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第33讲　等比数列
【课标要求】　
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念和通项公式的意义.
2.探索并掌握等比数列的前n项和公式,理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.
3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题.
4.体会等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列中的有关公式
已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,前n项和为Sn,则
等比数列定义式 　　　　　(q≠0且q为常数)
等比中项 =(G是a与b的等比中项)
通项公式 　　　　　或　　　　　　　
前n项和公式 当q=1时,Sn=　　　　; 当q≠1时,Sn=　　　　　= 　　　　　
2.等比数列的性质
已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和.
(1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有aman=　　　　=　　　　.
(2)若公比q≠-1,或q=-1且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成　　　　数列,其公比为　　　　.
3.等比数列与函数的关系
(1)等比数列{an}的通项公式可以写成an=qn(q≠1),前n项和公式可以写成Sn=qn-(q≠1).
(2)①当 或 时,{an}是递增数列;
②当 或 时,{an}是递减数列;
③当q=1时,{an}是常数列;
④当q<0时,{an}是摆动数列.
常用结论
1.若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),,{},{an·bn},,{|an|}均是等比数列.
2.在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
3.等比数列{an}(公比为q)各项的k次幂仍构成一个等比数列{ },新公比是qk.
4.若{an}为等比数列,a1·a2·…·an=Tn,则Tn,,,…成等比数列.
5.在数列{an}中,当q≠0且q≠1时,其前n项和Sn=k-k·qn(k≠0)是{an}为等比数列的充要条件,此时k=.
6.等比数列{an}的通项公式可以写成an=cqn(c≠0,q≠0).
7.等比数列{an}的前n项和Sn满足:
(1)Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0,q≠1);
(2)若项数为2n,则=q;若项数为2n+1,则=q或=q.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac. (　 )
(2)等比数列{an}的公比q>1,则该数列为递增数列. (　 )
(3)若等比数列{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q. (　 )
(4)若数列{an}为等比数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am·an=ap. (　 )
题组二　教材改编　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.在等比数列{an}中,若a2=4,a5=-32,则{an}的公比q= (　 )
A.±　　B.±2　　C.　　D.-2
2.已知数列{an}是等比数列,Sn是其前n项和,若a1=1,公比q=2,Sn=31,则n=(　 )
A.4 B.5 C.6 D.7
3.已知等比数列{an}满足a1=1,a4=,则{an}的前n项和Sn= (　 )
A.1- B.1-
C.2- D.2-
4.在递增的等比数列{an}中,a2a5=32,a3+a4=12,则an=　　　　.
　等比数列基本量的运算
例1 (1)[2026·江苏靖江期中] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a2-a4=6,S4=3(a2+a4),则a8= (　 )
A.1 B. C. D.
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=-3an,a3=9,则S3= (　 )
A.7 B.13 C.18 D.63
总结反思
等比数列的基本量运算的解题策略
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,求解时一般都转化成基本量a1,q,n,通过列方程(组)求解.
(2)求等比数列的前n项和时,要注意对公比q是否为1进行分类讨论.
(3)求解与等比数列前n项和有关的运算时常常将两个求和公式作商,进而简化运算.
【对点演练1】 (1)[2026·湖北鄂北六校期中] 已知等比数列{an}的前3项和为28,an>0且a5-a2=56,则a6= (　 )
A.28 B.56 C.64 D.128
(2)已知{an}为等比数列,若a2+4a4=4a3,则{an}的公比q= (　 )
A.-2 B.2 C.- D.
　等比数列的判定与证明
例2 [2025·浙江温州模拟] 数列{an}满足a1=2,an+1=3an+2n-1,n∈N*.
(1)数列{bn}满足bn=an+n,试判断{bn}是否是等比数列,并说明理由;
(2)数列{cn}满足cn=(-1)nan,求数列{cn}的前2n项和T2n.
总结反思
常用的等比数列的判定方法:
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*)或=q(q为非零常数且n≥2,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·(n∈N*),则{an}是等比数列.
