资源简介

第38讲　直线、平面平行的判定与性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.一条直线与此平面内的一条直线　交线平行
2.相交直线　交线
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)当直线l在平面α内时,α内存在无数条直线与之平行,故错误.
(2)若平面α∥平面β,直线l 平面β,直线m 平面α,则l∥m或l与m异面,故错误.
(3)由已知得CD∥平面α,则直线CD与平面α内的直线平行或异面,故错误.
(4)不论直线a是否在平面α内,平面α内均存在无数条直线与直线a平行,故正确.
题组二
1.C　[解析] 作出长方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示.对于A,当平面α为平面ABCD,m为A1B1,n为B1C1时,显然m∥α,n∥α,但m∩n=B1,故A错误;对于B,当平面α为平面ABCD,平面β为平面A1ADD1,m为B1C1时,显然m∥α,m∥β,但α∩β=AD,故B错误;对于C,因为m∥α,所以存在a α,使得m∥a,因为m∥n,所以a∥n,因为a α,n α,所以n∥α,故C正确;对于D,当平面α为平面ABCD,平面β为平面A1B1C1D1,m为B1C1时,显然m∥α,α∥β,但m β,故D错误.故选C.
2.A　[解析] 因为F,G分别为BC,CD的中点,所以FG∥BD,因为EH∥平面CBD,平面ABD∩平面BCD=BD,EH 平面ABD,所以EH∥BD,由平行线的传递性可知EH∥FG.故选A.
3.A　[解析] 因为m∥α,所以存在过直线m的平面β,使得平面β与平面α相交,令交线为l,则m∥l.若m∥n,则n∥l,因为n 平面α,l 平面α,所以n∥α;反之,当n∥α时,m与n可能相交,可能平行,也可能是异面直线.所以“m∥n”是“n∥α”的充分不必要条件.故选A.
4.BD　[解析] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,令平面α为平面ABCD,平面β为平面A1B1C1D1,直线a为AB,直线b为A1D1,则满足α∥β,a α,b β,此时a⊥b,故A,C错误;根据面面平行的性质知a与β内无数条直线平行,a∥β,故B,D正确.故选BD.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　B　[解析] 对于A,若m⊥n,且n α,则m⊥α或m,α斜交或m∥α或m α,故A错误;对于B,由线面平行的性质可知,若m α,m∥β,α∩β=n,则m∥n,故B正确;对于C,设α∩β=l,m α,n β,m∥l,n∥l,又m β,n α,所以m∥β,n∥α,但α∥β不成立,故C错误;对于D,若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n或m,n异面,故D错误.故选B.
对点演练1　(1)D　(2)A　[解析] (1)若m∥n,n∥α,则m∥α或m α,故A不正确;若n α,n∥β,则α∥β或α与β相交,故B不正确;若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α与β相交,故C不正确;若m⊥α,m β,则由面面垂直的判定定理可知α⊥β,故D正确.故选D.
(2)因为m α,所以若α∥β,则m∥β,故充分性成立;若m α,m∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故必要性不成立.故选A.
探究点二
例2　证明: 方法一:如图,取BD的中点O,连接OP,
∵P是BM的中点,∴PO∥MD且PO=MD,
在CD上取靠近点C的四等分点H,则DH=3CH,连接OH,HQ,
∵AQ=3QC,∴QH∥MD,且QH=AD=MD,
∴PO∥QH,且PO=QH,
∴四边形OPQH为平行四边形,
∴PQ∥OH,又PQ 平面BCD,OH 平面BCD,∴PQ∥平面BCD.
方法二:如图,连接AP并延长交BD于点N,连接NC,在△ABD中,过点P作PH∥BD,交AD于点H,∵P是BM的中点,
∴MH=HD,
又M是AD的中点,∴AH=3HD,则AP=3PN,在△ANC中,∵AQ=3QC,∴PQ∥NC,
又NC 平面BCD, PQ 平面BCD,
∴PQ∥平面BCD.
方法三:如图,连接MQ并延长交DC的延长线于点N,连接BN,取AC的中点E,连接ME,∵M是AD的中点,
∴ME∥DC,
∵AQ=3QC,
∴Q是EC的中点,易知△EQM≌△CQN,故QM=QN,即Q是MN的中点.又∵P是BM的中点,
∴PQ∥BN,又BN 平面BCD,
PQ 平面BCD,∴PQ∥平面BCD.
例3　证明:在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD,又平面PBC∩平面PAD=l,BC 平面PBC,所以BC∥l.
对点演练2　(1)D　 (2)1　[解析] (1)如图,连接AC,与BE交于点G,连接FG.
因为E为AD的中点,所以AE=AD=BC,由四边形ABCD是平行四边形,可得AD∥BC,则△AEG∽△CBG,所以==,所以=.又PC∥平面BEF,PC 平面PAC,平面BEF∩平面PAC=GF,所以GF∥PC,所以λ===3.故选D.
(2)如图,取CE的中点I,CC1的中点M,连接EM,IG,AI,HG,易知IG∥EM且IG=EM,
又AH∥EM且AH=EM,所以AH∥IG且AH=IG,则四边形AHGI为平行四边形,所以GH∥AI,又GH 平面ACE,AI 平面ACE,所以GH∥平面ACE.连接HF,假设HF∥平面ACE,HF 平面ABCD,平面ABCD∩平面ACE=AC,则HF∥AC,矛盾,假设不成立,故HF不与平面ACE平行.过点F作FN∥AB交AC于点N,连接IN,FG,因为CF=CB,所以FN=AB,假设FG∥平面ACE,FG 平面FGIN,平面FGIN∩平面ACE=IN,故FG∥IN,又IG∥FN,所以四边形FGIN是平行四边形,但IG=AB≠NF,矛盾,假设不成立,故FG不与平面ACE平行.故在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的有1条.
探究点三
例4　解:在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1∥BB1,又BB1 平面ACC1A1,AA1 平面ACC1A1,所以BB1∥平面ACC1A1,又平面B1BDE∩平面ACC1A1=DE,BB1 平面B1BDE,所以BB1∥DE,又平面A1B1C1∥平面ABC,
平面B1BDE∩平面ABC=BD,平面B1BDE∩平面A1B1C1=B1E,
所以BD∥B1E,所以四边形BB1ED为平行四边形.
