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第七单元　立体几何
第36讲　空间几何体
第1课时　空间几何体
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)平行　全等　平行　平行且相等　一点　一点　平行四边形　三角形　梯形
(2)垂直　一点　一点　矩形　等腰三角形　等腰梯形　圆　矩形　扇形
扇环
2.(1)45°或135°　90°　(2)平行于坐标轴　不变　原来的一半
3.2πrl　πrl　π(r+r')l
4.S底h　S底h　4πR2　πR3
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
[解析] (1)用斜二测画法画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,
∠x'O'y'是45°或135°,故错误.
(2)因为三棱锥的四个面是全等的正三角形,且正三角形的边长均为3,所以三棱锥的表面积S=4××32=9,故正确.
(3)记一个圆柱的底面半径为2,高为9,体积为V1,表面积为S1,另一个圆柱的底面半径为3,高为4,体积为V2,表面积为S2,则V1=π×22×9=36π,V2=π×32×4=36π,即V1=V2,但S1=2π×22+2π×2×9=44π,S2=2π×32+2π×3×4=42π,即S1≠S2,故错误.
(4)还原△OAB,如图所示,直观图中的点O',A',B'分别对应原图中的点O,A,B,直观图中的x'轴、y'轴分别对应原图中的x轴、y轴,且∠xOy=,OB=2O'B',OA=O'A'.
因为O'A'=,所以O'B'==2,则OB=4,又OA=,所以AB===3,故错误.
题组二
1.D　[解析] 设圆柱的高为h,因为圆柱的底面半径为2 cm,体积为12π cm3,所以圆柱的底面周长为2πr=4π(cm),体积V=4πh=12π,解得h=3(cm),所以圆柱的表面积为4π×3+2×4π=12π+8π=20π(cm2),故选D.
2.8　[解析] 如图,在正四棱锥P-ABCD中,
AC∩BD=O,取BC的中点H,连接OH,PH,OP,易知PH⊥BC,OP⊥OH,因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为2,高为,所以OH=1,则PH===2,所以正四棱锥的侧面积S=4××2×2=8.
3.π　[解析] 设圆锥的母线长为l,高为h,∵圆锥的侧面展开图的面积S侧=π·OA·l=πl=3π,∴l=3,∴h==2,∴圆锥的体积V=π·OA2·h=π.
4.　[解析] 正方体的体积为43=64,正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥,截去的一个正三棱锥的体积为××2×2×2=,则一个石凳的体积为64-8×=.
● 课堂考点探究
探究点一
AC　 [解析] 对于A,一个多面体至少有4个面,故A正确;对于B,圆柱的母线与它的轴平行,故B错误;对于C,用任意一个平面截球得到的截面都是圆面,故C正确;对于D,如图所示,该几何体有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形,但该几何体不是棱柱,故D错误.故选AC.
例2　ABC [解析] 由题易知O'A'=OA=2,所以A正确;在题图①中,过点B作BD∥y轴,交x轴于点D,在题图②中,在线段O'A'上取一点D',使O'D'=OD,连接D'B',则易知D'B'∥y'轴,D'B'=DB,如图所示,
因为BD⊥AC于点D,所以BD为原图形中AC边上的高,则S△ABC=AC×BD=,解得BD=2B'D'=,所以C正确;在直观图中作B'E'⊥A'C'于点E',则B'D'=B'E'=,解得B'E'=,所以D错误;S△A'B'C'=A'C'×B'E'=,所以B正确.故选ABC.
例3　45.9　[解析] 由圆锥底面半径为25 cm,∠AOB=π,得=25×π=15π(cm),如图,
在圆锥的侧面展开图中,∠ASB==,所以在△SAB中,AB===
60≈45.9(cm),故在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长为45.9 cm.
对点演练1　(1)B　(2)ABD　(3)2　[解析] (1)还原四边形OACB,如图所示,
依题意可得OA⊥OB,OA∥BC,OA=2,BC=4,OB=2.取BC的中点D,连接AD,则AD⊥BC,且CD=4-2=2,故AC==2.故选B.
(2)对于A,每两点确定一条线段,则正方体的8个顶点可以确定=28(条)不同的线段,A正确;对于B,直三棱柱的两个底面三角形平行并且全等,因此直三棱柱两底面在正方体相对面上,以正方形的顶点为顶点的三角形有4个,从而正方体的一组相对面对应的直三棱柱有4个,因此以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有3×4=12(个),B正确;对于C,任取4个正方体顶点,共有=70(种)选法,其中四点共面的情况有12种,因此以正方体的顶点为顶点的三棱锥有70-12=58(个),C错误;对于D,由选项C知,正方体四点共面的情况有12种,因此以正方体的顶点为顶点的四棱锥有12×4=48(个),D正确.故选ABD.