(3)函数法:若数列{an}的通项公式可写成an=A·qn(A为非零常数,n∈N*),前n项和可写成Sn=B-Bqn(B为非零常数,q≠0,1),则{an}是等比数列.
【对点演练2】 [2025·辽宁辽阳期末] 已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=2an-6n.
(1)求a1;
(2)证明:数列{an+6}是等比数列;
(3)求数列{a2n+2n+5}的前n项和Tn.
　等比数列性质的应用
题型1　等比数列项的性质
例3 (1)在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=81,则a1a15= (　 )
A.6 B.9 C.±6 D.±9
(2)[2026·江苏南通质检] 已知数列{an}为等比数列,a1=512,公比q=,则数列{an}的前n项积Tn最大时,n= (　 )
A.4 B.5 C.6 D.7
题型2　等比数列前n项和的性质
例4 (1)记Sn为各项均为正数的等比数列{an}的前n项和,若S3=3,S9=21,则S6= (　 )
A.6 B.9 C.12 D.15
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn,a1+a4=3,a2+a5=6,则S6= (　 )
A.27 B.24 C.21 D.18
总结反思
1.等比数列项的性质
(1)等比数列问题常考查的性质:若m+n=p+q=2k,m,n,p,k,q∈N*,则am·an=ap·aq=.具体应用中要注意两点:一是下角标的和相等,二是等号左右两边项数要一致.此性质还可以拓展为:若x1+x2+x3+…+xn=y1+y2+y3+…+yn=nk,则···…·=···…·=.
(2)等比数列的单调性由首项a1与公比q决定,具体可根据指数型函数的单调性进行判断.
2.等比数列前n项和的性质
(1)等比数列{an}中,等距离项的和依然成等比数列;
(2)求解与等比数列前n项和有关的问题时,常常不直接求解q,而是求解相应的qk的值.
【对点演练3】 (1)设等比数列{an}的公比为q,若a1+a5=4,a2a4=4,则q= (　 )
A.1 B.-2
C.-或2 D.-1或1
(2)设等比数列{an}的公比为q,则“a1>0且0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(3)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=-1,a2a8=4,则= (　 )
A.1 B.2 C.3 D.5
(4)[2026·重庆南开中学质检] 已知数列{an}为等比数列,且a1+a2+a3=2,a2+a3+a4=4,则a3+a4+a5= (　 )
A.2 B.4 C.8 D.16第33讲　等比数列
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.=q　an=a1qn-1　an=amqn-m(n,m∈N*)　na1　
2.(1)apaq　　(2)等比　qm
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
[解析] (1)若a,b,c成等比数列,则b2=ac;当a=b=c=0时,b2=ac,但a,b,c不成等比数列.所以a,b,c成等比数列的充要条件不是b2=ac.
(2)如数列-1,-2,-4,-8,…,其公比为2,但不是递增数列.
(3)易知a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也是q.
(4)当数列{an}为常数列,且各项为2时,不满足am·an=ap.
题组二
1.D　[解析] 因为==q3==-8,所以q=-2.
2.B　[解析] 由题意知Sn===31,解得n=5,故选B.
3.D　[解析] 设数列{an}的公比为q,因为a1=1,a4=,所以q3==,解得q=,所以Sn===2-.故选D.
4.2n-1　[解析] 方法一:设等比数列的公比为q,因为a2a5=32,a3+a4=12,
所以解得
或因为等比数列{an}是递增数列,所以
所以an=a1qn-1=2n-1.
方法二:因为a2a5=a3a4=32,a3+a4=12,
所以a3,a4是方程x2-12x+32=0的两个根,
所以或
因为等比数列{an}是递增数列,所以所以公比q=2,
所以an=a3qn-3=4×2n-3=2n-1.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　(2)A　[解析] (1)设公比为q,由S4=a1+a2+a3+a4=3(a2+a4),得a1+a3=2(a2+a4),则q==.又a2-a4=a2-a2q2=a2(1-q2)=6,所以a2==8,则a8=a2q6=8×=.故选D.
