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第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系
【课标要求】　
1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示.
4.能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量.
5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行关系.
6.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
1.空间向量及其有关概念
名称 语言描述
共线向量(平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线　　　　　　
直线l的方向向量 在直线l上任取　　　　　　a,与向量a　　　　的非零向量
基底 空间任意三个不共面的向量
共面向量 平行于　　　　　　的向量
共线向量定理 对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b 存在实数λ,使　　　
共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面 存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
空间向量基本定理 定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=　　　　　. 推论:设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=x+y+z
2.两个向量的数量积
(1)a·b=　　　　　　(θ为a,b的夹角).
(2)a⊥b 　　　　　(a,b为非零向量).
(3)|a|2=　　　　;设a=(x,y,z),则|a|=.
3.空间向量投影
(1)向量在向量上的投影向量
如图①,在空间,向量a向向量b投影,先将它们平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到与向量b共线的向量c,c=　　　　　　,向量c称为向量a在向量b上的　　　　　　.
(2)向量在直线上的投影向量
如图②,类似于向量向向量投影,可以将向量a向直线l投影.
(3)向量在平面上的投影向量
如图③,向量a向平面β投影,分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量,向量　　　　称为向量a在平面β上的投影向量.
4.向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=　　　　　　　　　　
向量差 a-b=　　　　　　　　　　
数量积 a·b=　　　　　　　　　　
共线 a∥b 　　　　　　　　　　　(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b 　　　　　　　　　　
模 |a|=
夹角公式 cos=
距离公式:已知P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则||=　.
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量:如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l　　　　　,则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量:直线l⊥α,取直线l的方向向量a,则向量a叫作平面α的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1,l2的方向 向量分别为u1,u2 l1∥l2 u1∥u2 u1=λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0
直线l的方向向量为u, 平面α的法向量为n l∥α u⊥n u·n=0
l⊥α u∥n u=λn
平面α,β的法 向量分别为n1,n2 α∥β n1∥n2 n1=λn2
α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0
常用结论
1.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则点P的坐标为.
2.在空间中,O为平面A,B,C外一点,P,A,B,C四点共面的充要条件是=x+y+z(其中x+y+z=1).
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则是钝角 a1b1+a2b2+a3b3<0. (　 )
(2)若M,A,B,C四点共面,则空间中任意一点O满足=++. (　 )
(3)若A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(1,-1,1). (　 )
(4)若a,b,c构成空间的一个基底,则a+b,a+b+c,c也构成空间的一个基底. (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
题组二　教材改编
1.若M(1,0,1),N(2,m,3),P(m,2,n+1)三点共线,则m+n= (　 )
A.-5 B.-2
C.4 D.0
2.如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,若=a,=b,=c,则=(　 )
A.a-b+c
B.a+b+c
C.-a-b+c
D.-a+b+c
3.已知直线l的一个方向向量为m=(-1,2,1),平面α的一个法向量为n=,
若l∥α,则x= (　 )
A. B.- C.- D.
4.已知向量=(0,1,2),=(-1,0,1),=(2,1,λ),若O,A,B,C四点共面,则在上的投影向量的模为 (　 )
A. B. C. D.
5.如图,线段AB,BD在平面α内,BD⊥AB,AC⊥α,且AB=a,BD=b,AC=c,则C,D两点间的距离为　　　　.
　空间向量的线性运算
例1 (1)[2025·重庆南开中学模拟] 如图,在正四棱锥P-ABCD中,E为棱PA的中点,设=a,=b,=c,则用a,b,c表示为 (　 )
A.a+b-c B.-a+b+c
C.-a-b+c D.-a-b+c
(2)[2025·江苏无锡联考] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则可表示为 (　 )
A.a-b+c B.a-b+c
C.-a-b+c D.-a+b+c
总结反思
空间向量的线性运算以向量的加法、减法、数乘运算为主,具体求解过程中要注重结合图形,依据三角形法则、平行四边形法则合理运算.
【对点演练1】 (1)[2025·湖北武汉二模] 在三棱柱ABC-A1B1C1中,设=a,=b,=c,M,N分别为AB,CC1的中点,则=(　 )
A.a+b+c B.a-b+c
C.a-b+c D.a+b+c
(2)如图,在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,且=,点N为BC的中点,则= (　 )
A.a+b-c B.-a+b+c
C.a+b-c D.-a+b-c
　共线、共面向量定理及其应用
例2 (1)设向量e1,e2,e3不共面,已知=e1+e2+e3,=e1+λe2+e3,=4e1+8e2+4e3,若A,C,D三点共线,则λ= (　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)在三棱柱ABC-A1B1C1中,=a,=b,=c.若点P满足=a+b+kc,且点P在平面A1BC内,则k= (　 )
A. B. C. D.1
(3)已知空间向量=(1,2,4),=(5,-1,3),=(m,n,-1).若P,A,B,C四点共面,则10m+17n=　　　　.
