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第34讲　数列求和
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)若干个等差或等比或可求和
(2)并项求和法
2.积
3.两项之差
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
[解析] (1)错位相减法应用于通项公式为等差数列和等比数列乘积的形式,故数列{an}不能用错位相减法求和.
(2)当n为偶数时,Sn=2(-1+2-3+4-…+n)=2×=n;当n为奇数时,Sn=2(-1+2-3+4-…-n)=2=-1-n.所以Sn=
(3)因为an==,所以Sn==.
(4)令S=1×+2×+3×+…+9×①,则S=1×+2×+3×+…+9×②,由①-②得S=+++…+-9×=-9×=1--9×=1-=,所以S=.
题组二
1.D　[解析] 依题意,an==-,则Sn=1-+-+…+-=1-=,所以S6=.故选D.
2.45　[解析] S9=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+(a6+a7)+(a8+a9)=1+(2×2+1)+(2×4+1)+(2×6+1)+(2×8+1)=1+5+9+13+17=45.
3.2　[解析] 由an==-,得S8=a1+a2+…+a8=-+-+…+-=3-1=2.
4.8194　[解析] 由题得S9=1×21+2×22+3×23+…+9×29,则2S9=1×22+2×23+3×24+…+9×210,两式相减得-S9=21+22+23+…+29-9×210=-9×210=-8×210-2,所以S9=8×210+2=8194.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)B　(2)B　[解析] (1)由an+1+an=n+3可知,S8=(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=4+6+8+10=28.故选B.
(2)当n为偶数时,an+2=an+2,又a2=1,∴{an}的偶数项是以1为首项,2为公差的等差数列;当n为奇数时,an+2=2an,又a1=2,∴{an}的奇数项是以2为首项,2为公比的等比数列.∴S20=10a2+×2+=10+90+211-2=2146.故选B.
对点演练1　解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q(q>0),
由a3=5,S3=9,可得解得
所以an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1,即数列{an}的通项公式为an=2n-1.
因为b1=a1=1,b5=S4,所以b1q4=4a1+6d=4+6×2=16,解得q=2,
所以bn=b1qn-1=2n-1,所以数列{bn}的通项公式为bn=2n-1.
(2)由(1)可知an=2n-1,bn=2n-1,
Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=+
=n2+2n-1.
探究点二
例2　解:(1)因为{an}为等差数列,所以a3+a4=a2+a5=22.
联立
整理得-22a3+117=0,解得a3=9或a3=13.
当a3=9时,a4=13;当a3=13时,a4=9.
因为d>0,所以a3=9,a4=13,故d=a4-a3=4,
则a1=a3-2d=1,所以{an}的通项公式为an=4n-3.
因为等比数列{bn}的首项b1=1,公比为3,所以{bn}的通项公式为bn=3n-1.
(2)由(1)得an=4n-3,则Sn=2n2-n,则=(2n-1)·3n-1,
Tn=1+3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)×3n-1,
则3Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-3)×3n-1+(2n-1)×3n,
两式相减得-2Tn=1+2(3+32+33+34+…+3n-1)-(2n-1)×3n
=1+-(2n-1)×3n=-2-(2n-2)×3n,
故Tn=(n-1)×3n+1.
对点演练2　解:(1)证明:因为an+1=Sn+2n+1,an+1=Sn+1-Sn,
所以Sn+1-Sn=Sn+2n+1,即Sn+1=2Sn+2n+1,
两边同时除以2n+1可得=+1,所以-=1.
又a1=2,所以===1,
所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)可知=1+(n-1)×1=n,所以Sn=n·2n,
所以Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n,2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1,
所以-Tn=2+22+23+…+2n-n×2n+1=-n×2n+1=2n+1-2-n×2n+1=(1-n)2n+1-2,
所以Tn=(n-1)2n+1+2.
探究点三
例3　C　[解析] 依题意,S11=×11=11a6=66,所以a6=6.因为a2=2,所以{an}的公差d==1,则{an}的通项公式为an=n,所以==-,所以数列的前99项和为(-1)+(-)+…+(-)=-1=9,故选C.
例4　(1)D　[解析] 因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,S1,S2,S4成等比数列,所以=a1(4a1+12),解得a1=1,所以an=2n-1,则bn==,则T50==.故选D.
(2)解:①设等差数列{an}的公差为d,由题意可知
解得故an=a1+(n-1)d=2n.
②由①得Sn==n(n+1),所以==-,
则Tn=++…+=1-=.
对点演练3　(1)D　(2)D　[解析] (1)数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1,而a1=S1=3满足上式,因此an=2n+1,则bn==-,所以Tn=(-)+(-)+(-)+…+(-)=-.故选D.
(2)因为首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,所以a1=S1=1,令bn=,则b1==1,由题意得{bn}是以2为公差的等差数列,所以bn=1+2(n-1)=2n-1,即=2n-1,得Sn=n(2n-1)=2n2-n,则====,所以T100==×=×=.故选D.第34讲　数列求和
【课标要求】　1.掌握等差数列、等比数列的前n项和公式.
2.掌握一般数列求和的几种常见的方法.
1.分组求和法与并项求和法
(1)一个数列的通项是由　　　　　　　　　　　　　　的数列的通项组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加、减.
(2)数列{an}满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用　　　　　　求其前n项和.如通项公式形如an=(-1)nf(n)的数列.
2.错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之　　　　构成的,那么求这个数列的前n项和时即可用错位相减法.
3.裂项相消法
把数列的通项拆成　　　　　　,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.
常用结论
1.一些常见的前n项和公式
(1)1+2+3+4+…+n=.
(2)1+3+5+7+…+2n-1=n2.
(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.
2.常用的裂项公式
(1)=.
(2)=.
(3)=.
(4)=(-).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若数列{an}满足an=2n+2n,则{an}可用错位相减法求和. (　 )
(2)若数列{an}满足an=(-1)n·2n,则其前n项和Sn= (　 )
(3)若数列{an}满足an=,则其前n项和Sn=. (　 )
(4)1×+2×+3×+…+9× = . (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
题组二　教材改编
1.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S6= (　 )
A.1　　B.　　C.　　D.
2.已知数列{an}满足a1=1,an+1+an=2n+1,则{an}的前9项和S9=　　　　.
3.设数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S8=　　　　.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,an=n·2n,则S9=　　　　.
　分组、并项求和
例1 (1)[2025·江西萍乡期末] 数列{an}(n∈N*)满足a1=1,前n项和为Sn,对任意正整数n都有an+1+an=n+3,则S8= (　 )
A.18 B.28
C.40 D.54
(2)已知数列{an}满足an+2=且a1=2,a2=1,记{an}的前n项和为Sn,则S20= (　 )
A.1124 B.2146
C.1023 D.2145
总结反思
(1)若数列的通项公式是由多个不同类型的数列构成的,则该数列求和应用分组求和,即应用各类数列求和的方法分别求和,最后再整合为一个求和结果.
(2)若数列的通项公式为奇偶项的形式,则应用通项公式的特点将奇偶项整合求和或者分别求和.
【对点演练1】 记Sn为等差数列{an}的前n项和,数列{bn}为各项均为正数的等比数列,已知a3=5,S3=9,b1=a1,b5=S4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列{an+bn}的前n项和Tn.



