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第37讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
【课标要求】　
1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解4个基本事实和1个定理.
1.基本事实
基本 事实 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本 事实1 过　　　　　　　　　　　的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α,使A,B,C∈α 确定平面的依据
基本 事实2 如果一条直线上的　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 l α ①确定直线在平面内的依据;②判定点在平面内的依据; ③判断一个面是否是平面的依据
基本 事实3 如果两个不重合的平面有　　　　公共点,那么它们有且只有　　　　　　　　的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l ①确定两平面相交的依据; ②判定点在直线上的依据
基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线　　 a∥b,b∥c a∥c 证明空间中两条直线平行
2.三个推论(确定平面的依据)
推论1:经过一条直线和　　　　　　一点,有且只有一个平面.
推论2:经过两条　　　　直线,有且只有一个平面.
推论3:经过两条　　　　直线,有且只有一个平面.
3.空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角　　　　　　　.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言 符号语言 公共点
直线 与平 面 相交 a∩α=A 　　　个
平行 a∥α 　　　个
在平 面内 a α 　　　个
平面 与平 面 平行 α∥β 　　　个
相交 α∩β=l 　　　个
常用结论
1.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
2.异面直线的判定定理
平面外一点A和平面内一点B的连线与平面内不经过点B的直线是异面直线,如图.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两条直线没有公共点,则这两条直线平行. (　 )
(2)若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面. (　 )
(3)已知空间中两个角α,β,若α,β的两边对应平行,且α=30°,则β=30°. (　 )
(4)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知点P为棱D1C1的中点,且AB=2,BC=1,AA1=2,则直线AB与A1P所成的角为. (　 )
题组二　教材改编
1.下列几何元素可以确定唯一平面的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.三个点
B.圆心和圆上两点
C.梯形的两条边
D.一个点和一条直线
2.已知m,n为异面直线,m 平面α,n 平面β,α∩β=l,则l (　 )
A.与m,n都相交
B.与m,n中至少一条相交
C.与m,n都不相交
D.至多与m,n中的一条相交
3.过正方体中心的平面截正方体所得的截面中,不可能的图形是 (　 )
A.六边形
B.正方形
C.对角线不相等的菱形
D.三角形
4.若直线a不平行于平面α,且a α,则下列结论成立的是 (　 )
A.α内的所有直线与a是异面直线
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内存在唯一一条直线与a平行
D.α内的所有直线与a都相交
　平面的基本事实与推论的应用
例1 (1)[2026·湖南长沙期中] 如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过 (　 )
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
(2)如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,AB的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.
(i)求证:E,F,G,H四点共面;
(ii)设FG与HE交于点P,求证:P,A,C三点共线.



总结反思
1.证明点或线共面问题的常用方法:首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内.
2.证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
3.证明点共线问题的常用方法:先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上.
【对点演练1】 (1)[2025·四川成都质检] 空间四点A,B,C,D共面但不共线,那么这四点中 (　 )
A.必有三点共线
B.必有三点不共线
C.至少有三点共线
D.不可能有三点共线
(2)[2026·广东广州模拟] 如图,矩形ABCD和矩形ABEF所在平面互相垂直,AB=1,AD=AF=2,动点M,N分别在长方形对角线AC和BF上移动,且CM=BN=a(0



　空间点、直线、平面的位置关系
题型1　空间点、直线、平面位置关系的判断
例2 已知直线l∥平面α,点P∈α,那么过点P且平行于直线l的直线 (　 )
A.有且只有1条,且在平面α内
B.有且只有1条,不在平面α内
C.有无数条,不都在平面α内
D.有无数条,都在平面α内
题型2　空间直线位置关系的判断
例3 (多选题)[2025·四川绵阳期中] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论中正确的有 (　 )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.AM与BN平行
D.直线A1M与BN共面
总结反思
1.空间点、直线、平面位置关系的判断常用的方法:
(1)基本事实的应用,将实际问题与基本事实进行联系应用.
(2)应用长方体或其他简单几何体,将问题具体化.
(3)反证法,利用点、直线、平面位置关系种数的有限性,分情况讨论确定.
