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第41讲　空间角
【课标要求】　能用向量方法解决简单夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用.
1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线a'与b'所成的　　　　叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:　　　　.
(3)求法:
①几何法:平行四边形平移法;中位线平移法.
②向量法:若异面直线l1,l2所成的角为θ,直线l1与l2的方向向量分别为u,v,则cos θ=|cos|==.
2.线面角
(1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.
(2)范围:　　　　.
(3)求法:
①几何法:垂线法求线面角(也称直接法),公式法求线面角(也称等体积法).
②向量法:如图,直线AB与平面α相交于点B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sin θ=|cos|==.
3.二面角的平面角
(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作　　　　于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角(如图).
(2)范围:[0,π].
(3)求法:
①几何法:定义法,三垂线法,垂面法.
②向量法:若平面α,β的法向量分别是n1和n2,则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ,则cos θ=|cos|
==(如图).
特别注意:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中　　　　　的二面角称为平面α与平面β的夹角.
题组一　易错辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)已知异面直线l1,l2的一个方向向量分别为m=(0,2,1),n=(-1,1,-2),则l1与l2的夹角为.(　 )
(2)已知两个平面的一个法向量分别为m=(0,-1,0),n=(0,1,1),则这两个平面的夹角为.(　 )
(3)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的长都为2,D是CC1的中点,则直线AD与平面A1BD所成角的正弦值为. (　 )
(4)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AC=BC=CC1=1,则直线AC1和直线B1C所成的角为30°. (　 )
题组二　教材改编
1.已知平面α的一个法向量为n=(-,-2,1),点A(-1,2,1)在平面α内.若点P的坐标为(-1,1,1),则直线PA与平面α所成的角为 (　 )　　　　 　　　　 　　　　
A. B. C. D.
2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC,AA1=AC=2,点E为棱A1B1的中点,点F是棱BC上的一点,且BF=3FC,则直线AE与C1F所成角的余弦值为(　 )
A. B. C. D.
3.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,侧棱长为1,则平面ABC与平面AB1C1的夹角为(　 )
A. B. C. D.
4.已知长为4的线段AB的两端点分别在直二面角α-l-β的两个面内,且直线AB与这两个面都成30°角,则异面直线AB与l所成的角为(　 )
A. B. C. D.
5.如图,平面角为锐角的二面角α-l-β的棱上有两个点A,B,线段BD与AC分别在这个二面角的半平面β与α内,并且都垂直于棱l.若AB=4,AC=6,BD=8,CD=2,则平面α与平面β的夹角为　　　　.
　　　　　 　　　　　 　　　　　
　异面直线所成的角
例1 (1)[2026·河北定州模拟] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为DB,A1C1的中点,则直线A1M和BN夹角的余弦值为 (　 )
A. B. C. D.
(2)已知三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长都相等,且∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=,则异面直线AB与B1C所成的角为　　　　.
总结反思
1.异面直线所成的角问题的求解方法及步骤
①几何法
平移:选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条得到相交直线.
说明:说明对应的角是异面直线所成的角.
计算:根据几何关系,利用余弦定理等知识求解角度.
②向量法
2.应用空间向量求解异面直线所成角时要注意的问题
(1)明确角的范围.两条异面直线所成角的范围是,而两个向量的夹角的范围是[0,π],故异面直线所成角的余弦值一定非负,两条直线的方向向量的夹角的余弦值可正、可负、可为零.
(2)计算方法.设异面直线所成的角为θ,因为两条直线的方向向量v1,v2的夹角与θ相等或互补,所以cos θ=|cos|,可根据此公式计算求解.
【对点演练1】 (1)[2026·江苏南京模拟] 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱的长都相等,D,E,F分别是棱AB,BC,B1C1的中点,则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是(　 )
A. B.-
C.- D.
(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,则AB1与BC所成的角为 (　 )
A.30° B.45° C.60° D.120°
　直线与平面所成的角
例2 [2026·陕西汉中联考] 如图,已知△ABC是等边三角形,AB=BD=2CE=2,CE∥BD,BD⊥平面ABC,点F为AD的中点.
(1)证明:EF⊥平面ABD;
(2)求直线AC与平面ADE所成角的正弦值.



总结反思
1.直线与平面所成的角问题的求解方法及步骤
(1)几何法
①垂线法求线面角(也称直接法)
作垂直:过直线上一点(不在平面内)作平面的垂线.