　错位相减法求和
例2 [2025·山西大学附属中学模拟] 已知等差数列{an}满足公差d>0,a2+a5=22,a3a4=117.等比数列{bn}的首项b1=1,公比为3.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)数列{an}的前n项和为Sn,记数列的前n项和为Tn,求Tn.



总结反思
若数列{cn}的通项公式满足cn=anbn,其中数列{an}为等比数列,数列{bn}为等差数列,则用错位相减法求和,Sn=c1+c2+…+cn,等式两端通过乘等比数列的公比进行错位,要将等比数列的项进行对齐然后作差化简得结果.可以利用“苹果公式”检验结果是否正确.“苹果公式”指的是:若通项公式可变形为an=(an+b)pn(p≠1)形式,则Sn=(An+B)pn-B,其中A=,B=.
【对点演练2】 [2026·广东潮州模拟] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=2,an+1=Sn+2n+1.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.




　 裂项相消法求和
题型1　形如an=
例3 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=2,S11=66,则数列的前99项和为 (　 )
A.7 B.8 C.9 D.10
题型2　形如 an=({bn}为等差数列)
例4 (1)[2025·辽宁辽阳二模] 已知等差数列{an}的公差为2,前n项和为Sn,且S1,S2,S4成等比数列.令bn=,则数列{bn}的前50项和T50= (　 )
A. B. C. D.
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a4=8,S4=20.
①求{an}的通项公式;
②求数列的前n项和Tn.



总结反思
1.用裂项相消法求和时,要对通项公式进行变换,一般裂为一个数列的前后两项差或和的形式,从而使裂项后可以产生连续相互抵消的项.
2.消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项.
【对点演练3】 (1)[2025·四川成都模拟] 数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+2n,bn=(n∈N*,n≥1),则数列{bn}的前n项和Tn= (　 )
A.- B.-1
C. D.-
(2)[2026·吉林长春吉大附中实验学校期末] 记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且是以2为公差的等差数列,则数列的前100项和T100= (　 )
A. B. C. D.

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