资源简介

第39讲　直线、平面垂直的判定与性质
【课标要求】　
1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理.
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
1.直线与平面垂直
(1)定义:如果直线l与平面α内的　　　　　　　　　都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫作平面α的　　　　,平面α叫作直线l的　　　　.
(2)直线与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果一条直线与一个平面内的　　　　　　垂直,那么该直线与此平面垂直 l⊥α 证明直线 与平面垂 直
性质 垂直于同一个　　 　的两条直线平行 a∥b 证明直线 与直线平 行
2.平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　,就说这两个平面互相垂直.
(2)平面与平面垂直的判定与性质
类别 语言表述 图形表示 符号语言 应用
判定 如果一个平面过另一个平面的　　　　,那么这两个平面垂直 α⊥β 证明两个 平面垂直
性质 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的　　　　,那么这条直线与另一个平面垂直 a⊥α 证明 直线 与平 面垂 直
常用结论
1.与线面垂直相关的常用结论:
(1)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直;
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面;
(3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直;
(4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直;
(5)若两个相交平面同时垂直于一个平面,则它们的交线也垂直于这个平面.
2.三种垂直关系的转化:
线线垂直线面垂直面面垂直
3.如图,如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直.符号表示为 a⊥b.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知两个平面互相垂直,那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.(　 )
(2)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α. (　 )
(3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β. (　 )
(4)若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c一定垂直. (　 )
题组二　教材改编
1.已知直线m,n和平面α,如果n α,那么“m⊥n”是“m⊥α”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线m,n分别在平面ABCD和平面ABB1A1内,且m⊥n,则下列说法中正确的是 (　 )
A.若m垂直于AB,则n垂直于AB
B.若m垂直于AB,则n不垂直于AB
C.若m不垂直于AB,则n垂直于AB
D.若m不垂直于AB,则n不垂直于AB
3.在正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2及G2G3的中点,D是EF的中点.现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个空间四边形,使G1,G2,G3三点重合,重合后的点记为G,那么,在空间四边形S-EFG中必有 (　 )
A.SG⊥△EFG所在平面
B.SD⊥△EFG所在平面
C.GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF所在平面
4.在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O.若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心;若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心.
　垂直关系的基本问题
例1 已知两条不同的直线m,n,两个不同的平面α,β,则下列说法正确的是 (　 )
A.若α∥β,m α,n β,则m∥n
B.若m α,n β,m⊥n,则α⊥β
C.若m⊥α,n⊥m,则n∥α
D.若α∩β=n,m α,m∥β,则m∥n
总结反思
与垂直关系有关的命题真假的判断方法
(1)借助几何图形来说明.
(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.
(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.
【对点演练1】 (1)设α,β是两个不重合的平面,m,n是两条不同的直线,则下列说法正确的是 (　 )
A.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n
B.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则m⊥β
C.若m α,n⊥α,n⊥β,则m∥β
D.若m∥α,n∥β,n⊥α,则m⊥β
(2)[2026·河南周口模拟] 设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,若m α,n β,α⊥β,α∩β=l,则“m⊥l”是“m⊥n”的(　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　直线与平面垂直的判定与性质
例2 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,△PCD为等边三角形,AB∥CD,CD⊥AD,CD=2AB=2AD=4.求证:PB⊥CD.


总结反思
1.证明线面垂直的关键是证明“直线垂直于平面内的两条相交直线”,而证明线线垂直可以应用线面垂直的性质,若题中给出数据,则也可以应用勾股定理证明线线垂直.
2.线面垂直的性质主要用于证明线线垂直,即面的垂线垂直于面内任一直线.
【对点演练2】 如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.
(1)求证:AE⊥平面PBC;
(2)设平面AEF交PD于点G,求证:AG⊥PD.



　平面与平面垂直的判定与性质
例3 [2026·辽宁辽阳期末] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BB1的中点,AB=2,AA1=2.
(1)证明:CD⊥A1E;
(2)证明:平面A1CE⊥平面CDE.


总结反思
1.若条件中已知面面垂直,则通常会应用面面垂直证明线面垂直,即一个面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.
2.证明面面垂直首先要根据条件证明线面垂直,则所有经过平面垂线的平面都与已知平面垂直.
【对点演练3】 在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,如图①.将△ABD延BD所在直线折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,如图②,则在三棱锥A-BCD中,下列结论不正确的是 (　 )
A.CD⊥AB
B.CD⊥BD
C.平面ADC⊥平面ABD
D.平面ABC⊥平面BDC
　平行、垂直关系的综合问题
例4 [2025·河北秦皇岛期末] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,AA1=AB=4,=3.
(1)证明:CD⊥A1E;
(2)证明:BC1∥平面A1CD;
(3)证明:A1D⊥平面CDE.