2.异面直线的判定方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既不平行,也不相交的两条直线
结论 与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线
【对点演练2】 (1)[2025·辽宁沈阳模拟] 已知两个不同的平面α,β和两条不同的直线m,n满足m α,n β,则“α,β平行”是“m,n不相交”的 (　 )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c (　 )
A.一定是异面直线　 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
　空间几何体的切割(截面)问题
例4 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1和CC1上的点,PA=AA1,CQ=CC1,那么正方体中过点D,P,Q的截面形状为 (　 )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
(2)[2025·福建漳州一中调研] 如图, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E,F分别是DD1,BB1的中点.用过点F且平行于平面ABE的平面去截正方体,得到的截面图形的面积为(　 )
A. B.2
C. D.
总结反思
求解几何体的切割(截面)问题,作出截面是解题关键.我们通常可以利用空间几何公理及推论或对平面延伸找出共线、共面关系,也可以利用面面平行的性质作出截面在平行平面上的交线.
【对点演练3】 (1)[2026·广东茂名模拟] 在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=2,=2,过点B,E,F的平面截该正方体所得截面的周长为 (　 )
A.4+3 B.6+3
C.4+8 D.6+8
(2)(多选题)[2025·江苏无锡一中期末] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D1,C1D1上,且=,=2,过点E,F的平面将正方体ABCD-A1B1C1D1截成两部分,则所得几何体可能是 (　 )
A.三棱锥 B.直三棱柱
C.三棱台 D.四棱柱第37讲　空间点、直线、平面之间的位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.不在一条直线上　两个点　一个　一条过该点　平行
2.这条直线外　相交　平行
3.(1)相交　平行　任何　(2)相等或互补
4.1　0　无数　0　无数
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[解析] (1)若两条直线没有公共点,则这两条直线平行或异面,故错误.
(2)若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则 A,B,C,D,E可能不共面,比如面ABCE与面ABCD相交于A,B,C所在直线,而D,E均不在该直线上,故错误.
(3)由等角定理得,α,β相等或互补,所以β=30°或150°,故错误.
(4)因为AB∥D1C1,异面直线所成角的取值范围是,所以∠D1PA1即为所求,易得∠D1PA1=,故错误.
题组二
1.C　[解析] 对于A,三个不共线的点才能确定唯一平面,故A错误;对于B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,故B错误;对于C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,故C正确;对于D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,故D错误.故选C.
2.B　[解析] 若l与m,n都不相交,则l∥m,l∥n,则m∥n,这与m,n是异面直线矛盾,如图①②,l可以与m,n中的一条相交,另一条不相交,也可以与两条都相交,但不交于同一点.综上,l与m,n中的至少一条相交.故选B.
3.D　[解析] 过正方体中心的平面截正方体所得的截面,至少与正方体的四个面相交,所以不可能是三角形.故选D.
4.B　[解析] 设a∩α=A.对于A,α内过点A的直线与a共面,所以A选项错误.对于D,α内不过点A的直线与a异面,所以D选项错误.对于B,C,假设存在b α,b∥a,由于a α,b α,所以a∥α,这与已知矛盾,假设不成立,所以B选项正确,C选项错误.故选B.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)D　[解析] ∵直线AB∩l=M,∴β∩γ=MC,∴γ与β的交线必经过点C和点M,故选D.
(2)证明:(i)在△ABD中,∵E,F分别为AD,AB的中点,
∴EF∥BD.
在△CBD中,∵BG∶GC=DH∶HC=1∶2,
∴GH∥BD,∴EF∥HG,
∴E,F,G,H四点共面.
(ii)∵FG∩HE=P,∴P∈FG,P∈HE,
∴P∈平面ABC,P∈平面ADC,
又平面ABC∩平面ADC=AC,
∴P∈直线AC,∴P,A,C三点共线.
对点演练1　(1)B　[解析] 若AB∥CD,则AB,CD共面,但A,B,C,D任何三点都不共线,故排除A,C.若直线l与直线外一点A在同一平面内,且B,C,D三点在直线l上,则可能有三点共线,故排除D.故选B.
(2)解:连接AE,若直线ME与直线NC相交,则M,N,E,C四点共面,记为平面α,因为CM α,A∈CM,所以A∈α,显然E∈α,所以平面α∩平面ABEF=AE,因为N∈平面ABEF,N∈α,所以N∈AE,又因为N∈BF,所以AE∩BF=N,则N为BF的中点,所以a=BN=BF=
=×=,因此当a=时,直线ME与直线NC相交.
探究点二
例2　A　[解析] 由题设知P l,故存在唯一的平面β,使得P∈β,l β,设α∩β=b,因为l∥平面α,b β,所以l∥b,而b α,故存在一条直线b与l平行,假设还有另一条直线c∥l,则b∥c,而P∈c,P∈b,矛盾,故假设不成立,故过点P且平行于直线l的直线有且只有1条,且在平面α内,故选A.
