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第2课时　与球有关的切接问题
1.多面体的内切球与外接球的常用结论:
(1)设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径r=,外接球的半径R=a.
(2)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球的半径R=.
结论:可以割补成长方体的几何体:①对棱相等的四面体;②含有两两相互垂直的棱的三棱锥或侧棱与底面垂直,且底面是矩形的四棱锥.可以借助长方体的外接球求其外接球相关的问题.
(3)设正四面体的棱长为a,则它的高为a,内切球的半径r=a,外接球的半径R=a.
2.球的有关性质
(1)过球心的平面截球面所得的圆是大圆,大圆的半径与球的半径相等.
(2)经过小圆的直径且与小圆所在的平面垂直的平面必过球心,该平面截球面所得的圆是大圆.
(3)过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面(类比:圆的垂径定理).
(4)球心在小圆所在的平面上的射影是小圆的圆心.
(5)在同一球中,分别过两相交圆的圆心且垂直于相应的圆面的直线相交,交点是球心(类比:在同一个圆中,两相交弦的中垂线的交点是圆心).
3.外接球的有关结论与方法
(1)结论:
结论1:长方体的外接球的球心在体对角线的交点处,即长方体的体对角线的中点是外接球的球心.
结论2:长方体的外接球的直径就是以一条面对角线及与其所在面垂直的一条棱为两条直角边构成的直角三角形的外接圆直径.换言之,以长方体底面的一条对角线与一条高线为两条直角边构成的直角三角形的外接圆是该长方体外接球的大圆.
结论3:圆柱的外接球的球心在以上、下两底面圆的圆心为端点的线段的中点处.
结论4:圆柱轴截面(矩形)的外接圆是圆柱外接球的大圆,该矩形的对角线(外接圆直径)是外接球的直径.
结论5:直棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球.
结论6:圆锥的外接球的球心在圆锥的高所在的直线上.
结论7:圆锥轴截面(等腰三角形)的外接圆是圆锥外接球的大圆,该三角形的外接圆的直径是外接球的直径.
结论8:侧棱相等的棱锥与该棱锥的外接圆锥有相同的外接球.
(2)基本方法:
勾股定理、正弦定理及余弦定理(解三角形求线段长度).
4.内切球的有关结论与方法
(1)结论:
结论1:若球与平面相切,则切点与球心的连线与切面垂直(类比:圆与直线相切).
结论2:内切球的球心到多面体各面的距离均相等,外接球的球心到多面体各顶点的距离均相等(类比:多边形的内切圆与外接圆).
结论3:正多面体的内切球和外接球的球心重合.
结论4:正棱锥的内切球和外接球的球心都在棱锥的高所在的直线上,但两者不一定重合.
(2)基本方法:
①构造三角形利用相似比和勾股定理;
②等体积法(体积分割).
　外接球　　　　　　　　　　　　　　　
题型1　定义法
例1 [2026·湖北武汉模拟] 已知矩形ABCD的长为4,宽为3,将△ABC沿对角线AC所在直线翻折,得到三棱锥B-ACD,则三棱锥B-ACD的外接球的体积为 (　 )
A.π B.π C.π D.π
题型2　补形法
例2 在三棱锥S-ABC中,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,SA=2,则三棱锥S-ABC外接球的体积为 (　 )
A. B. C. D.
题型3　借助三角形外心确定球心位置
例3 [2025·广东湛江期末] 在三棱锥P-ABC中,PC=3,其他棱长都是2,则三棱锥P-ABC外接球的表面积是 (　 )
A. B.20π C. D.20π
总结反思
1.外接球球心到几何体顶点的距离都等于球的半径,所以常借助直角三角形斜边的中点到直角顶点的距离为斜边的一半,三角形的外心到各顶点的距离相等去找球心的位置.
2.对棱相等,侧棱两两相互垂直的三棱锥一般可以补成长方体,借助长方体求解相应三棱锥外接球的半径;侧棱与底面垂直的锥体,可以补成直三棱柱,借助相应的直三棱柱求解相应几何体外接球的半径.
3.一般几何体找球心的方法:若点A,B,C是球面上的三点,点P是△ABC的外心,则球心在过P且与平面ABC垂直的直线上.
【对点演练1】 (1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,AA1=,若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为 (　 )
A. B. C.2π D.4π
(2)在三棱锥P-ABC中,PA=BC=,PB=AC=,PC=AB=,则该三棱锥的外接球的表面积为 (　 )
A.28π B.π C.7π D.14π
(3)[2025·浙江衢州期末] 在三棱锥P-ABC中,AB=2,∠ACB=45°,PA⊥平面ABC,且PA=2,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为 (　 )
A.2π B.4π C.12π D.36π
　内切球
例4 已知球与圆台的上、下底面和侧面都相切,若圆台的母线长为6,下底面半径是上底面半径的2倍,则球的表面积为 (　 )
A.8π B.16π C.24π D.32π
总结反思
并不是所有的几何体都有内切球,具有内切球的几何体往往具有很好的对称性,可借助其轴截面,转化为平面图形的内切圆问题来解决.