说明:过斜足与垂足的直线为斜线在平面上的射影,如图所示,射影BO与斜线AB之间的夹角为线面角.
计算:利用余弦定理等知识求角度.
②等体积法
求距离:求出斜线PA在平面外的一点P到平面的距离.
利用公式求解:利用三角形的正弦公式求解,公式为sin θ=,其中θ是斜线与平面所成的角,h是垂线段的长,l是斜线段的长.
(2)向量法
2.应用空间向量求解线面角时应注意的问题
(1)明确角的范围.线面角θ的范围为,直线的方向向量v和平面的法向量n的夹角的范围是[0,π].
(2)计算方法.由θ与或其补角互余可得sin θ=|cos|,注意求解线面角涉及的是两个不同名的三角函数.
【对点演练2】 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1为矩形,平面BCC1B1⊥平面ACC1A1,AA1=2,AC=A1C=.
(1)证明:A1C⊥平面ABC;
(2)若AB1=,求直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.




　平面与平面的夹角
例3 [2025·江苏镇江期末] 如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为1,AA1=3,M,N分别为DD1,B1C1上的点,且=2,=2.
(1)求证:D1N∥平面B1CM;
(2)求平面B1CM与平面BB1C1C夹角的余弦值.




总结反思
1.利用几何法求解二面角问题的一般步骤
作:找出这个二面角的一个平面角.
证:证明这个角是二面角的平面角.
求:将作出的角放在三角形中,解这个三角形,计算出平面角的大小.
2.找二面角的平面角的常用方法
(1)定义法
如图①所示,以二面角的棱a上的任意一点O为端点,在两个半平面内分别作垂直于a的射线OA,OB,则∠AOB为此二面角的平面角.
(2)三垂线法
如图②所示,在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB,垂足为B,再过点B向棱a作垂线BO,垂足为O,连接AO,则∠AOB就是二面角的平面角.
(3)垂面法
如图所示,过二面角内一点A作AB⊥α于B,作AC⊥β于C,平面ABC交棱a于点O,连接OB,OC,则∠BOC就是二面角的平面角.
3.应用空间向量求两平面的夹角时一般遵循的步骤
(1)建立坐标系,原则是方便求两平面的法向量;
(2)求出法向量,通常涉及解线性方程组或利用所得的垂直关系;
(3)计算法向量的数量积和模,代入夹角公式,计算得到两法向量的夹角θ的值;
(4)判断两平面的夹角,如θ不为钝角,则两平面的夹角为θ,否则夹角为π-θ.
【对点演练3】 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,E,F分别为AB,PD的中点,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2.
(1)证明:AF∥平面PCE;
(2)若FC与平面ABCD所成的角是,求二面角F-AC-D的余弦值.



第41讲　空间角
● 课前基础巩固
【知识聚焦】
1.(1)角　(2)
2.(2)
3.(1)垂直　(3)不大于
【课前演练】
题组一
(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
[解析] (1)因为m·n=0×(-1)+2×1+1×(-2)=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2,所以l1与l2的夹角为.
(2)由题意可得,cos===-,所以=,又因为两个平面的夹角的取值范围是,所以这两个平面的夹角的大小为.
(3)如图所示,以A为坐标原点,以过点A且垂直于平面ACC1A1的直线为x轴,以AC,AA1所在直线分别为y轴、z轴,建立空间直角坐标系,因为正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱的长都为2,所以A(0,0,0),A1(0,0,2),B(,1,0),D(0,2,1),所以=(0,2,1),=(,1,-2),=(0,2,-1).设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则
令y=1,则n=(,1,2).设直线AD与平面A1BD所成的角为θ,则sin θ=|cos<,n>|===,所以直线AD与平面A1BD所成角的正弦值为.
(4)以C为坐标原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则A(0,1,0),C(0,0,0),B1(1,0,1),C1(0,0,1),∴=(0,-1,1),=(1,0,1).设直线AC1和直线B1C所成的角为θ,0°<θ≤90°,则cos θ===,∴θ=60°,
∴直线AC1和直线B1C所成的角为60°.
题组二
B　[解析] 由题得=(0,1,0),则n·=(-,-2,1)·(0,1,0)=-2.设直线PA与平面α所成的角为θ,则sin θ=|cos|==,因为θ∈,所以θ=.故选B.