对点演练3　证明:在△PAB中,根据中位线性质可得QO∥PB,因为QO 平面PBD,PB 平面PBD,所以QO∥平面PBD,因为=,底面圆的半径是1,所以∠AOC=,又CD∥AB,所以∠OCD=,连接OD,易知OC=OD,所以△OCD为等边三角形,故CD=1,则CD∥BO且CD=OB,所以四边形OBDC是平行四边形,所以OC∥BD,因为OC 平面PBD,BD 平面PBD,
所以OC∥平面PBD,又OC∩OQ=O,OC,OQ 平面QOC,
所以平面QOC∥平面PBD.
探究点四
例5　解:取AB的中点H,连接HN,HM,则AH=2.因为CD∥平面PAB,CD 平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以CD∥AB,即AH∥DN,又AH=DN,所以四边形AHND为平行四边形,所以HN∥AD,又HN 平面PAD,AD 平面PAD,所以HN∥平面PAD,又MN∥平面PAD,MN∩HN=N,MN,HN 平面MNH,所以平面PAD∥平面MNH,又MH 平面MNH,所以MH∥平面PAD.又平面PAD∩平面PAB=PA,MH 平面PAB,
所以MH∥PA,又H为AB的中点,所以MH为△ABP的中位线,则M为PB的中点,即=.
对点演练4　解:连接A1B交AB1于点F,则F为A1B的中点,连接D1F,
因为平面AB1D1 ∥平面BDC1,
平面AB1D1∩平面BA1C1=D1F,
平面BDC1∩平面BA1C1=C1B,
所以D1F ∥ BC1.所以D1为A1C1的中点,所以λ=.
因为平面AB1D1 ∥平面BDC1,
平面AB1D1∩平面ACC1A1=AD1,
平面BDC1∩平面ACC1A1=C1D,
所以AD1 ∥ DC1,又AD ∥ D1C1,
所以四边形ADC1D1为平行四边形,
所以AD=D1C1=AC,所以μ=,故λ=μ=.第38讲　直线、平面平行的判定与性质
【课标要求】　
1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面平行的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果平面外　　　　　　　　　　　　　　　平行,那么该直线与此平面平行 a α,b α,且a∥b a∥α 证明直线 与平面平 行
性质 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与　　　　 a∥α,a β,α∩β=b a∥b 证明直线与直线平 行
2.平面与平面平行的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果一个平面内的两条　　　　与另一个平面平行,那么这两个平面平行 a α,b α,a∩b=P,a∥β,b∥β α∥β 证明平面 与平面平 行
性质 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条　　　平行 α∥β,α∩γ=a, β∩γ=b a∥b 证明直线 与直线平 行
常用结论
1.垂直于同一个平面的两条直线平行,即若a⊥α,b⊥α,则a∥b.
2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,γ∥β,则α∥γ.
3.三种平行关系的转化:
线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想,解题中既要注意一般的转化规律,又要看清题目的具体条件,选择正确的转化方向.
4.如图①,垂直于同一条直线的两个平面平行,符号表示为a⊥α,a⊥β α∥β.
5.如图②,两个平面平行,那么其中一个平面内的直线必平行于另一个平面,符号表示为α∥β,a α a∥β.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α. (　 )
(2)若平面α∥平面β,直线l 平面β,直线m 平面α,则l∥m. (　 )
(3)在梯形ABCD中,AB∥CD,若AB 平面α,CD 平面α,则直线CD与平面α内的任意一条直线平行. (　 )
(4)若直线a∥b,b 平面α,那么直线a平行于平面α内的无数条直线. (　 )
题组二　教材改编
1.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.若m∥α,n∥α,则m∥n
B.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m∥α,n α,则n∥α
D.若m∥α,α∥β,则m∥β
2.如图所示,在空间四边形ABCD中,F,G分别是BC,CD的中点,EH∥平面CBD,则EH与FG的位置关系是 (　 )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
3.设m,n为平面α外的两条直线,且m∥α,则“m∥n”是“n∥α”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)若平面α∥平面β,直线a 平面α,直线b 平面β,则下列说法中正确的是(　 )
A.a∥b
B.a与β内无数条直线平行
C.a与β内的任何一条直线都不垂直
D.a∥β
　平行关系的基本问题
例1 已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列说法正确的是 (　 )
A.若m⊥n,且n α,则m⊥α
B.若m α,m∥β,α∩β=n,则m∥n
C.若m α,n β,m∥β,n∥α,则α∥β
D.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥n
总结反思
1.判断与平行关系相关命题的真假,必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理,无论是选择题还是含有选择项的填空题,都可以先从中选出最熟悉、最容易判断的选项确定或排除,再逐步判断其余选项.
2.结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.
【对点演练1】 (1)[2026·辽宁鞍山联考] 已知m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,下面说法中正确的是 (　 )
A.若m∥n,n∥α,则m∥α
B.若n α,n∥β,则α∥β
C.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β
D.若m⊥α,m β,则α⊥β
(2)[2025·湖南长沙一中期中] 已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α∥β”是“m∥β”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　直线与平面平行的判定与性质
题型1　直线与平面平行的判定
例2 如图所示,在四面体ABCD中,AD⊥平面BCD,M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
求证:PQ∥平面BCD.