总结反思
平行和垂直可以互为“桥梁”,可由线线平行证明线线垂直或线面垂直,也可由线面垂直证明线线平行.
【对点演练4】 [2025·四川成都模拟] 在如图所示的多面体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,△ADE是正三角形,四边形ABCD是菱形,AB=2,CF=.
求证:EF∥平面ABCD.


第39讲　直线、平面垂直的判定与性质
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)任意一条直线　垂线　垂面
(2)两条相交直线　平面
2.(1)直二面角　(2)垂线　交线
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[解析] (1)已知两个平面互相垂直,那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内与交线垂直的直线,这样的直线有无数条,故正确.
(2)若直线l与平面α内的无数条相互平行的直线都垂直,则l⊥α不一定成立,故错误.
(3)若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β或α与β相交,故错误.
(4)∵a⊥b,b∥c,∴a⊥c,故正确.
题组二
1.B　[解析] 若n α,m⊥n,则m⊥α不一定成立,充分性不成立;若m⊥α,n α,则m⊥n,必要性成立.故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件,故选B.
2.C　[解析] 若m垂直于AB,由平面ABCD⊥平面ABB1A1,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,可得m垂直于平面ABB1A1,则平面ABB1A1内的所有直线均与m垂直,
则n可能垂直于AB,也可能不垂直于AB,故A,B错误;如图所示,若m不垂直于AB,则BC,m为平面ABCD内的两条相交直线,由题可知BC⊥n,m⊥n,则n⊥平面ABCD,又AB 平面ABCD,所以n垂直于AB,故C正确,D错误.故选C.
3.A　[解析] 空间四边形如图所示,对于A,在正方形SG1G2G3中,SG1⊥G1E,
SG3⊥G3F,所以在四面体S-EFG中,SG⊥GE,SG⊥GF,又GE,GF 平面GEF,GE∩GF=G,所以SG⊥平面GEF,故A正确;对于B,假设SD⊥平面EFG,结合选项A得SD∥SG,显然矛盾,假设不成立,故B错误;对于C,因为SG⊥平面EFG,GF 平面EFG,所以SG⊥GF,又GF⊥GE,GE,GS 平面GES,GE∩GS=G,所以GF⊥平面GES,假设GF⊥平面SEF,则平面GES∥平面SEF,显然矛盾,假设不成立,故C错误;对于D,因为SG⊥平面EFG,GD 平面EFG,所以SG⊥GD,假设GD⊥平面SEF,因为SD 平面SEF,所以GD⊥SD,SG,GD,SD 平面SDG,故SD∥SG,显然矛盾,假设不成立,故D错误.故选A.
4.外　垂　[解析] 如图①,连接OA,OB,OC,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,因为PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心.如图②,连接AO,BO,CO并延长,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB 平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB 平面PAB,所以PC⊥AB,又AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC 平面POC,所以AB⊥平面POC,又CG 平面POC,所以AB⊥CG,所以CG为△ABC的边AB上的高.同理可得BD,AH分别为△ABC的边AC,BC上的高,所以O为△ABC的垂心.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　D　[解析] 对于A,若α∥β,m α,n β,则m,n可能平行,也可能异面,故A错误;对于B,若m α,n β,m⊥n,则可能有α⊥β,也可能有α∥β,也可能平面α,β相交,故B错误;对于C,若m⊥α,n⊥m,则有可能是n∥α,也可能n α,故C错误;对于D,根据线面平行的性质定理可知若α∩β=n,m α,m∥β,则m∥n,故D正确.故选D.
对点演练1　(1)C　(2)A　[解析] (1)对于A,因为n⊥β,α⊥β,所以可得n α或n∥α,当n∥α时,因为m∥α,所以m,n平行,相交或异面,故A错误;对于B,由α⊥β,α∩β=n,m⊥n,得当m β时不满足m⊥β,故B错误;对于C,由n⊥α,n⊥β可得α∥β,又m α,所以m∥β,故C正确;对于D,如图,在长方体ABCD-EFGH中,分别取平面ABCD,平面BDHF为平面α,β,
取直线CG为n,EF为m,显然满足m∥α,n∥β,n⊥α,但m与β不垂直,故D错误.故选C.
(2)因为m⊥l,且α⊥β,α∩β=l,m α,所以m⊥β,又n β,所以m⊥n,故充分性成立;由m⊥n,无法推出m⊥l,故必要性不成立.所以“m⊥l”是“m⊥n”的充分不必要条件.故选A.
探究点二
例2　证明: 如图所示,取CD的中点E,连接PE,BE,
