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甘肃兰州新区基础教育2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷
一、单选题
1．下列条件一定能确定一个平面的是（ ）
A．空间三个点 B．空间一条直线和一个点
C．两条相互垂直的直线 D．两条相交的直线
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ）
A． B． C． D．
4．，则（ ）
A． B． C． D．
5．在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ）
A． B． C． D．
6．的值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若共面，共面，则共面
10．已知向量，，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量为
11．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为 B．若，则
C．在区间上单调递增 D．的图象关于点中心对称
三、填空题
12．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为___________．
13．i是虚数单位，若复数满足，则______．
14．已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______.
四、解答题
15．已知向量与的夹角为60°，，，求：
(1)；
(2)；
(3)若，求实数k的值．
16．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，．
(1)证明：．
(2)证明：平面平面．
18．在中，已知．
(1)求的值；
(2)若，且，求的面积．
19．如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求证：平面．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B D A C A B A AC ACD
题号 11
答案 AC
1．D
【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误；
对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误；
对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误；
对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确.
2．B
【详解】设，则，
复数在复平面内对应的点为，位于第二象限．
3．D
由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案.
【详解】过作，垂足为，如下图：
由题意可得，，
由斜二测画法，还原可得下图：
易知，，，
所以原梯形面积为.
4．A
【详解】。
5．C
根据已知找到异面直线所成角的平面角，再根据已知求其大小即可.
【详解】由长方体结构知且，则为平行四边形，故，
所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，，
所以，则.
故选：C
6．A
逆用两角差的正弦公式计算即可得.
【详解】
.
7．B
作，垂足为，证明平面，在直角中，求出即得．
【详解】如图，作，垂足为，
因为平面，平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
即的长即为到平面的距离，
在直角中，，，则，
，
故选：B．
8．A
根据线面角的定义得到直线在平面的夹角，再利用直角三角形即可求出该角的正弦值.
【详解】如图所示，连接，交于点，连接.
因为正方体底面是正方形，所以；
又平面，平面，故，
又因平面,故平面.
就是直线与平面所成的角.
正方体棱长为，则，.
在中：.
因此直线与平面所成角的正弦值为.
9．AC
应用线线位置关系，结合平行垂直及异面判断各个选项即可.
【详解】已知表示空间中三条不同的直线，
若，则，A选项正确；
若，则可以相交，平行或异面，B选项错误；
若，则，C选项正确；
若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误.
10．ACD
求出，即可判断A；计算的值，看结果是否为0，即可判断B；求出，即可判断C；根据投影向量的定义，求出在上的投影向量，即可判断D.
【详解】因为，故A正确；
因为，，
，
所以向量与不垂直，故B错误；
因为，故C正确；
因为，
所以在上的投影向量为，
故D正确.
11．AC
利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D.
【详解】利用辅助角公式化简：.
选项A，最小正周期， A正确；
选项B，若，则，即，
得：，即，
因此，B错误；
选项C，当时，令，
则在上单调递增，
因此在上单调递增，C正确；
选项D，若函数关于点中心对称，则满足，
则，D错误.
12．
【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为，，高为
则其母线长为.
13．
【详解】,得，所以.
14．5
将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可；
【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示：
因为，所以，，
因为，
所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为.
15．(1)；
(2)；
(3)．
(1)已知模长与夹角，利用数量积的定义计算数量积即可；
(2)根据模长公式列出计算式，根据向量的乘法运算计算即可；
(3)根据向量相乘数量积为0列出关于参数的等式，计算即可．
【详解】（1）因为向量与的夹角为60°，，，
故；
（2）因为，
故；
（3）因为，故；
整理得：，可得：，．
16．(1)；
(2)
（1）根据同角三角函数关系式计算即可.
（2）根据二倍角的三角函数公式以及和差的余弦公式计算即可.
【详解】（1）∵，∴，
可得.
（2）由二倍角公式得，
∴．
17．(1)证明：
连接．
在中，因为E，F分别是，的中点，
所以是的中位线，则，
同理可得，
所以．
(2)证明：
设，连接．
因为四边形为平行四边形，
所以互相平分，
在中，，O是的中点，所以，
在中，，O是的中点，所以，
又，且平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
（1）根据三角形中位线即可证明；
（2）根据平行四边形及等腰三角形的性质，结合线面垂直和面面垂直的判定即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
18．(1)
(2)
（1）利用余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）分析可得，利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）由余弦定理可得，
又因为，故.
（2）因为，则，故的面积为.
19．(1)如图，连接，交于点，连接．

在长方体中，四边形是矩形，
因为对角线与交于点，所以为的中点，
又点是棱的中点，所以 ，
又平面 平面，所以平面．
(2)连接．
在长方体中，四边形是矩形，所以 ，
因为点分别是棱的中点，，
所以 ，所以四边形是正方形，．
在长方体中，平面，
又平面，所以．
因为 平面，
所以平面．
（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行；
（2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直．
【详解】（1）略
（2）略

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