(2)因为an+1=-3an,a3=9≠0,所以数列{an}为等比数列,且公比q=-3.又a3=a1×(-3)2=9a1=9,所以a1=1,所以S3==7.故选A.
对点演练1　(1)D　(2)D　[解析] (1)因为an>0,所以a1>0,q>0.又{an}的前3项和S3==28①,a5-a2=a1q(q3-1)=56②,所以由可得q2-q-2=0,解得q=-1(舍)或q=2,代入②式得a1=4,则a6=a1q5=4×32=128.故选D.
(2)由a2+4a4=4a3可得a2+4a2q2=4a2q,显然a2≠0,所以4q2-4q+1=0,解得q=.故选D.
探究点二
例2　解:(1){bn}是等比数列,理由如下:
因为an+1=3an+2n-1,n∈N*,所以an+1+(n+1)=3(an+n).
又bn=an+n,所以bn+1=3bn.
因为a1=2,所以b1=3≠0,所以{bn}是以3为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)可知bn=3n,所以an=3n-n,
所以cn=(-1)n·(3n-n)=(-3)n+n·(-1)n+1,
所以T2n=[(-3)1+(-3)2+…+(-3)2n]+[1+(-2)+3+(-4)+…+(2n-1)-2n]=-n=×9n-n-.
对点演练2　解:(1)因为Sn=2an-6n,当n=1时,S1=2a1-6,解得a1=6.
(2)证明:因为Sn=2an-6n,所以Sn+1=2an+1-6(n+1),
所以Sn+1-Sn=2an+1-6(n+1)-2an+6n,即an+1=2an+6,
所以an+1+6=2(an+6).又a1+6=12,
所以{an+6}是以12为首项,2为公比的等比数列.
(3)由(2)可知an+6=6×2n,则an=6×2n-6,
所以a2n+2n+5=6×22n+2n-1=6×4n+2n-1,
所以Tn=6×41+1+6×42+3+…+6×4n+2n-1=(6×41+6×42+…+6×4n)+(1+3+…+2n-1)
=+=2×4n+1+n2-8=22n+3+n2-8.
探究点三
例3　(1)B　(2)B　[解析] (1)在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=81,则a5a7a9a11==81.由等比数列的性质可得a1a15=>0,故a1a15=9.故选B.
(2)因为a1=512,公比q=,所以an=512·=,所以当1≤n≤5时,an>1;当n≥6时,0例4　(1)B　(2)C　[解析] (1) 设等比数列{an}的公比为q,由题意知q≠1,且S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,所以=S3(S9-S6),即=3(21-S6),得S6=9(负值舍去).故选B.
(2) 在等比数列{an}中,公比q===2,所以a3+a6=q(a2+a5)=2×6=12,所以S6=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=3+6+12=21.故选C.
对点演练3　(1)D　(2)A　(3)C　(4)C
[解析] (1)在等比数列{an}中,a1a5=a2a4=4,而a1+a5=4,解得a5=a1=2,即a1q4=a1,解得q4=1,所以q=-1或q=1.故选D.
(2)由等比数列的通项公式可得,an=a1·qn-1=·qn,当a1>0且00,且y=qn单调递减,则an随着n的增大而减小,故{an}是递减数列,充分性成立;由{an}是递减数列,an=·qn,可得或必要性不成立.所以“a1>0且0(3) 方法一:设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1,由a2a8=4,a1=-1,得a1q·a1q7=4,则q8=4,则q4=2,所以====3.故选C.
方法二:设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1,由a2a8=4,a1=-1,得a1q·a1q7=4,则q8=4,则q4=2,因为S8=S4+q4S4,所以 =1+q4=3.
(4)设数列{an}的公比为q,则==q==2,则a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4×2=8.故选C.

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