总结反思
1.共线问题的两种形式:
(1)已知{a,b,c}是空间的一个基底,且m=x1a+y1b+z1c,n=x2a+y2b+z2c(x2y2z2≠0),若m∥n,则==;
(2)若P,A,B三点共线,则存在λ使=λ(≠0,λ∈R)或空间中任意一点O满足=x+y,且x+y=1(x,y是实数).
2.应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P,A,B)共线 空间四点(M,P,A,B)共面
=λ =x+y
对空间任一点O,=+t 对空间任一点O,=+x+y
对空间任一点O, =x+y(x+y=1) 对空间任一点O,=x+y+ z(x+y+z=1)
【对点演练2】 (1)[2025·广东汕头联考] 已知空间向量a=(-3,2,1),b=(2,2,-1),c=(m,10,1),若a,b,c共面,则实数m= (　 )
A.2 B.3 C.13 D.-5
(2)[2025·湖南娄底期末] 已知O为空间任意一点,A,B,C,P四点共面,且任意三点不共线,若=m-+,则m的值为(　 )
A. B. C. D.1
　空间向量的数量积及其应用
例3 (1)已知向量a=(2,0,-3),b=(3,1,x),c=(1,1,1),a⊥b,则a在b-2c上的投影向量为 (　 )
A.(1,-1,0) B.(2,0,-3) C.(,-,0) D.
(2)[2026·广西桂林模拟] 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱AA1的长为2,且∠A1AB=∠A1AD=60°,求BD1的长.


总结反思
由向量数量积的定义知,要求a与b的数量积,需已知|a|,|b|和,a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确.
【对点演练3】 (1)[2025·江苏淮安联考] 已知a=(1,2,-1),b=(-1,x,1),且a与b的夹角为锐角,则实数x的取值范围是 (　 )
A.(-2,1) B.(-∞,1)
C.(-∞,-2)∪(-2,1) D.(1,+∞)
(2)如图所示,在棱长均为2的平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,∠A'AB=∠A'AD=∠BAD=60°,点M为BC'与B'C的交点,则AM的长为　　　　.
　利用空间向量证明平行或垂直
例4 [2025·四川绵阳期末] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB∥DC,AD=DC=AP=2,AB=1,点E为棱PC的中点.求证:
(1)BE∥平面PAD;
(2)平面PCD⊥平面PBC.


总结反思
利用空间向量判断线面位置关系,首先要建立空间直角坐标系,建系需满足三条直线两两垂直;其次求相应的向量.直线和平面分别对应直线的方向向量v和平面的法向量n,利用两个向量的位置关系判断线面位置关系.
【对点演练4】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,M,N分别是PA,BC的中点,PD⊥平面ABCD,且PD=AD=,CD=1.
(1)证明:MN∥平面PCD;
(2)证明:MC⊥BD.


第40讲　空间向量及其运算和空间位置关系
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.互相平行或重合　非零向量　平行　同一个平面　a=λb　xa+yb+zc
2.(1)|a||b|cos θ　(2)a·b=0　(3)a2
3.(1)|a|cos　投影向量　(3)
4.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)　(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
a1b1+a2b2+a3b3
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
5.(1)平行或重合
【课前演练】
题组一
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
[解析] (1)当a1b1+a2b2+a3b3<0时,可能等于180°,也可能是钝角.
(2)++=≠1.
(3)∵A(-1,2,1),B(1,0,3)在直线l上,∴l的一个方向向量为=(2,-2,2)=2(1,-1,1),∴的共线向量(1,-1,1)也为直线l的一个方向向量.
(4)因为a+b+c=(a+b)+c,所以a+b,a+b+c,c这三个向量共面,故这三个向量不能构成空间的一个基底.
题组二
1.A　[解析] 因为=(1,m,2),=(m-1,2,n),所以==,解得m=n=2(舍,否则点N,P重合)或m=-1,n=-4,所以m+n=-5.故选A.
2.D　[解析] 由题意可得,=+=+=+(-)=-++=-a+b+c.故选D.
3.A　[解析] 若l∥α,则m⊥n,所以m·n=0,即-x+2+=0,解得x=.故选A.