(3)因为AB=BC=AC=3,所以CP=2PB=2.将平面BCC1B1沿BB1所在直线展开,使其与平面ABB1A1在同一平面上,如图甲,
此时MP===2.将平面BCC1B1沿CC1所在直线展开,使其与平面ACC1A1在同一平面上,如图乙,此时MP===,因为2<,所以由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为2.
探究点二
例4　(1)C　(2)C　[解析] (1)设圆柱的高为h,则π·32·h-π·32×4=60π,解得h=8,故所求表面积为π·32+2π×3×8+π×3×=72π.故选C.
(2)由圆台侧面积公式可得S侧=π×(3+5)×3=24π.故选C.
例5　(1)D　(2)A　[解析] (1)设该圆锥底面圆的半径为r,高为h,母线长为l,则解得则该圆锥的体积V=S底h=×πr2×=π.故选D.
(2)如图所示,∵正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为,
∴底面ABC是边长为的正三角形,侧面BB1C1C是边长为的正方形,则= --V三棱锥D-ABC=×××-×××-××××=.故选A.
对点演练2　(1)C　(2)A　(3)A
[解析] (1)设圆锥的母线长为l,底面半径为r,则l=2,r=1,所以圆锥的侧面积S=πrl=2π.故选C.
(2)该陀螺的表面积包含底面圆的面积、圆柱的侧面积和圆锥的侧面积,因为圆柱的底面直径为16,所以底面圆的半径为8,则底面圆的面积为π×82=64π,因为圆柱的高为6,所以圆柱的侧面积为2×8π×6=96π,根据圆锥的高为6,底面圆的半径为8,得圆锥母线长为=10,所以圆锥的侧面积为π×8×10=80π,所以该陀螺的表面积为64π+96π+80π=240π,故选A.
(3)设水面的高度为h cm,由题得水面是边长为4 cm的正方形,则V水=×(42+62+4×6)h=h=38,解得h=,故该容器的高为3 cm,则容器的容积V=×(22+62+2×6)×3=52(cm3),故选A.第七单元　立体几何
第36讲　空间几何体
第1课时　空间几何体
【课标要求】　
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相　　　且　　　　 多边形 互相　　
侧棱 　　　　　 相交于　　　,但不一定相等 延长线交于 　　　
侧面 形状 　　　　　 　　　　 　　　
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等,　　　　于底面 相交于 　　　 延长线交于　　
轴截面 全等的 　　　 全等的 　　　　 全等的 　　　　 　　
侧面展 开图 　　 　　 　　
2.斜二测画法
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,三轴相交于点O,直观图中x'轴、y'轴、z'轴相交于点O',∠x'O'y'=　　　　　　,∠x'O'z'=　　　　.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍　　　　　　,平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度　　　　,平行于y轴的线段在直观图中长度为　　　　　　.
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面积 公式 S圆柱侧= 　　　 S圆锥侧= 　　　 S圆台侧= 　　　　
4.空间几何体的表面积与体积公式
名称 表面积 体积
柱体 (棱柱和圆柱) S表面积=S侧+2S底 V=　　　
锥体 (棱锥和圆锥) S表面积=S侧+S底 V=　　　
台体 (棱台和圆台) S表面积=S侧+ S上+S下 V=(S上+ S下+)h
球 S表面积=　　　 V=　　　
(其中柱体、锥体、台体的高为h,球的半径为R)
棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系
(其中S',S分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高)
常用结论
1.(1)斜二测画法的“三变”与“三不变”
三变:①坐标轴的夹角改变;②与y轴平行(或在y轴上)的线段的长度改变;③图形的形状改变.
三不变:①线段的平行关系不变;②与x轴平行或重合的线段的长度不变;③点的相对位置不变.
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积的关系如下:
S直观图=S原图形,S原图形=2S直观图.
2.几何体的体积计算常见方法
(1)补形法
将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等.
如图:将三棱锥补成三棱柱或平行六面体
将三棱柱补成平行六面体
将台体补成锥体
(2)分割法
如图,将三棱柱分割成三个三棱锥.
(3)比例转化法:若FD=kAD(k>0),则VF-BCD=kVA-BCD,
如图.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)用斜二测画法画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时,∠x'O'y'必须是45°. (　 )
(2)棱长都是3的三棱锥的表面积为9.(　 )
(3)若两个柱体的体积相等,则它们的表面积相等. (　 )
(4)如图,△O'A'B'表示水平放置的△OAB根据斜二测画法得到的直观图,O'A'在x'轴上,A'B'与x'轴垂直,且O'A'=,则AB=. (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组二　教材改编
1.已知圆柱的底面半径为2 cm,体积为12π cm3,则该圆柱的表面积为 (　 )
A.12π cm2 B.16π cm2
C.18π cm2 D.20π cm2
2.已知正四棱锥的底面边长为2,高为,则它的侧面积为　　　　.