【对点演练2】 [2026·湖南长沙一中调研] 某圆锥的侧面展开图是一个半径为2,圆心角为π的扇形,则该圆锥的内切球的体积为(　 )
A. B. C.4π D.6π
　棱切球
例5 从球O外一点P作球O表面的三条不同的切线,切点分别为A,B,C,∠APB=,∠BPC=,∠CPA=,若PA=2,则球O的表面积为　　　　.
总结反思
解决棱切球(与棱相切的球,又称“切棱球”)问题的核心是找到球心到任意一条棱的距离,该距离即为球的半径,关键在于利用几何图形的对称性.
【对点演练3】 把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为 (　 )
A.10 cm B.10 cm
C.10 cm D.30 cm第2课时　与球有关的切接问题
● 课堂考点探究
探究点一
例1　A　[解析] 在矩形ABCD中,连接BD,与AC相交于点O,则点O为AC,BD的中点,所以OA=OB=OC=OD==,所以点O为三棱锥B-ACD的外接球的球心,则三棱锥B-ACD的外接球的体积为×=.故选A.
例2　A　[解析] 因为AB⊥BC,AB=BC=2,SA=2且SA⊥平面ABC,所以可将三棱锥S-ABC补形为长方体,如图,则长方体的体对角线SC即为三棱锥S-ABC的外接球的直径,因为
SC===4,所以三棱锥S-ABC的外接球的半径R=SC=2,故三棱锥S-ABC外接球的体积V=πR3=π×23=.故选A.
例3　D　[解析] 如图,取棱AB的中点E,连接PE,CE,则PE⊥AB,CE⊥AB,且PE=CE,
设△ABC外接圆的圆心为O',三棱锥P-ABC外接球的球心为O,连接OO',OP,OC,作OF⊥PE,垂足为F,易知F为△PAB的外心.由题意得PE=CE=3,O'E=1,O'C=2.因为PC=3,所以PE2+CE2=PC2,所以PE⊥CE.又PE⊥AB,CE∩AB=E,CE,AB 平面ABC,所以PE⊥平面ABC,则EF=OO'=1,OF=O'E=1.设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,则R2=(PE-OO')2+OF2=OO'2+O'C2,即R2=(3-OO')2+12=OO'2+22,解得R2=5,故三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR2=20π.故选D.
对点演练1　(1)B　(2)D　(3)C　[解析] (1)如图,AB=AC=1,∠BAC=90°,分别取BC,B1C1的中点D,D1,连接DD1,
则点D,D1分别是△ABC,△A1B1C1的外心,故直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球球心O为DD1的中点,连接OB1,则OD1=DD1=AA1=,B1D1=B1C1=,故直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径R==1,则该球体积为πR3=π.故选B.
(2)将三棱锥补成长方体,则三棱锥P-ABC的外接球即为长方体的外接球,设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则可得a2+b2+c2=14,所以长方体的外接球半径R==,所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4πR2=14π.故选D.
(3)设△ABC外接圆的半径为r,根据正弦定理可得2r===2,解得r= .因为PA⊥平面ABC,所以三棱锥P-ABC外接球的球心到平面ABC的距离d=PA=1, 所以外接球的半径R===,所以三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4πR2=4π×3=12π.故选C.
探究点二
例4　D　[解析] 作出圆台及其内切球的轴截面,如图,记球的半径为r,上、下底面圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,取O1O2的中点O,则OO1=r,作OM⊥AB,则易知O1A=AM,O2B=BM,则O1A+O2B=AB=6,又O2B=2O1A,所以O1A=2,O2B=4,由(2r)2=AB2-=36-4=32,得r2=8,所以球的表面积S=4πr2=32π.故选D.
对点演练2　A　[解析] 设圆锥的底面半径为r,高为h,则由题意可得2πr=π×2,解得r=,所以h==3,设该圆锥内切球的半径为R,作出轴截面如图所示,其中O为内切球的球心,D为圆锥底面的圆心,E为切点,则△OEA∽△CDA,则=,即=,解得R=,所以该圆锥的内切球的体积V===,故选A.
探究点三
例5　16π　[解析] 易知PB=PC=PA=2,如图,连接AB,BC,AC,因为∠APB=,∠BPC=,∠CPA=,所以AB=BC=2,AC=2,即AB2+BC2=AC2,可知AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形,其外心D为CA的中点,又因为PB=PC=PA,所以点P在平面ABC内的投影为△ABC的外心,连接PD,即PD⊥平面ABC,所以O必在PD的延长线上,连接OA,由题知OA⊥PA,则DA2=PD·OD,且DA=PD=,即2=OD,可得OD=,则OA==2,所以球O的表面积为4π×22=16π.
对点演练3　B　[解析] 如图,连接AC,BD交于点O,连接OS,由题知OS⊥平面ABCD,因为OA 平面ABCD,所以OS⊥OA,因为OA=OB=OC=OD=AC=×=10,OS===10,所以OA=OB=OC=OD=OS=10,O到AB,BC,CD,AD的距离都是AB=10,在等腰直角三角形OAS中,O到SA的距离为SA=10,同理可得O到SB,SC,SD的距离也是10, 所以O是皮球的球心,且皮球的半径为10 cm.故选B.

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