4.B　[解析] 因为O,A,B,C四点共面,所以存在实数x,y,使得=x+y,即(2,1,λ)=(-y,x,2x+y),则x=1,y=-2,λ=0,则=(2,1,0),所以在上的投影向量的模为==.故选B.
5.　[解析] 因为AC⊥α,AB,BD 平面α,所以AC⊥AB,AC⊥BD,所以·=0,·=0,又BD⊥AB,所以·=0,
根据向量的线性运算可得,=++,则=(++)2=+++2·+2·+2·=c2+a2+b2,所以||=.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)D　[解析] (1)由题图可得=+=-+=-+(-)=-b+c-a=-a-b+c.故选C.
(2)由题得=++=++=-++=-a+b+c.故选D.
对点演练1　(1)B　(2)B　[解析] (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,=++=-++=a-b+c,故选B.
(2)连接ON,则=+=b+c,所以=-=-=b+c-a=-a+b+c.故选B.
探究点二
例2　(1)C　(2)B　(3)-11　[解析] (1)方法一:因为A,C,D三点共线,所以∥,则存在实数μ,使得=μ,由已知得=4e1+8e2+4e3, =+=2e1+(1+λ)e2+2e3,故4μe1+8μe2+4μe3=2e1+(1+λ)e2+2e3,由于e1,e2,e3不共面,故解得
方法二:因为A,C,D三点共线,所以∥,由已知得=4e1+8e2+4e3,=+=2e1+(1+λ)e2+2e3,因为e1,e2,e3不共面,所以==,解得λ=3.故选C.
(2)因为=a+b+kc=++k,且点P在平面A1BC内,所以++k=1,解得k=.故选B.
(3)因为P,A,B,C四点共面,所以,,共面,所以存在唯一的实数对(x,y),使得=x+y,即所以所以17(1+2n)+5(1+4m)=0,所以10m+17n=-11.
对点演练2　(1)D　(2)C　[解析] (1)由空间向量a,b,c共面,得c=xa+yb,即(m,10,1)=x(-3,2,1)+y(2,2,-1),则解得故选D.
(2)因为O为空间任意一点,=m-+,且A,B,C,P满足任意三点不共线,但四点共面,所以m-+1=1,解得m=.故选C.
探究点三
例3　(1)A　[解析] 由a⊥b可得a·b=2×3+0×1-3x=0,解得x=2,即b=(3,1,2),所以b-2c=(1,-1,0).因此a在b-2c上的投影向量为(b-2c)=(b-2c)=(1,-1,0).故选A.
(2)解: 如图,连接BD,设=a,=b,=c,依题意得,a·b=0,a·c=1×2×cos 120°=-1,b·c=1×2×
cos 60°=1,而=+=++=a+b+c,所以=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+4+2×(-1)+2×1=6,所以||=.
对点演练3　(1)D　(2)　[解析] (1) a=(1,2,-1),b=(-1,x,1),当a∥b时,==,解得x=-2,此时b=-a,a与b的夹角为180°,所以a与b的夹角不可能为0°,当a与b的夹角为锐角时,a·b=1×(-1)+2x+(-1)×1>0,解得x>1,则实数x的取值范围是(1,+∞).故选D.
(2)由题得,·=2×2×cos 60°=2,·=2×2×cos 60°=2,·=2×2×cos 60°=2,因为=+=+(+)=++,所以==+++·+·+·=4+1+1+2+2+1=11,所以||=.
探究点四
例4　证明:(1) 因为PA⊥平面ABCD,AB,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又AD⊥AB,所以AB,AD,AP两两互相垂直,以点A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,所以AB⊥PA,
又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD 平面PAD,所以AB⊥平面PAD,所以向量=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,=(0,1,1),因为·=0,所以BE⊥AB,又BE 平面PAD,所以BE∥平面PAD.
(2)设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),因为=(0,2,-2),=(2,0,0),所以即不妨令y=1,可得n=(0,1,1).
设平面PBC的法向量为m=(a,b,c),因为=(1,0,-2),=(1,2,0),所以即
不妨令a=2,可得m=(2,-1,1).
因为n·m=(0,1,1)·(2,-1,1)=0,所以n⊥m,所以平面PBC⊥平面PCD.
对点演练4　证明:(1)因为PD⊥平面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,又DA⊥DC,所以DA,DC,DP两两垂直,故以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,1,0),P(0,0,),M,N,所以=,易知=(,0,0)为平面PCD的一个法向量,因为·=0,所以⊥,即MN⊥DA,因为MN 平面PCD,所以MN∥平面PCD.
(2)由(1)得,=,=(-,-1,0),因为·=1-1+0=0,所以⊥,即MC⊥BD.

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