3.圆锥SO的底面圆的半径OA=1,侧面展开图的面积为3π,则此圆锥的体积为　　　　.
4.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的(如图,从棱的中点截).如果被截正方体的棱长是4(单位:dm),那么一个石凳的体积是　　　　 dm3.
　基本立体图形
题型1　结构特征
例1 (多选题)[2025·山西大同期末] 下列说法正确的是 (　 )
A.一个多面体至少有4个面
B.圆柱的母线与它的轴可以不平行
C.用任意一个平面截球得到的截面都是圆面
D.有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱
题型2　直观图
例2 (多选题)用斜二测画法画水平放置的△ABC(如图①)的直观图△A'B'C'(如图②),OA=2,S△ABC=,则下列说法正确的是(　 )
A.O'A'=2
B.△A'B'C'的面积为
C.OA边上的高为
D.O'A'边上的高为
题型3　展开图
例3 顶点为S的圆锥的母线长为60 cm,底面半径为25 cm,A,B是底面圆周上的两点,O为底面中心,且∠AOB=π,则在圆锥侧面上由点A到点B的最短路线长为　　　　 cm.(精确到0.1 cm)
总结反思
1.要充分理解柱体、锥体、台体、球体的结构特征,要注意点、线、面间的位置关系,而且要掌握相应平面上的几何量之间的关系,比如正四面体各个面都是全等的等边三角形,顶点在底面上的射影是底面的中心,进而可求正四面体的高、外接球半径等与棱长的关系.
2.用斜二测画法画平面图形的直观图时,首先要掌握其量和位置关系的“三变”和“三不变”,最后要掌握斜二测画法下平面图形的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系:S直=S原.
3.展开图是解决立体几何问题的一种方法,即解决有关空间距离(长度)最短问题,应用展开图解决问题要具有一定的空间想象能力,保证展开情况合理,做到不重不漏.
【对点演练1】 (1)如图,四边形O'A'C'B'表示水平放置的四边形OACB根据斜二测画法得到的直观图,O'A'=2,B'C'=4,O'B'=,O'A'∥B'C',则AC= (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A. B.2
C.6 D.4
(2)(多选题)在正方体中,下列说法正确的是 (　 )
A.正方体的8个顶点可以确定28条不同的线段
B.以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12个
C.以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64个
D.以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48个
(3)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=3,AA1=4,M为AA1的中点,P是棱BC上的点,且CP=2PB,则由P沿棱柱侧面到M的最短路线长为　　　　.
　简单几何体的表面积与体积
题型1　表面积与侧面积
例4 (1)[2025·山东临沂期末] 如图是一个在圆柱顶部挖去一个与该圆柱同底面的圆锥的几何模型,已知圆柱的底面半径为3,圆锥的高为4,若该几何模型的体积为60π,则其表面积为(　 )
A.48π B.60π
C.72π D.144π
(2)已知圆台O1O的上、下底面半径分别为3,5,母线长为3,则该圆台的侧面积为 (　 )
A.16π　　B.20π　　C.24π　　D.32π
题型2　体积
例5 (1)[2026·江苏镇江质检] 已知某圆锥的侧面积为2π,轴截面面积为2,则该圆锥的体积为 (　 )
A.2π B.
C. D.
(2)[2025·广东揭阳期末] 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为,D为AA1的中点,则四面体A1BCD的体积为 (　 )
A. B.
C. D.
总结反思
1.空间几何体的侧面积与表面积
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.
(2)旋转体(除球外)的表面积是将其侧面展开后,侧面展开图的面积与底面面积之和.
(3)组合体的表面积求解时要注意对衔接部分的处理.
2.空间几何体的体积
(1)常规几何体的体积可直接应用体积公式进行求解.
(2)非常规几何体可应用割补法、等体积法求解体积.
【对点演练2】 (1)[2025·辽宁丹东期末] 已知圆锥的母线长为2,底面半径为1,则圆锥的侧面积为 (　 )
A.4π　　B.4π　　C.2π　　D.2π
(2)[2026·山东潍坊模拟] 陀螺由同底的圆柱和圆锥两部分组成.已知一陀螺的圆柱的底面直径为16,圆柱和圆锥的高均为6,则该陀螺的表面积为 (　 )
A.240π B.220π
C.160π D.176π
(3)如图,往一个正四棱台密闭容器内倒入38 cm3的水,水面高度恰好为棱台高度的,且AB=6 cm,A1B1=2 cm,则这个容器的容积为(　 )
A.52 cm3 B.60 cm3
C.68 cm3 D.76 cm3

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