题型2　直线与平面平行的性质
例3 [2025·江苏镇江一中期中] 如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD为梯形,AD∥BC,设平面PBC∩平面PAD=l,证明:BC∥l.



总结反思
1.证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线,即证明线线平行,一般利用中位线定理、线面平行的性质、构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.
2.在应用线面平行的性质定理进行平行转化时,一定要注意定理成立的条件,如:必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交,这时才有直线与交线平行.
3.应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时候需要作辅助平面来确定交线.
【对点演练2】 (1)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,E为AD的中点,F在PA上,且=λ,PC∥平面BEF,则λ的值为 (　 )
A.1 B. C.2 D.3
(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,H分别为DD1,AB的中点,点F,G分别在线段BC,CC1上,且CF=CG=BC,则在F,G,H这三点中任取两点确定的直线中,与平面ACE平行的条数为　　　　.
　平面与平面平行的判定与性质
例4 [2025·湖南娄底期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为边AC上(异于A,C两点)的动点,平面B1BD与边A1C1交于点E.请判断四边形BB1ED的形状,并说明理由.


总结反思
证明面面平行可以通过线面平行来证明.利用面面平行的性质可以证明线面平行或线线平行,证明线线平行即证明第三个平面与两个平行平面的交线平行;证明线面平行是较为重要的一个应用,即两平面平行,则一个平面里任一直线都平行于另一个平面.
【对点演练3】 [2026·湖南长沙雅礼中学期中] 如图,在圆锥PO中,AB是底面的直径,且AB=2,已知点Q是母线PA的中点,点C,D在底面圆周上,且的长为,CD∥AB.
证明:平面QOC∥平面PBD.



　平行关系的综合应用
例5 [2026·广东肇庆调研] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥平面PAB,DA=DB=DC=3,PD=AB=4,M,N分别为棱PB,DC上的点,且DN=2,若MN∥平面PAD,求的值.



总结反思
1.解决有关平行的综合问题时,要明确证明线面平行、线线平行、面面平行可以有哪些途径,进而根据已知条件,进行合理求解.
2.解决探索性问题时,一般都是先假设存在,进而根据条件本着这个问题“该怎么做就怎么做”的思路进行求解.
【对点演练4】 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,=λ,=μ(λ,μ∈(0,1)),且平面AB1D1 ∥平面BDC1,求实数λ,μ的值.

展开更多......

收起↑