例3　BD　[解析] 对于A,M,C,C1三点在平面CDD1C1内,点M不在直线CC1上,点A不在平面CDD1C1内,可得直线AM与CC1是异面直线,故A错误;对于B,易知B,N,B1三点在平面BCC1B1内,B1不在直线BN上,点M不在平面BCC1B1内,可得直线BN与MB1是异面直线,故B正确;
对于C,取DD1的中点E,连接AE,EN,如图,因为N为C1C的中点,所以EN∥CD∥AB,AB=CD=EN,所以四边形ABNE是平行四边形,所以AE∥BN,AM∩AE=A,则AM与BN不平行,故C错误;对于D,连接MN,BA1,CD1,因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,所以MN∥D1C, 由正方体的性质可知BA1∥D1C,所以MN∥A1B,则A1,B,M,N四点共面,所以直线A1M与BN共面,故D正确.故选BD.
对点演练2　(1)B　(2)C　[解析] (1)当α∥β时,平面α与平面β没有公共点,若m α,n β,则直线m,n没有公共点,所以m,n不相交,即充分性成立;
如图所示,若m,n不相交,且m α,n β,则平面α与平面β不一定平行,即必要性不成立,所以“α,β平行”是“m,n不相交”的充分不必要条件,故选B.
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥DC,AB和DD1是异面直线,DC∩DD1=D,故直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c可能相交,不一定是异面直线,故A,D错误;AB∥DC,AB和B1C1是异面直线,DC和B1C1是异面直线,故直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b与c可能是异面直线,故B错误;直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则易知b与c不可能是平行直线,故C正确.故选C.
探究点三
例4　(1)B　(2)B　[解析] (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,取B1M=BB1,BN=BB1,连接DP,DQ,PN,CN,MQ,PM,如图所示,
因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1和CC1上的点,PA=AA1,CQ=CC1,所以MN∥CQ,且MN=CQ,则四边形NCQM为平行四边形,则NC∥MQ,NC=MQ,又因为PN∥CD,且PN=CD,所以四边形PNCD为平行四边形,则PD∥CN,PD=CN,所以DP∥MQ,DP=MQ,所以四边形DPMQ为平行四边形,则正方体中过点D,P,Q的截面形状为四边形DPMQ.故选B.
(2)取AA1的中点M,连接D1M,MF,C1F,如图,则MF∥AB∥C1D1,MF=AB=C1D1,故四边形D1C1FM为平行四边形,易知平行四边形D1C1FM即为过点F且平行于平面ABE的截面.D1M=,MF=2,且C1D1⊥平面ADD1A1,D1M 平面ADD1A1,则C1D1⊥D1M,故四边形D1C1FM为矩形,故四边形的面积为MF·D1M=2,故选B.
对点演练3　(1)B　(2)ABC　[解析] (1)如图,取D1C1的中点N,D1A1的中点M,连接MN,NF,ME,则五边形BEMNF为过点B,E,F的截面,证明如下:取CF的中点J,DD1上靠近D1的三等分点K,连接D1J,CK,EK,则NF∥D1J,又CJ∥D1K且CJ=D1K,所以四边形CJD1K为平行四边形,所以CK∥D1J,则NF∥CK,又EK∥BC且EK=BC,所以四边形EKCB为平行四边形,所以EB∥CK,则NF∥BE,所以N,F,B,E四点共面.分别取BB1,AA1靠近B,A的三等分点G,H,连接C1G,GH,D1H,同理可证BF∥C1G,D1H∥C1G,D1H∥EM,所以BF∥EM,所以B,F,M,E四点共面,所以N,F,B,E,M五点共面.因为NF=ME==,BE=BF==2,
MN==3,所以截面周长为6+3.故选B.
(2)如图①, 连接DE,DF,则过E,F的平面DEF可截得三棱锥D-D1EF,故A正确;
如图②,过点E作EG⊥AD,垂足为G,过点F作FH⊥CD,垂足为H,连接GH,则过E,F的平面EFHG可截得直三棱柱D1EF-DGH,故B正确;
如图③,延长D1D至点P,连接PE,PF,分别与AD,CD交于点M,N,连接MN,则过E,F的平面EFNM可截得三棱台DMN-D1EF,故C正确;
EF将四边形A1B1C1D1分成一个三角形和一个五边形,所以不可能得到四棱柱,故D错误.故选ABC.

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