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素养导向　解题指引——数列
例 [2025·全国一卷] 已知数列{an}中,a1=3,=+.
(1)证明:数列{nan}是等差数列;
(2)给定正整数m,设函数f(x)=a1x+a2x2+…+amxm,求f'(-2).
[思路分析]
(1)根据题目所给条件=+化简,即可证明结论;
(2)先求出{an}的通项公式,代入函数并求导,函数两边同乘x,作差并利用等比数列前n项和得出导函数表达式,即可得出结论.
[得分秘籍] 本题是一道数列与导数相结合的题目,所以我们平时要①加强基础知识的融会贯通:在学习中要注重知识之间的联系,明白不同知识点之间可以相互渗透和运用,培养我们综合运用知识的能力.②加强运算能力的培养:从本题的解题过程可以看出,运算能力是关键.在学习中要通过大量的练习,熟练掌握各种运算技巧,提高运算的速度和准确性.同时要有认真仔细的学习态度,减少运算错误.③注重数学思想方法的学习:错位相减法是一种重要的数学思想方法,理解其原理和适用条件,通过反复练习,能够熟练运用这种方法解决类似的问题.
步骤折解]
[关健点】将等式变形为
解：(1)证明：在数列{an}中，an+1=a。十
1
数列前后两项差为定值
n+1n(n+1)
∴.(n+1)am+1=nam+1,即(n+1)am+1-nan=1,(2分)
又a1=3,∴.{nam}是以3为首项，1为公差的等差数列.(4分)
[规范作答]指出首项及
(2)由(1)得数列{an}的通项公式为nam=3十1×(n一1)=n十2，则公差.
a.=1+2,(6分)
∴f(x)=3x+2x2+…+(1+号)x,f'(x)=3+4x+…+(m+2)
[指点迷津】观察导函数，
可将其看作一个等差数列
xm-1,(8分)
与一个等比数列的积的求
f'(x)=3+4x+…+(m+2)xm-1,
和形式，从而可利用错位
xf'(x)=3x+4x2+…+(m+2)x",
(9分)
相减法求和.
.当x≠1且x≠0时，(10分)
(1-x)f′(x)=3+x十x2十…十xm-1-(m+2)xm=3十
x(1-x-）-(m+2)x,(11分）
[点明易错】注意等比数
1-x
列的项不能为0，且利用等
r)+得=a2.a分
比数列的求和公式时，等
1-x
比数列的公比不为1.
3+(-2)[1-(-2)m-1](m+2)(-2)m
∴.f'(-2)=1-(-2)
[1-(-2)]2
1-(-2)
=1+（-2)[1-（-2)-]
(m+2)(-2)m
9
3
=1-
2(-2)m(m+2)(-2)m
9
9
3
7(3m+7)(-2)m
(15分)

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