因为CD=2AB,AB∥CD,所以DE∥AB且DE=AB,所以四边形ABED是平行四边形,则BE∥AD,
因为CD⊥AD,所以BE⊥CD,
又△PCD为等边三角形,所以PE⊥CD,
因为PE∩BE=E,PE,BE 平面PBE,所以CD⊥平面PBE,
因为PB 平面PBE,所以PB⊥CD.
对点演练2　证明:(1)∵四边形ABCD为矩形,∴BC⊥AB,∵PA⊥平面ABCD,BC 平面ABCD,∴BC⊥PA,又∵PA∩AB=A,PA,AB 平面PAB,∴BC⊥平面PAB,又∵AE 平面PAB,∴AE⊥BC,
又AE⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC 平面PBC,∴AE⊥平面PBC.
(2)∵AE⊥平面PBC,PC 平面PBC,∴AE⊥PC,又AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF 平面AEF,
∴PC⊥平面AEF,∵AG 平面AEF,∴PC⊥AG.∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥AD,
∵PA⊥平面ABCD,CD 平面ABCD,∴CD⊥PA,∵PA,AD 平面PAD,PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,又AG 平面PAD,∴CD⊥AG.∵PC∩CD=C,PC,CD 平面PCD,
∴AG⊥平面PCD,∵PD 平面PCD,∴AG⊥PD.
探究点三
例3　证明:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以平面ABC⊥平面ABB1A1.
因为△ABC为正三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB,
又平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CD 平面ABC,
所以CD⊥平面ABB1A1,
因为A1E 平面ABB1A1,所以CD⊥A1E.
(2)因为AB=2,AA1=2,D,E分别为AB,BB1的中点,
所以tan∠DEB=,tan∠EA1B1=,所以∠DEB=∠EA1B1,
所以∠DEB+∠A1EB1=∠EA1B1+∠A1EB1=,所以A1E⊥DE,
又CD⊥A1E,CD,DE 平面CDE,CD∩DE=D,所以A1E⊥平面CDE,
又A1E 平面A1CE,
所以平面A1CE⊥平面CDE.
对点演练3　D　[解析] 对于B,在四边形ABCD中,因为AD=AB,∠BAD=90°,所以∠ABD=∠ADB=45°,因为∠BCD=45°,AD∥BC,所以∠ADC=135°,所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=135°-45°=90°,在翻折过程中,∠BDC未发生变化,故在三棱锥A-BCD中,CD⊥BD,故B中结论正确;对于A,由B选项知CD⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,CD 平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,因为AB 平面ABD,所以CD⊥AB,故A中结论正确;对于C,由选项A知,CD⊥平面ABD,因为CD 平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD,故C中结论正确;对于D,过点A作AE⊥BD,垂足为E,因为平面ABD⊥平面BCD,AE 平面ABD, 平面ABD∩平面BCD=BD,所以AE⊥平面BCD,显然AE 平面ABC,所以平面ABC与平面BDC不垂直,故D中结论不正确.故选D.
探究点四
例4　证明:(1)因为△ABC为正三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB,因为BB1⊥平面ABC,CD 平面ABC,所以BB1⊥CD,因为AB 平面ABB1A1,BB1 平面ABB1A1,AB∩BB1=B,所以CD⊥平面ABB1A1,又A1E 平面ABB1A1,所以CD⊥A1E.
(2)连接AC1,与A1C交于点F,则F为AC1的中点,连接DF.因为D为AB的中点,所以DF为△ABC1的中位线,则DF∥BC1.
又DF 平面A1CD,BC1 平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.
(3)易得A1D=2,DE=,A1E=5,则A1D2+DE2=A1E2,
所以A1D⊥DE.由(1)可知CD⊥平面ABB1A1,又A1D 平面ABB1A1,所以A1D⊥CD.
因为CD 平面CDE,DE 平面CDE,CD∩DE=D,所以A1D⊥平面CDE.
对点演练4　证明:取AD的中点N,连接NE,NC,因为△ADE是正三角形,所以EN⊥AD,且EN=,因为平面ADE⊥平面ABCD,EN 平面ADE,平面ADE∩平面ABCD=AD,
所以EN⊥平面ABCD,又因为CF⊥平面ABCD,所以EN∥CF,又因为EN=CF,所以四边形ENCF是平行四边形,所以EF∥NC,又因为NC 平面ABCD,EF 平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.

展开更多......

收起↑