.Sn没有最小值
C.Sn有最大值 D.Sn有最小值
(2)[2026·河北衡水模拟] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a5=1,S11=-11,则Sn的最大值为 (　 )
A.16 B.18 C.23 D.25
总结反思
1.等差数列项的性质,主要用于解决下标之和相等的几项间的关系.
2.等差数列前n项和的性质,常用于解决连续等长的若干段之和成等差数列、前n项和与中项的关系、奇数项和与偶数项和之间的关系等.
【对点演练3】 (1)[2025·吉林四平期末] 在等差数列{an}中,若a22+a28+a31=18,则a27= (　 )
A.3 B.6 C.9 D.12
(2)已知等差数列{an}的项数为奇数,其中所有奇数项的和为290,所有偶数项的和为261,则数列{an}的项数为 (　 )
A.15 B.17 C.19 D.21
(3)(多选题)[2026·福建福州期中] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,a1>0,且S13=S19,则 (　 )
A.公差d>0
B.a16>0
C.S32=0
D.当n=17时,Sn最大第32讲　等差数列
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.an+1-an=d　
an=a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d(n,m∈N*)　　na1+d
2.(1)ap+aq　2ak　(2)等差
3.(1)dn+a1-d　一次函数　孤立　递增　递减　常
(2)n2+n　二次函数　孤立　大　小　
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
[解析] (1)一个数列从第2项起,每一项与它的前一项之差必须是同一个常数才是等差数列.
(2)若2an+1=an+an+2,则an+2-an+1=an+1-an,可知{an}是等差数列,充分性成立;若{an}是等差数列,则an+1是an与an+2的等差中项,得2an+1=an+an+2,必要性成立.
(3)当数列{an}是常数列且an≠0时,{an}是等差数列,但a10≠a1+a9.
(4)当等差数列{an}是常数列时,例如an=2,前n项和Sn=2n,不是二次函数.
题组二
1.C　[解析] 由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1)=-4n-1,所以a100=-4×100-1=-401.
2.B　[解析] 在等差数列{an}中,a5=7,由等差中项的性质可得a3+a7=2a5=2×7=14.故选B.
3.B　[解析] 设{an}的公差为d,则a3=a1+2d=4,S6=6a1+15d=30,可得a1=0,d=2,则a2=a1+d=0+2=2.故选B.
4.B　[解析] 据题意知S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列,则2×(20-6)=6+S6-20,得S6=42.
5.10　[解析] 方法一(运用性质):由题易知S15==15a8=5(2a7+ak),则3a8=2a7+ak,ak=a8+2(a8-a7)=a8+2d=a10.因为a1≠a2,所以d≠0,所以k=10.
方法二(运用通项公式及求和公式):
设数列{an}的公差为d,因为a1≠a2,所以d≠0.因为S15=5(a5+a9+ak),所以=5(a5+a9+ak),即15a8=5(a5+a9+ak),即3a8=a5+a9+ak,所以3(a1+7d)=a1+4d+a1+8d+a1+(k-1)d,解得k=10.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)D　[解析] (1)设{an}的公差为d,因为a2+a5=12,S5=25,所以解得故a7=1+6d=1+6×2=13,故选B.
(2)设等差数列{an}的公差为d,则解得故选D.
对点演练1　(1)B　(2)A　[解析] (1)设等差数列{an}的公差为d,由S4=12,S8=40,得解得则S10=10×a1+d=10×+×1=60.故选B.
(2)设等差数列{an}的公差为d,因为S3=S10,a3+a10=2,所以即
解得故选A.
探究点二
例2　解:(1)因为nan+1-(n+1)an=3n(n+1),所以an+1=an+3(n+1).又a1=1,所以a2=a1+3×2=8,a3=a2+3×3=21.
(2)因为nan+1-(n+1)an=3n(n+1),所以-=3,
所以是首项为=1,公差为3的等差数列,所以=3n-2,所以an=n(3n-2)=3n2-2n.
对点演练2　解:设=an+b(a>0),则Sn=(an+b)2.
当n=1时,a1=S1=(a+b)2;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an+b)2-(an-a+b)2=a(2an-a+2b).
因为a2=3a1,所以a(3a+2b)=3(a+b)2,解得b=0或b=-.
当b=0时,a1=a2,an=a2(2n-1),
当n≥2时,an-an-1=2a2满足等差数列的定义,此时{an}为等差数列;
当b=-时,=an+b=an-a,=-<0不合题意,舍去.
综上可知{an}为等差数列,其通项公为an=a2(2n-1).
探究点三
例3　(1)B　(2)B　[解析] (1)方法一:由=14,得a1+a2+a39=3a14,所以a14为定值,所以S27==27a14为定值.
方法二:设等差数列{an}的公差为d,则a1+a2+a39=a1+a1+d+a1+38d=3(a1+13d)=3a14.又a1+a2+a39为定值,所以a14为定值,所以S27==27a14为定值.故选B.
(2)设等差数列{an},{bn}的公差分别为d1,d2,由a10+b10=30,a1=1,b1=2,得a1+9d1+b1+9d2=30,解得d1+d2=3,所以a20+b20=a1+19d1+b1+19d2=a1+b1+19(d1+d2)=60,所以{an+bn}的前20项和S20=(a1+a20)+(b1+b20)=10(a1+b1+a20+b20)=630.故选B.
例4　(1)B　(2)C　[解析] (1)方法一:由题得S8-S4=a5+a6+a7+a8=40-8=32,所以a6+a7=16,则S12==6(a6+a7)=6×16=96.
方法二:由题知S4,S8-S4,S12-S8构成等差数列,所以S12-S8=2(S8-S4)-S4,所以S12=2(S8-S4)-S4+S8=3(S8-S4)=96,故选B.
(2) 方法一:由题意得am+1=Sm+1-Sm=3,am+2=Sm+2-Sm+1=4,则等差数列{an}的公差d=am+2-am+1=1,则a1=3-m.又Sm=m(3-m)+=-3,所以m=6.
方法二:由等差数列的性质得为等差数列,则+=,得+=0,解得m=6.故选C.
例5　(1)D　(2)D　[解析] (1)因为an+1-an>0,所以等差数列{an}的公差d>0,所以数列{an}是递增数列,又a1<0,所以Sn有最小值,故B错误,D正确;当am>0,n>m时,Sn随n的增大而增大,故Sn无最大值,故C错误;当a1=-2,an+1-an=1时,S5=5×(-2)+×1=0,所以Sn可能为0,故A错误.故选D.
(2)设公差为d,则a1+4d=1,11a1+55d=-11,解得a1=9,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=9-2(n-1)=11-2n.当n≥6时,an<0,当1≤n≤5时,an>0,所以当n=5时,Sn取得最大值,最大值为S5=5a1+10d=45-20=25.故选D.
对点演练3　(1)B　(2)C　(3)BC
[解析] (1)方法一:设等差数列{an}的公差为d,则a22+a28+a31=(a1+21d)+(a1+27d)+(a1+30d)=3a1+78d=3(a1+26d)=3a27=18,故a27=6.
方法二:因为22+28+31=3×27,所以a22+a28+a31=3a27=18,所以a27=6.故选B.
(2)设等差数列的项数为2n-1,所有奇数项的和为S,所有偶数项的和为T,则S==nan,T==(n-1)an.由===,解得n=10,则数列{an}的项数为2n-1=19.故选C.
(3)设等差数列{an}的公差为d,由S13=S19得a14+a15+a16+a17+a18+a19=3(a16+a17)=0.因为a1>0,所以d<0,a16>0,a17<0,S17=S16+a17

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