2.D　[解析] 由AB⊥BC,AB=BC,AC=2,得AB=BC=2,以B为坐标原点,BC,BA,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则F,C1(2,0,2),A(0,2,0),E(0,1,2),所以=,=(0,-1,2),所以|cos<,>|==,所以直线AE与C1F所成角的余弦值为.故选D.
3.A　[解析] 以C为坐标原点,以过点C且垂直于平面BCC1B1的直线为x轴,以CB所在直线为y轴,以CC1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,由题意得A(,1,0),B1(0,2,1),C1(0,0,1),则=(-,1,1),=(-,-1,1).设平面AB1C1的法向量为n=(x,y,z),则
令x=1,则n=(1,0,).易知平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1).设平面ABC与平面AB1C1的夹角为θ,0≤θ≤,则cos θ=|cos|==,所以θ=,所以平面ABC与平面AB1C1的夹角为.故选A.
4.B　[解析] 依题意得,α⊥β,α∩β=l,不妨设A∈α,B∈β,过A作AC⊥l于点C,过B作BD⊥l于点D,连接AD,BC,如图,显然AC α,BD β,所以AC⊥β,BD⊥α,所以∠ABC=∠BAD=30°,∠ACB=∠ADB=∠BDC=90°.因为AB=4,所以BD=AC=2,BC=2,则CD=2.因为=++,所以·=(++)·==8,因为是直线l的一个方向向量,所以cos<,>===,因为0<<,><π,所以<,>=,所以异面直线AB与l所成的角为.
5.　[解析] 设平面α与平面β的夹角为θ,由=++,可得==+++2·+2·+2·=36+16+64+2||||cos<,>=116-96cos θ=68,所以cos θ=,由0≤θ≤,得θ=,则平面α与平面β的夹角为.
● 课堂考点探究
探究点一
例1　(1)C　(2)　[解析] (1)方法一:设向量和的夹角为θ,则直线A1M和BN夹角的余弦值等于|cos θ|.连接BA1,BC1,DA1,DC1,因为四面体DBA1C1为正四面体,所以||=||=||且,,两两之间的夹角均为.以{,,}作为一个基底,则=-,=+,所以·=·=-·+·-·=-+-=,又||=||,||=||,所以|cos θ|====.故选C.
方法二:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x,y,z轴,建立如图①所示的空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,得A1(2,0,2),M(1,1,0),B(2,2,0),N(1,1,2),则=(1,-1,2),=(-1,-1,2).设向量和的夹角为θ,则直线A1M和BN夹角的余弦值等于|cos θ|.可得|cos θ|====.故选C.
方法三:如图②,连接D1M,易得D1M∥NB,则直线A1M和BN的夹角即为直线A1M和D1M的夹角.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,在△A1MD1中,易得A1M=,D1M=,A1D1=2,由余弦定理得cos∠A1MD1==.故选C.
(2)不妨设三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱的长均为2,因为∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=,所以||=||=||=2,·=·=·=2×2×=2.因为=+=-+-,所以||2=(-+-)2=+++2·-2·-2·=22+22+22+2×2-2×2-2×2=8,即||=2,又·=-·+·-=-2+2-22=-4,所以cos<,>===-,又异面直线所成角的取值范围为,所以异面直线AB与B1C所成的角为.
对点演练1　(1)D　(2)C　[解析] (1)如图,连接BF,因为C1F=BE,C1F∥BE,所以四边形C1FBE为平行四边形,所以BF∥C1E,所以∠DFB(或其补角)为异面直线DF与C1E所成的角.设AB=2,则BD=1,B1F=1,所以BF==,连接EF,DE,则DE=AC=1,因为EF∥BB1,BB1⊥平面ABC,所以EF⊥平面ABC,又DE 平面ABC,所以EF⊥DE,又EF=BB1=2,所以DF===.在△DFB中,
由余弦定理得cos∠DFB===,所以异面直线DF与C1E所成角的余弦值是.故选D.
(2)以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴,AA1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图所示,令AB=AC=AA1=2,则A(0,0,0),B1(2,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),所以=(2,0,2),=(-2,2,0).
设AB1与BC所成的角为θ,则
cos θ===,所以AB1与BC所成的角为60°.故选C.
探究点二
例2　解:(1)证明:如图,取AB的中点O,连接OF,OC,
∵BD⊥平面ABC,BD 平面ABD,
∴平面ABC⊥平面ABD.
∵△ABC为等边三角形,O为AB的中点,∴CO⊥AB.
又平面ABC∩平面ABD=AB,CO 平面ABC,
∴CO⊥平面ABD.
∵点F,O分别为AD,AB的中点,
∴OF∥BD,且OF=BD.
又CE∥BD,CE=BD,∴OF∥CE,OF=CE,
∴四边形OFEC是平行四边形,∴CO∥EF,
∴EF⊥平面ABD.
(2)由(1)可知CO⊥平面ABD,∵BD⊥平面ABC,AB 平面ABC,∴BD⊥AB.
又OF∥BD,∴OF⊥AB,
∴OF,AB,OC两两垂直.
以O为坐标原点,OA,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则O(0,0,0),A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,,0),E(0,,1),D(-1,0,2).
∴=(-1,,0),=(-1,,1),=(-2,0,2).
设平面ADE的法向量为m=(x,y,z),则
即
令z=1,则x=1,y=0,∴m=(1,0,1).
设直线AC与平面ADE所成的角为θ,
则sin θ=|cos<,m>|===,
即直线AC与平面ADE所成角的正弦值为.
对点演练2　解:(1)证明:因为侧面BCC1B1为矩形,所以BC⊥CC1,
又平面BCC1B1⊥平面ACC1A1,平面BCC1B1∩平面ACC1A1=CC1,BC 平面BCC1B1,
所以BC⊥平面ACC1A1,
因为A1C 平面ACC1A1,所以BC⊥A1C.
因为AA1=2,AC=A1C=,所以A=AC2+A1C2,所以AC⊥A1C,
因为AC∩BC=C,AC,BC 平面ABC,所以A1C⊥平面ABC.
(2)连接AC1,如图,
由(1)易知∠A1AC=45°,
所以∠ACC1=135°,又CC1=2,AC=,
所以在△ACC1中,由余弦定理可得AC1==,
因为B1C1∥BC,所以B1C1⊥平面ACC1A1,
因为AC1 平面ACC1A1,所以B1C1⊥AC1,
所以在Rt△AB1C1中,B1C1==.
由(1)易知CA,CB,CA1两两互相垂直.以C为坐标原点,CA,CB,CA1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则C(0,0,0),A(,0,0),B(0,,0),B1(-,,),C1(-,0,),
所以=(0,,0),=(-,0,),=(-2,,).
设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),
则取x=1,则n=(1,0,1).
设直线AB1与平面BCC1B1所成的角为θ,
则sin θ=|cos|==,即直线AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
探究点三
例3　解: (1)证明:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),D1(0,1,3),M(0,1,2),B1(1,0,3),N,
所以=(0,1,-3),=(-1,1,-1),=.
设平面B1CM的法向量为n=(x,y,z),
则取z=1,则n=(2,3,1),
所以·n=2×1+3×+1×0=0,所以⊥n,
又D1N 平面B1CM,所以D1N∥平面B1CM.
(2)因为AB⊥平面BB1C1C,所以平面BB1C1C的一个法向量为=(1,0,0).
设平面B1CM与平面BB1C1C的夹角为θ,则cos θ===,
即平面B1CM与平面BB1C1C夹角的余弦值为.
对点演练3　解:(1)证明:如图①,取PC的中点H,连接FH,EH,因为F为PD的中点,所以FH∥CD且FH=CD.
又AE∥CD且AE=CD,所以FH∥AE,FH=AE,
所以四边形AEHF为平行四边形,所以AF∥EH,又EH 平面PCE,AF 平面PCE,
所以AF∥平面PCE.
(2)取BC的中点G,连接AG,取AD的中点M,连接FM,CM,
则FM∥PA且FM=PA=1,由PA⊥平面ABCD,得FM⊥平面ABCD,
则FC与平面ABCD所成的角为∠FCM,所以∠FCM=,所以CM==.
在菱形ABCD中,AG=CM,则AG2+BG2=AB2,所以AG⊥BC,则AG⊥AD.
可得直线AG,AD,AP两两垂直,以点A为原点,直线AG,AD,AP分别为x,y,z轴,建立如图②所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),
所以=(0,1,1),=(-,0,1),=(0,0,2).
由PA⊥平面ABCD,得平面ABCD的一个法向量为n=(0,0,1).
设平面FAC的法向量为m=(x,y,z),则令x=1,得m=(1,-,).
设二面角F-AC-D的平面角为θ,由图②知θ为锐角,因此cos θ=|cos|==,
即二面角F-AC-D的余弦值为.

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